Indépendance algébrique - Algebraic independence

En algèbre abstraite , un sous - ensemble d'un corps est algébriquement indépendant sur un sous-corps si les éléments de ne satisfont à aucune équation polynomiale non triviale avec des coefficients dans . ${\style d'affichage S}$ ${\style d'affichage L}$ ${\style d'affichage K}$${\style d'affichage S}$ ${\style d'affichage K}$

En particulier, un ensemble à un élément est algébriquement indépendant sur si et seulement si est transcendant sur . En général, tous les éléments d'un ensemble algébriquement indépendant sur sont nécessairement transcendantaux sur , et sur toutes les extensions de champ sur générées par les éléments restants de . ${\style d'affichage \{\alpha \}}$${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage S}$

Exemple

Les deux nombres réels et sont chacun des nombres transcendants : ils ne sont pas les racines d'un polynôme non trivial dont les coefficients sont des nombres rationnels . Ainsi, chacun des deux ensembles singleton et est algébriquement indépendant sur le corps des nombres rationnels. ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$${\style d'affichage 2\pi +1}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$${\style d'affichage \{2\pi +1\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Cependant, l'ensemble n'est pas algébriquement indépendant des nombres rationnels, car le polynôme non trivial ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$

${\style d'affichage P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

est nul quand et . ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$${\displaystyle y=2\pi +1}$

Indépendance algébrique des constantes connues

Bien que les deux et e soient connus pour être transcendantaux, on ne sait pas si l'ensemble des deux est algébriquement indépendant sur . En fait, on ne sait même pas si c'est irrationnel. Nesterenko a prouvé en 1996 que : ${\style d'affichage \pi }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\style d'affichage \pi +e}$

• les nombres , et Γ (1/4) sont algébriquement indépendants sur .${\style d'affichage \pi }$${\displaystyle e^{\pi }}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• les nombres , , et (1/3) sont algébriquement indépendants sur .${\style d'affichage \pi }$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• pour tous les entiers positifs , les nombres et sont algébriquement indépendants sur .${\style d'affichage n}$${\style d'affichage \pi }$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Théorème de Lindemann-Weierstrass

Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement indépendants sur . Il précise que chaque fois sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur , puis sont également algébriquement indépendants sur . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Matroïdes algébriques

Étant donné une extension de champ qui n'est pas algébrique, le lemme de Zorn peut être utilisé pour montrer qu'il existe toujours un sous-ensemble maximal algébriquement indépendant de over . De plus, tous les sous-ensembles algébriquement indépendants maximaux ont la même cardinalité , connue sous le nom de degré de transcendance de l'extension. ${\style d'affichage L/K}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage K}$

Pour chaque ensemble d'éléments de , les sous-ensembles algébriquement indépendants de satisfont les axiomes qui définissent les ensembles indépendants d'un matroïde . Dans ce matroïde, le rang d'un ensemble d'éléments est son degré de transcendance, et le plat engendré par un ensemble d'éléments est l'intersection de avec le champ . Un matroïde qui peut être généré de cette manière est appelé un matroïde algébrique . Aucune bonne caractérisation des matroïdes algébriques n'est connue, mais certains matroïdes sont connus pour être non algébriques ; le plus petit est le matroïde Vámos . ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage K[T]}$

De nombreux matroïdes finis peuvent être représentés par une matrice sur un champ , dans lequel les éléments du matroïde correspondent aux colonnes de la matrice, et un ensemble d'éléments est indépendant si l'ensemble correspondant de colonnes est linéairement indépendant . Chaque matroïde avec une représentation linéaire de ce type peut également être représenté comme un matroïde algébrique, en choisissant un indéterminé pour chaque ligne de la matrice, et en utilisant les coefficients matriciels au sein de chaque colonne pour attribuer à chaque élément du matroïde une combinaison linéaire de ces transcendantaux. L'inverse est faux : tous les matroïdes algébriques n'ont pas une représentation linéaire. ${\style d'affichage K}$

Les références

Liens externes

• Chen, Johnny. "Algébriquement indépendant" . MathWorld .