Séquence de Sheffer - Sheffer sequence

En mathématiques , une suite de Sheffer ou poweroïde est une suite polynomiale , c'est-à-dire une suite ( p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ...) de polynômes dans laquelle l'indice de chaque polynôme est égal à son degré , satisfaisant les conditions liées au calcul ombral en combinatoire . Ils portent le nom d' Isador M. Sheffer .

Définition

Fixez une suite polynomiale ( p _n ). Définir un opérateur linéaire Q sur les polynômes en x par

${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)\,.}$

Cela détermine Q sur tous les polynômes. La suite polynomiale p _n est une suite de Sheffer si l'opérateur linéaire Q qui vient d'être défini est shift-équivariant ; un tel Q est alors un opérateur delta . Ici, nous définissons un opérateur linéaire Q sur les polynômes comme étant shift-équivariant si, chaque fois que f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) est un "shift" de g ( x ), alors ( Qf )( x ) = ( Qg )( x + a ); c'est-à-dire que Q commute avec chaque opérateur de décalage : T _a Q = QT _a .

Propriétés

L'ensemble de toutes les séquences de Sheffer est un groupe sous l'opération de composition ombrale de séquences polynomiales, défini comme suit. Supposons que (  p _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) et (  q _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) soient des suites polynomiales, données par

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{and}}\ q_{n}(x) =\somme _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

Alors la composition ombrale est la suite polynomiale dont le n ième terme est ${\style d'affichage p\circ q}$

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$

(l'indice n apparaît dans p _n , puisqu'il s'agit du n terme de cette séquence, mais pas dans q , car cela fait référence à la séquence dans son ensemble plutôt qu'à l'un de ses termes).

L'élément d'identité de ce groupe est la base monôme standard

${\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.}$

Deux sous - groupes importants sont le groupe des séquences Appell , qui sont les séquences pour lesquelles l' opérateur Q est une simple différenciation , et le groupe des séquences de type binomial , qui sont celles qui satisfont l' identité

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choisissez k}p_{k}(x)p_{nk}(y).}$

Une suite de Sheffer (  p _n ( x ) : n  = 0, 1, 2, ... ) est de type binomial si et seulement si les deux

${\style d'affichage p_{0}(x)=1\,}$

et

${\displaystyle p_{n}(0)=0{\mbox{ pour }}n\geq 1.\,}$

Le groupe des séquences d'Appell est abélien ; le groupe de séquences de type binomial ne l'est pas. Le groupe des séquences Appell est un sous-groupe normal ; le groupe de séquences de type binomial ne l'est pas. Le groupe des séquences de Sheffer est un produit semi - direct du groupe des séquences d'Appell et du groupe des séquences de type binomial. Il s'ensuit que chaque coset du groupe de séquences d'Appell contient exactement une séquence de type binomial. Deux séquences de Sheffer sont dans le même coset si et seulement si l'opérateur Q décrit ci-dessus - appelé " opérateur delta " de cette séquence - est le même opérateur linéaire dans les deux cas. (Généralement, un opérateur delta est un opérateur linéaire équivariant de décalage sur des polynômes qui réduit le degré de un. Le terme est dû à F. Hildebrandt.)

Si s _n ( x ) est une séquence de Sheffer et p _n ( x ) est la seule séquence de type binomial qui partage le même opérateur delta, alors

${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choisissez k}p_{k}(x)s_{nk}(y).}$

Parfois, le terme séquence de Sheffer est défini pour signifier une séquence qui porte cette relation avec une séquence de type binomial. En particulier, si (  s _n ( x ) ) est une suite d'Appell, alors

${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choisissez k}x^{k}s_{nk}(y).}$

La séquence des polynômes d'Hermite , la séquence des polynômes de Bernoulli et les monômes ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ... ) sont des exemples de séquences d'Appell.

Une suite de Sheffer p _n est caractérisée par sa fonction génératrice exponentielle

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t) )\,}$

où A et B sont des séries entières ( formelles ) dans t . Les séquences de Sheffer sont donc des exemples de polynômes d'Appell généralisés et ont donc une relation de récurrence associée .

Exemples

Voici des exemples de séquences polynomiales qui sont des séquences de Sheffer :

• Les polynômes d'Abel ;
• Les polynômes de Bernoulli ;
• Les polynômes factoriels centraux ;
• Les polynômes de l'Hermite ;
• Les polynômes de Laguerre ;
• Les polynômes de Mahler ;
• Les monômes ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ... );
• Les polynômes de Mott ;

Les références

• Rota, G.-C. ; Kahaner, D.; Odlyzko, A. (juin 1973). "Sur les fondements de la théorie combinatoire VIII: Calcul d'opérateur fini" . Journal d'analyse et d'applications mathématiques . 42 (3) : 684-750. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Réimprimé dans la prochaine référence.
• Rota, G.-C. ; Doubilet, P. ; Greene, C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A.; Stanley, R. (1975). Calcul d'opérateur fini . Presse académique. ISBN 0-12-596650-4.
• Sheffer, IM (1939). « Certaines propriétés des ensembles polynomiaux de type zéro ». Journal mathématique du duc . 5 (3) : 590-622. doi : 10.1215/S0012-7094-39-00549-1 .
• Romain, Steven (1984). Le calcul ombral . Mathématiques pures et appliquées. 111 . Londres : Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers]. ISBN 978-0-12-594380-2. MR  0741185 . Réimprimé par Douvres, 2005.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Séquence de Sheffer" . MathWorld .