Séquence d'appel - Appell sequence

En mathématiques , une suite d' Appell , du nom de Paul Émile Appell , est toute suite polynomiale satisfaisant l' identité ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

et dans laquelle est une constante non nulle. ${\style d'affichage p_{0}(x)}$

Parmi les séquences d'Appell les plus notables, outre l'exemple trivial, figurent les polynômes d'Hermite , les polynômes de Bernoulli et les polynômes d'Euler . Chaque séquence d'Appell est une séquence de Sheffer , mais la plupart des séquences de Sheffer ne sont pas des séquences d'Appell. Les séquences d'appel ont une interprétation probabiliste en tant que systèmes de moments . ${\style d'affichage \{x^{n}\}}$

Caractérisations équivalentes des séquences Appell

Les conditions suivantes sur les suites polynomiales peuvent facilement être considérées comme équivalentes :

• Pour ,${\style d'affichage n=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}$

et est une constante non nulle ;${\style d'affichage p_{0}(x)}$

• Pour une séquence de scalaires avec ,${\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle c_{0}\neq 0}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{nk};}$

• Pour la même séquence de scalaires,

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n},}$

où

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}$

• Pour ,${\style d'affichage n=0,1,2,\ldots }$

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{nk}.}$

Formule de récursivité

Supposer

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n} =Sx^{n},}$

où la dernière égalité est prise pour définir l'opérateur linéaire sur l'espace des polynômes dans . Laisser ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage x}$

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right) ^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}$

être l'opérateur inverse, les coefficients étant ceux de l'inverse habituel d'une série formelle formelle , de sorte que ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$

Dans les conventions du calcul ombral , on traite souvent cette série formelle formelle comme représentant la suite d'Appell . On peut définir ${\style d'affichage T}$${\style d'affichage p_{n}}$

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}$

en utilisant l'expansion habituelle en séries entières de et la définition habituelle de la composition des séries entières formelles. Ensuite nous avons ${\displaystyle \log(x)}$

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$

(Cette différenciation formelle d'une série entière dans l'opérateur différentiel est un exemple de différenciation de Pincherle .) ${\style d'affichage D}$

Dans le cas des polynômes d'Hermite , cela se réduit à la formule de récursivité conventionnelle pour cette séquence.

Sous-groupe des polynômes de Sheffer

L'ensemble de toutes les séquences Appell est fermé sous l'opération de composition ombrale de séquences polynomiales, définie comme suit. Supposons et sont des suites polynomiales, données par ${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$${\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ et }}q_{n}(x)=\ somme _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

Alors la composition ombrale est la suite polynomiale dont le e terme est ${\style d'affichage p\circ q}$${\style d'affichage n}$

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$

(l'indice apparaît dans , puisqu'il s'agit du ième terme de cette séquence, mais pas dans , car cela fait référence à la séquence dans son ensemble plutôt qu'à l'un de ses termes). ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage p_{n}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage q}$

Dans cette opération, l'ensemble de toutes les séquences de Sheffer est un groupe non abélien , mais l'ensemble de toutes les séquences d'Appell est un sous-groupe abélien . Qu'il soit abélien peut être vu en considérant le fait que chaque séquence d'Appell est de la forme

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n},}$

et que la composition ombrale des suites d'Appell correspond à la multiplication de ces séries formelles entières dans l'opérateur . ${\style d'affichage D}$

Convention différente

Une autre convention suivie par certains auteurs (voir Chihara ) définit ce concept d'une manière différente, en conflit avec la définition originale d'Appell, en utilisant l'identité

${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)}$

au lieu.

Voir également

• Séquence de Sheffer
• Calcul ombral
• Polynômes d'appel généralisés
• Produit mèche

Les références

• Appell, Paul (1880). "Sur une classe de polynômes" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2e Série. 9 : 119-144.
• Romain, Steven ; Rota, Gian-Carlo (1978). "Le calcul ombral" . Avancées en mathématiques . 27 (2) : 95-188. doi : 10.1016/0001-8708 (78) 90087-7 ..
• Rota, Gian-Carlo ; Kahaner, D.; Odlyzko, André (1973). "Calcul des opérateurs finis" . Journal d'analyse et d'applications mathématiques . 42 (3) : 685-760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Réimprimé dans le livre du même titre, Academic Press, New York, 1975.
• Steven Romain. Le calcul ombral . Publications de Douvres .
• Théodore Seio Chihara (1978). Une introduction aux polynômes orthogonaux . Gordon et Breach, New York. ISBN 978-0-677-04150-6.

Liens externes

• "Appell polynômes" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Séquence d' appel à MathWorld