Cercles jumeaux - Twin circles

Les cercles jumeaux (rouges) d'un arbelos (gris)

Animation de cercles jumeaux pour différentes positions du point B sur le segment AC

En géométrie , les cercles jumeaux sont deux cercles spéciaux associés à un arbelos . Un arbelos est déterminé par trois points colinéaires A , B et C , et est la région triangulaire curviligne entre les trois demi - cercles qui ont AB , BC et AC comme diamètres. Si l'arbelos est divisé en deux régions plus petites par un segment de ligne passant par le point médian de A , B et C , perpendiculaire à la ligne ABC , alors chacun des deux cercles jumeaux se trouve dans l'une de ces deux régions, tangente à ses deux demi-circulaires. côtés et au segment de séparation.

Ces cercles sont apparus pour la première fois dans le Livre des Lemmes , qui a montré (Proposition V) que les deux cercles sont congruents . Thābit ibn Qurra , qui a traduit ce livre en arabe, l'a attribué au mathématicien grec Archimède . Sur la base de cette affirmation, les cercles jumeaux, et plusieurs autres cercles de l'Arbelos qui leur sont congruents, ont également été appelés les cercles d'Archimède . Cependant, cette attribution a été remise en question par des recherches ultérieures.

Construction

Plus précisément, laissez , et soyez les trois coins de l'arbelos, avec entre et . Soit le point où le plus grand demi-cercle intercepte la ligne perpendiculaire au point passant . Le segment divise les arbelos en deux parties. Les cercles jumeaux sont les deux cercles inscrits dans ces parties, chacun tangent à l'un des deux plus petits demi-cercles, au segment et au plus grand demi-cercle. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle BH}$${\ displaystyle BH}$

Chacun des deux cercles est uniquement déterminé par ses trois tangences. Le construire est un cas particulier du problème d'Apollonius .

Des approches alternatives pour construire deux cercles congruents aux cercles jumeaux ont également été trouvées. Ces cercles ont également été appelés cercles archimédiens. Ils incluent le cercle Bankoff , les cercles Schoch et les cercles Woo .

Propriétés

Soit a et b les diamètres de deux demi-cercles intérieurs, de sorte que le demi-cercle extérieur ait un diamètre a  +  b . Le diamètre de chaque cercle jumeau est alors

${\ displaystyle d = {\ frac {ab} {a + b}}.}$

Alternativement, si le demi-cercle extérieur a un diamètre unitaire, et les cercles intérieurs ont des diamètres et , le diamètre de chaque cercle jumeau est ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle 1-s}$

${\ Displaystyle d = s (1-s). \,}$

Le plus petit cercle qui entoure les deux cercles jumeaux a la même aire que les arbelos.

Voir également

• Ligne Schoch

Les références