Espace séparable - Separable space

En mathématiques , un espace topologique est dit séparable s'il contient un sous - ensemble dense et dénombrable ; c'est-à-dire qu'il existe une séquence d'éléments de l'espace telle que chaque sous - ensemble ouvert non vide de l'espace contient au moins un élément de la séquence. ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Comme les autres axiomes de dénombrement , la séparabilité est une "limitation de taille", pas nécessairement en termes de cardinalité (bien qu'en présence de l' axiome de Hausdorff , cela s'avère être le cas ; voir ci-dessous) mais d'une manière plus subtile sens topologique. En particulier, toute fonction continue sur un espace séparable dont l'image est un sous-ensemble d'un espace de Hausdorff est déterminée par ses valeurs sur le sous-ensemble dense dénombrable.

Comparer la séparabilité avec la notion connexe de deuxième dénombrement , qui est en général plus forte mais équivalente sur la classe des espaces métrisables .

Premiers exemples

Tout espace topologique qui est lui-même fini ou dénombrable infini est séparable, car tout l'espace est un sous-ensemble dense dénombrable de lui-même. Un exemple important d'un espace séparable indénombrable est la ligne réelle , dans laquelle les nombres rationnels forment un sous-ensemble dense dénombrable. De même , l'ensemble de tous les vecteurs de ce qui est un sous - ensemble dénombrable dense; Ainsi , pour chaque , -dimensionnelle espace euclidien est séparable. ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}\in \mathbb {Q} ^{n}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$

Un exemple simple d'un espace qui n'est pas séparable est un espace discret de cardinalité indénombrable.

D'autres exemples sont donnés ci-dessous.

Séparabilité versus deuxième dénombrement

Tout second espace dénombrable est séparable : si est une base dénombrable, en choisir un parmi les non vides donne un sous-ensemble dense dénombrable. A l'inverse, un espace métrisable est séparable si et seulement s'il est dénombrable en second, ce qui est le cas si et seulement si c'est Lindelöf . ${\style d'affichage \{U_{n}\}}$${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$${\style d'affichage U_{n}}$

Pour comparer davantage ces deux propriétés :

• Un sous - espace arbitraire d'un espace dénombrable en second est dénombrable en second ; les sous-espaces d'espaces séparables n'ont pas besoin d'être séparables (voir ci-dessous).
• Toute image continue d'un espace séparable est séparable ( Willard 1970 , Th. 16.4a) ; même un quotient d'un espace dénombrable en seconde n'a pas besoin d'être dénombrable en seconde.
• Un produit d'au plus un continuum de nombreux espaces séparables est séparable ( Willard 1970 , p. 109, Th 16.4c). Un produit dénombrable d'espaces dénombrables en second est dénombrable en second, mais un produit non dénombrable d'espaces dénombrables en second n'a même pas besoin d'être dénombrable en premier.

Nous pouvons construire un exemple d'espace topologique séparable qui n'est pas dénombrable en second. Considérez n'importe quel ensemble indénombrable , choisissez-en quelques - uns et définissez la topologie comme étant la collection de tous les ensembles qui contiennent (ou sont vides). Alors, la fermeture de est l'espace entier ( est le plus petit ensemble fermé contenant ), mais chaque ensemble de la forme est ouvert. Par conséquent, l'espace est séparable mais il ne peut pas y avoir de base dénombrable. ${\style d'affichage X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\style d'affichage x_{0}}$${\style d'affichage {x_{0}}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage x_{0}}$${\style d'affichage \{x_{0},x\}}$

Cardinalité

La propriété de séparabilité ne donne en soi aucune limitation sur la cardinalité d'un espace topologique : tout ensemble doté de la topologie triviale est séparable, de même que le second dénombrable, quasi-compact et connexe . Le « problème » avec la topologie triviale est ses mauvaises propriétés de séparation : son quotient de Kolmogorov est l'espace à un point.

Un premier espace de Hausdorff dénombrable et séparable (en particulier, un espace métrique séparable) a au plus la cardinalité continue . Dans un tel espace, la fermeture est déterminée par les limites des séquences et toute séquence convergente a au plus une limite, il existe donc une carte surjective de l'ensemble des séquences convergentes avec des valeurs dans le sous-ensemble dense dénombrable aux points de . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\style d'affichage X}$

Un espace de Hausdorff séparable a une cardinalité au plus , où est la cardinalité du continu. Car cette fermeture est caractérisée en termes de limites de bases de filtres : si et , alors si et seulement s'il existe une base de filtres constituée de sous-ensembles de qui converge vers . La cardinalité de l'ensemble de telles bases de filtres est au plus . De plus, dans un espace Hausdorff, il y a au plus une limite à chaque base de filtre. Il y a donc surjection quand${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle z\in {\overline {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage z}$${\style d'affichage S(Y)}$${\displaystyle 2^{2^{|Y|}}}$${\style d'affichage S(Y)\rightarrow X}$${\displaystyle {\overline {Y}}=X.}$

Les mêmes arguments établissent un résultat plus général : supposons qu'un espace topologique de Hausdorff contienne un sous-ensemble dense de cardinalité . Puis a cardinalité au plus et cardinalité au plus s'il est d'abord dénombrable. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \kappa }$${\style d'affichage X}$${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$${\displaystyle 2^{\kappa }}$

Le produit d'au plus un continuum d'espaces séparables est un espace séparable ( Willard 1970 , p. 109, Th 16.4c). En particulier, l'espace de toutes les fonctions depuis la ligne réelle jusqu'à elle-même, doté de la topologie du produit, est un espace de Hausdorff séparable de cardinalité . Plus généralement, si est un cardinal infini, alors un produit d'au plus des espaces avec des sous-ensembles denses de taille au plus a lui-même un sous-ensemble dense de taille au plus ( théorème de Hewitt-Marczewski-Pondiczery ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$${\style d'affichage \kappa }$${\displaystyle 2^{\kappa }}$${\style d'affichage \kappa }$${\style d'affichage \kappa }$

Mathématiques constructives

La séparabilité est particulièrement importante en analyse numérique et en mathématiques constructives , car de nombreux théorèmes pouvant être prouvés pour des espaces non séparables n'ont de preuves constructives que pour des espaces séparables. De telles preuves constructives peuvent être transformées en algorithmes à utiliser dans l'analyse numérique, et ce sont les seules sortes de preuves acceptables dans l'analyse constructive. Un exemple célèbre d'un théorème de ce genre est le théorème de Hahn-Banach .

Autres exemples

Espaces séparables

• Tout espace métrique compact (ou espace métrisable) est séparable.
• Tout espace topologique qui est l'union d'un nombre dénombrable de sous-espaces séparables est séparable. Ensemble, ces deux premiers exemples donnent une preuve différente que l' espace euclidien -dimensionnel est séparable.${\style d'affichage n}$
• L'espace de toutes les fonctions continues d'un sous - ensemble compact à la ligne réelle est séparable.${\style d'affichage C(K)}$${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Les espaces de Lebesgue , sur un espace de mesure séparable , sont séparables pour tout .${\displaystyle L^{p}\left(X,\mu \right)}$ ${\displaystyle \left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle }$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$
• L'espace des fonctions continues à valeur réelle sur l' intervalle unitaire avec la métrique de convergence uniforme est un espace séparable, car il résulte du théorème d'approximation de Weierstrass que l'ensemble des polynômes dans une variable avec des coefficients rationnels est un sous-ensemble dense dénombrable de . Le théorème de Banach-Mazur affirme que tout espace de Banach séparable est isométriquement isomorphe à un sous - espace linéaire fermé de .${\style d'affichage C([0,1])}$ ${\style d'affichage [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$${\style d'affichage C([0,1])}$${\style d'affichage C([0,1])}$
• Un espace de Hilbert est séparable si et seulement s'il a une base orthonormée dénombrable . Il s'ensuit que tout espace de Hilbert séparable et de dimension infinie est isométrique à l'espace des séquences carrées sommables.${\displaystyle \ell ^{2}}$
• Un exemple d'espace séparable qui n'est pas dénombrable en secondes est la ligne de Sorgenfrey , l'ensemble des nombres réels équipés de la topologie limite inférieure .${\displaystyle \mathbb {S} }$
• Une -algèbre séparable est une -algèbre qui est un espace séparable lorsqu'il est considéré comme un espace métrique avec une métrique pour et une mesure donnée (et avec l' opérateur de différence symétrique ).${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A\triangle B)}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \triangle }$

Espaces non séparables

• Le premier ordinal indénombrable , doté de sa topologie d'ordre naturel , n'est pas séparable.${\displaystyle \omega _{1}}$
• L' espace de Banach de toutes les suites réelles bornées, avec la norme supremum , n'est pas séparable. Il en est de même pour .${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }}$
• L' espace de Banach des fonctions de variation bornée n'est pas séparable ; notons cependant que cet espace a des applications très importantes en mathématiques, physique et ingénierie.

Propriétés

• Un sous - espace d'un espace séparable n'a pas besoin d'être séparable (voir le plan de Sorgenfrey et le plan de Moore ), mais tout sous-espace ouvert d'un espace séparable est séparable, ( Willard 1970 , Th 16.4b). De plus, chaque sous-espace d'un espace métrique séparable est séparable.
• En fait, tout espace topologique est un sous-espace d'un espace séparable de même cardinalité . Une construction ajoutant au plus un nombre dénombrable de points est donnée dans ( Sierpiński 1952 , p. 49) ; si l'espace était un espace Hausdorff alors l'espace construit dans lequel il s'encastre est également un espace Hausdorff.
• L'ensemble de toutes les fonctions continues à valeur réelle sur un espace séparable a une cardinalité inférieure ou égale à . Cela s'ensuit puisque de telles fonctions sont déterminées par leurs valeurs sur des sous-ensembles denses.${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• De la propriété ci-dessus, on peut déduire ce qui suit : Si X est un espace séparable ayant un sous-espace discret fermé indénombrable, alors X ne peut pas être normal . Cela montre que le plan de Sorgenfrey n'est pas normal.
• Pour un espace de Hausdorff compact X , les éléments suivants sont équivalents :

(i) X est le deuxième dénombrable.

(ii) L'espace des fonctions continues à valeurs réelles sur X de norme supremum est séparable.${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$

(iii) X est métrisable.

Incorporation d'espaces métriques séparables

• Tout espace métrique séparable est homéomorphe à un sous-ensemble du cube de Hilbert . Ceci est établi dans la preuve du théorème de métrisation d'Urysohn .
• Tout espace métrique séparable est isométrique à un sous-ensemble de l'espace de Banach (non séparable) l ^∞ de toutes les suites réelles bornées de norme supremum ; c'est ce qu'on appelle l'encastrement de Fréchet. ( Heinonen 2003 )
• Tout espace métrique séparable est isométrique à un sous-ensemble de C([0,1]), l'espace de Banach séparable des fonctions continues [0,1] →  R , de norme supremum . C'est grâce à Stefan Banach . ( Heinonen 2003 )
• Chaque espace métrique séparable est isométrique à un sous-ensemble de l' espace universel d'Urysohn .

Pour les espaces non séparables :

• Un espace métrique de densité égale à un cardinal infini α est isométrique à un sous - espace de C ([0,1] ^α , R ) , l'espace des fonctions réelles continues sur le produit de l' alpha copies de l'intervalle d'unité. ( Kleiber 1969 )erreur harv : pas de cible : CITEREFKleiber1969 ( aide )

Les références

• Heinonen, Juha (janvier 2003), Geometric embeddings of metric spaces (PDF) , récupéré le 6 février 2009

• Kelley, John L. (1975), Topologie générale , Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, MR  0370454
• Kleiber, Martin ; Pervin, William J. (1969), "Un théorème de Banach-Mazur généralisé", Bull. Austral. Math. Soc. , 1 (2) : 169–173, doi : 10.1017/S0004972700041411
• Sierpiński, Wacław (1952), General topology , Mathematical Expositions, No. 7, Toronto, Ont.: University of Toronto Press, MR  0050870
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( Dover réimpression de 1978 ed.), Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446
• Willard, Stephen (1970), Topologie générale , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-08707-9, MR  0264581