Presque partout - Almost everywhere

Un exemple de mesure simple attribue à une sous-région du rectangle la fraction de la zone géométrique qu'elle occupe. Ensuite, la limite du rectangle a la mesure 0, tandis que son intérieur a la mesure 1. Presque chaque point du rectangle est un point intérieur , mais l'intérieur a un complément non vide .

Dans la théorie des mesures (une branche de l'analyse mathématique ), une propriété tient presque partout si, au sens technique, l'ensemble pour lequel la propriété tient prend presque toutes les possibilités. La notion de «presque partout» est une notion complémentaire au concept de mesure zéro , et est analogue à la notion de presque sûrement en théorie des probabilités .

Plus précisément, une propriété est valable presque partout si elle est valable pour tous les éléments d'un ensemble à l'exception d'un sous-ensemble de mesure zéro, ou de manière équivalente, si l'ensemble des éléments pour lesquels la propriété est valable est conull . Dans les cas où la mesure n'est pas complète , il suffit que l'ensemble soit contenu dans un ensemble de mesure zéro. Lors de la discussion des ensembles de nombres réels , la mesure de Lebesgue est généralement supposée, sauf indication contraire.

Le terme est presque partout abrégé ae ; dans la littérature plus ancienne, pp est utilisé, pour représenter l' expression française équivalente presque partout .

Un ensemble avec une mesure complète est un ensemble dont le complément est de mesure zéro. Dans la théorie des probabilités, les termes presque sûrement , presque certains et se réfèrent presque toujours à des événements avec une probabilité 1 n'incluant pas nécessairement tous les résultats. Ce sont exactement les ensembles de mesures complètes dans un espace de probabilité.

Parfois, au lieu de dire qu'une propriété tient presque partout, on dit que la propriété vaut pour presque tous les éléments (bien que le terme presque tous puisse aussi avoir d'autres significations).

Définition

Si est un espace de mesure , on dit qu'une propriété tient presque partout s'il existe un ensemble avec , et toutes ont la propriété . Une autre façon courante d'exprimer la même chose est de dire que «presque tous les points satisfont », ou que «pour presque tous , c'est vrai ». ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle N \ in \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ mu (N) = 0}$ ${\ displaystyle x \ in X \ setminus N}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P \,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle P (x)}$

Il n'est pas nécessaire que l'ensemble ait la mesure 0; il peut ne pas appartenir à . Selon la définition ci-dessus, il suffit d' être contenu dans un ensemble mesurable et de mesure 0. ${\ displaystyle \ {x \ in X: \ neg P (x) \}}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ {x \ in X: \ neg P (x) \}}$ ${\ displaystyle N}$

Propriétés

Si la propriété tient presque partout et implique la propriété , alors la propriété tient presque partout. Cela découle de la monotonie des mesures. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle Q}$
S'il s'agit d'une séquence finie ou dénombrable de propriétés, dont chacune tient presque partout, alors leur conjonction est valable presque partout. Cela découle de la sous-additivité dénombrable des mesures. ${\ displaystyle (P_ {n})}$ ${\ displaystyle \ forall nP_ {n}}$
En revanche, s'il s'agit d'une famille innombrable de propriétés, dont chacune tient presque partout, alors leur conjonction ne tient pas nécessairement presque partout. Par exemple, si la mesure de Lebesgue est activée et est la propriété de ne pas être égal à (c'est- à -dire vrai si et seulement si ), alors chacun est valable presque partout, mais la conjonction ne tient nulle part. ${\ displaystyle (P_ {x}) _ {x \ in \ mathbf {R}}}$ ${\ displaystyle \ forall xP_ {x}}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle X = \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle P_ {x}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle P_ {x} (y)}$ ${\ displaystyle y \ neq x}$ ${\ displaystyle P_ {x}}$ ${\ displaystyle \ forall xP_ {x}}$

En raison des deux premières propriétés, il est souvent possible de raisonner sur «presque tous les points» d'un espace de mesure comme s'il s'agissait d'un point ordinaire plutôt que d'une abstraction. Cela se fait souvent implicitement dans des arguments mathématiques informels. Cependant, il faut être prudent avec ce mode de raisonnement à cause du troisième point ci-dessus: la quantification universelle sur d'innombrables familles d'énoncés est valable pour des points ordinaires mais pas pour «presque tous les points».

Exemples

Si f : R → R est une fonction intégrable de Lebesgue et presque partout, alors ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$
${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ geq 0}$
pour tous les nombres réels avec égalité si et seulement si presque partout. ${\ displaystyle a <b}$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$
Si f : [ a , b ] → R est une fonction monotone , alors f est différentiable presque partout.
Si f : R → R est Lebesgue mesurable et
${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | \, dx <\ infty}$

pour tous les nombres réels , alors il existe un ensemble E (dépendant de f ) tel que, si x est dans E , la moyenne de Lebesgue ${\ displaystyle a <b}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ epsilon}} \ int _ {x- \ epsilon} ^ {x + \ epsilon} f (t) \, dt}$
converge vers f ( x ) lorsque diminue vers zéro. L'ensemble E est appelé l'ensemble de Lebesgue de f . On peut prouver que son complément a une mesure zéro. En d'autres termes, la moyenne de Lebesgue de f converge vers f presque partout. ${\ displaystyle \ epsilon}$
Une fonction bornée f : [ a , b ] → R est Riemann intégrable si et seulement si elle est continue presque partout.
Par curiosité, le développement décimal de presque tous les nombres réels dans l'intervalle [0, 1] contient le texte complet des pièces de Shakespeare , encodé en ASCII ; de même pour toutes les autres séquences de chiffres finis, voir Nombre normal .

Définition à l'aide d'ultrafiltres

En dehors du contexte de l'analyse réelle, la notion de propriété vraie presque partout est parfois définie en termes d' ultrafiltre . Un ultrafiltre sur un ensemble X est une collection maximale F de sous-ensembles de X tels que:

Si U ∈ F et U ⊆ V alors V ∈ F
L'intersection de deux ensembles quelconques dans F est dans F
L'ensemble vide n'est pas en F

Une propriété P de points dans X détient presque partout, par rapport à un ultrafiltre F , si l'ensemble des points pour lesquels P détient est en F .

Par exemple, une construction du système de nombres hyperréal définit un nombre hyperréel comme une classe d'équivalence de séquences qui sont égales presque partout comme défini par un ultrafiltre.

La définition de presque partout en termes d'ultrafiltres est étroitement liée à la définition en termes de mesures, car chaque ultrafiltre définit une mesure finement additive ne prenant que les valeurs 0 et 1, où un ensemble a la mesure 1 si et seulement s'il est inclus dans l'ultrafiltre.

Voir également

Fonction de Dirichlet , une fonction égale à 0 presque partout.

Les références

^ ^un ^b "Le Glossaire Définitif du Jargon Mathématique Supérieur - Presque" . Math Vault . 01/08/2019 . Récupéré le 19/11/2019 .
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^ Halmos, Paul R. (1974). Mesurer la théorie . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8 .
^ "Définition de presque partout | Dictionary.com" . www.dictionary.com . Récupéré le 19/11/2019 .
^ Ursell, HD (01/01/1932). "Sur la Convergence Presque Partout de la Série de Rademacher et des Sommes de Bochnerfejér d'une Fonction presque Périodique dans le Sens de Stepanoff" . Actes de la London Mathematical Society . s2-33 (1): 457–466. doi : 10.1112 / plms / s2-33.1.457 . ISSN 0024-6115 .
^ "Les propriétés qui tiennent presque partout - Mathonline" . mathonline.wikidot.com . Récupéré le 19/11/2019 .

Bibliographie

Billingsley, Patrick (1995). Probabilité et mesure (3e éd.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2 .

[:0-1] un ^b "Le Glossaire Définitif du Jargon Mathématique Supérieur - Presque" . Math Vault . 01/08/2019 . Récupéré le 19/11/2019 .

[2] Weisstein, Eric W. "Presque Partout" . mathworld.wolfram.com . Récupéré le 19/11/2019 .

[3] Halmos, Paul R. (1974). Mesurer la théorie . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8 .

[4] "Définition de presque partout | Dictionary.com" . www.dictionary.com . Récupéré le 19/11/2019 .

[5] Ursell, HD (01/01/1932). "Sur la Convergence Presque Partout de la Série de Rademacher et des Sommes de Bochnerfejér d'une Fonction presque Périodique dans le Sens de Stepanoff" . Actes de la London Mathematical Society . s2-33 (1): 457–466. doi : 10.1112 / plms / s2-33.1.457 . ISSN 0024-6115 .

[6] "Les propriétés qui tiennent presque partout - Mathonline" . mathonline.wikidot.com . Récupéré le 19/11/2019 .

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