Polynômes en cloche - Bell polynomials

En mathématiques combinatoires , les polynômes de Bell , nommés en l'honneur d' Eric Temple Bell , sont utilisés dans l'étude des partitions ensemblistes. Ils sont liés aux numéros Stirling et Bell . Ils se produisent également dans de nombreuses applications, comme dans la formule de Faà di Bruno .

polynômes en cloche

Polynômes exponentiels de Bell

Les polynômes de Bell exponentiels partiels ou incomplets sont un tableau triangulaire de polynômes donné par

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left( {x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{ j_{n-k+1}},}$

où la somme est prise sur toutes les séquences j ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n − k +1} d'entiers non négatifs tels que ces deux conditions soient satisfaites :

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

La somme

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2} ,\points ,x_{n-k+1})}$

est appelé le n ième polynôme de Bell exponentiel complet .

Polynômes de Bell ordinaires

De même, le polynôme de Bell ordinaire partiel , contrairement au polynôme de Bell exponentiel habituel défini ci-dessus, est donné par

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{ j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n -k+1}^{j_{n-k+1}},}$

où la somme s'étend sur toutes les séquences j ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n − k +1} d'entiers non négatifs tels que

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

Les polynômes de Bell ordinaires peuvent être exprimés en termes de polynômes de Bell exponentiels :

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n! }}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}). }$

En général, le polynôme de Bell fait référence au polynôme exponentiel de Bell, sauf indication contraire explicite.

Signification combinatoire

Le polynôme exponentiel de Bell code les informations relatives aux façons dont un ensemble peut être partitionné. Par exemple, si nous considérons un ensemble {A, B, C}, il peut être partitionné en deux sous-ensembles non vides et non chevauchants, également appelés parties ou blocs, de 3 manières différentes :

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

Ainsi, nous pouvons encoder les informations concernant ces partitions comme

${\displaystyle B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.}$

Ici, les indices de B _3,2 nous indiquent que nous envisageons le partitionnement de l'ensemble à 3 éléments en 2 blocs. L'indice de chaque x _i indique la présence de bloc à i éléments (ou bloc de taille i ) dans une partition donnée. Donc ici, x ₂ indique la présence d'un bloc à deux éléments. De même, x ₁ indique la présence d'un bloc avec un seul élément. L'exposant de x _i ^j indique qu'il y a j de tels blocs de taille i dans une seule partition. Ici, puisque à la fois x ₁ et x ₂ ont un exposant 1, cela indique qu'il n'y a qu'un seul bloc de ce type dans une partition donnée. Le coefficient du monôme indique le nombre de telles partitions. Pour notre cas, il y a 3 partitions d'un ensemble avec 3 éléments en 2 blocs, où dans chaque partition les éléments sont divisés en deux blocs de tailles 1 et 2.

Comme tout ensemble ne peut être divisé en un seul bloc que d'une seule manière, l'interprétation ci-dessus signifierait que B _{n ,1} = x _n . De même, puisqu'il n'y a qu'une seule façon de diviser un ensemble avec n éléments en n singletons, B _{n , n} = x ₁ ⁿ .

Comme exemple plus compliqué, considérons

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_ {2}+10x_{3}^{2}.}$

Cela nous dit que si un ensemble de 6 éléments est divisé en 2 blocs, alors on peut avoir 6 partitions avec des blocs de taille 1 et 5, 15 partitions avec des blocs de taille 4 et 2, et 10 partitions avec 2 blocs de taille 3.

La somme des indices d'un monôme est égale au nombre total d'éléments. Ainsi, le nombre de monômes qui apparaissent dans le polynôme partiel de Bell est égal au nombre de façons dont l'entier n peut être exprimé comme une somme de k entiers positifs. C'est la même chose que la partition entière de n en k parties. Par exemple, dans les exemples ci-dessus, l'entier 3 peut être divisé en deux parties en 2+1 uniquement. Ainsi, il n'y a qu'un seul monôme dans B _3,2 . Cependant, l'entier 6 peut être divisé en deux parties comme 5+1, 4+2 et 3+3. Ainsi, il y a trois monômes dans B _6,2 . En effet, les indices des variables d'un monôme sont les mêmes que ceux donnés par la partition entière, indiquant les tailles des différents blocs. Le nombre total de monômes apparaissant dans un polynôme de Bell complet B _n est donc égal au nombre total de partitions entières de  n .

De plus, le degré de chaque monôme, qui est la somme des exposants de chaque variable dans le monôme, est égal au nombre de blocs dans lesquels l'ensemble est divisé. C'est-à-dire j ₁ + j ₂ + ... = k . Ainsi, étant donné un polynôme de Bell complet B _n , nous pouvons séparer le polynôme de Bell partiel B _n,k en rassemblant tous ces monômes de degré k .

Enfin, si nous ignorons les tailles des blocs et mettons tous les x _i = x , alors la sommation des coefficients du polynôme partiel de Bell B _{n , k} donnera le nombre total de façons dont un ensemble avec n éléments peut être partitionné en k blocs, ce qui est le même que les nombres de Stirling du deuxième type . De plus, la sommation de tous les coefficients du polynôme de Bell complet B _n nous donnera le nombre total de façons dont un ensemble de n éléments peut être partitionné en sous-ensembles non chevauchants, ce qui est le même que le nombre de Bell.

En général, si l'entier n est partitionné en une somme dans laquelle "1" apparaît j ₁ fois, "2" apparaît j ₂ fois, et ainsi de suite, alors le nombre de partitions d'un ensemble de taille n qui s'effondrent sur cette partition de l'entier n lorsque les membres de l'ensemble deviennent indiscernables est le coefficient correspondant dans le polynôme.

Exemples

Par exemple, nous avons

${\style d'affichage B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_ {2}+10x_{3}^{2}}$

car les façons de partitionner un ensemble de 6 éléments en 2 blocs sont

6 façons de partitionner un ensemble de 6 en 5 + 1,

15 façons de partitionner un ensemble de 6 en 4 + 2, et

10 façons de partitionner un ensemble de 6 en 3 + 3.

De la même manière,

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{ 2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

car les façons de partitionner un ensemble de 6 éléments en 3 blocs sont

15 façons de partitionner un ensemble de 6 en 4 + 1 + 1,

60 façons de partitionner un ensemble de 6 en 3 + 2 + 1, et

15 façons de partitionner un ensemble de 6 en 2 + 2 + 2.

Propriétés

Fonction génératrice

Les polynômes de Bell partiels exponentiels peuvent être définis par le développement en double série de sa fonction génératrice :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j} }{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac { t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}} \sum _{k=1}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

Autrement dit, par ce qui revient au même, par le développement en série de la puissance k :

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\ à droite)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^ {n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots }$

Le polynôme de Bell exponentiel complet est défini par , ou en d'autres termes : ${\style d'affichage \Phi (t,1)}$

${\displaystyle \Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right )=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Ainsi, le n- ième polynôme de Bell complet est donné par

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left.\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{n}\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)\right|_{t=0}.}$

De même, le polynôme de Bell partiel ordinaire peut être défini par la fonction génératrice

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\ somme _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k !}}.}$

Ou, de manière équivalente, par développement en série de la puissance k :

${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{ \hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.}$

Voir également les transformations de fonctions génératrices pour les développements de fonctions génératrices polynomiales de Bell de compositions de fonctions génératrices de séquences et de puissances , les logarithmes et les exponentielles d'une fonction génératrice de séquences. Chacune de ces formules est citée dans les sections respectives de Comtet.

Relations de récurrence

Les polynômes de Bell complets peuvent être définis de manière récurrente comme

${\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{ni}(x_ {1},\ldots ,x_{ni})x_{i+1}}$

avec la valeur initiale . ${\style d'affichage B_{0}=1}$

Les polynômes partiels de Bell peuvent également être calculés efficacement par une relation de récurrence :

${\displaystyle B_{n,k}=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n-1}{i-1}}x_{i}B_{ni,k- 1},}$

où

${\style d'affichage B_{0,0}=1;}$

${\displaystyle B_{n,0}=0{\text{ for }}n\geq 1;}$

${\displaystyle B_{0,k}=0{\text{ for }}k\geq 1.}$

Les polynômes de Bell complets satisfont également à la formule différentielle de récurrence suivante :

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2 }^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{ij} {\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{ }+\somme _{i=2}^{n}\somme _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}} {\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{ij}}}\right .\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots , x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}}$

Dérivés

Les dérivées partielles des polynômes partiels de Bell sont données par

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n,k}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})={\binom {n} {i}}B_{ni,k-1}(x_{1},\ldots ,x_{ni-k+2}).}$

De même, les dérivées partielles des polynômes de Bell complets sont données par

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\binom {n}{i}}B_{ ni}(x_{1},\ldots ,x_{ni}).}$

Si les arguments des polynômes de Bell sont des fonctions unidimensionnelles, la règle de la chaîne peut être utilisée pour obtenir une formule utile.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(B_{n,k}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-k+1}(x))\right)= \sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n}{i}}a_{i}'(x)B_{ni,k-1}(a_{1}(x) ,\cdots ,a_{ni-k+2}(x)).}$

Formes déterminantes

Le polynôme de Bell complet peut être exprimé sous forme de déterminants :

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n -1 \choisissez 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choisissez 1 }x_{2}&{n-2 \choisissez 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_ {2}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_ {n-4}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}}$

et

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_ {2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&{\frac {x_{4}}{3!}}&\cdots &\cdots &{\frac { x_{n}}{(n-1)!}}\\\\-1&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}& {\frac {x_{3}}{2!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-1}}{(n-2)!}}\\\\0&-2&{\ frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-2}}{(n-3 )!}}\\\\0&0&-3&{\frac {x_{1}}{0!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-3}}{(n-4) ! }}\\\\0&0&0&-4&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-4}}{(n-5)!}}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-(n-1)&{\frac {x_{1}}{0!}}\end{bmatrix}}.}$

Numéros Stirling et numéros Bell

La valeur du polynôme de Bell B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) sur la séquence de factorielles est égale à un nombre de Stirling non signé du premier type :

${\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(nk)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k} \droit].}$

La somme de ces valeurs donne la valeur du polynôme de Bell complet sur la séquence de factorielles :

${\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0!,1!, \dots ,(nk)!)=\sum _{k=1}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!.}$

La valeur du polynôme de Bell B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) sur la séquence de uns est égale à un nombre de Stirling du deuxième type :

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}$

La somme de ces valeurs donne la valeur du polynôme de Bell complet sur la séquence de uns :

${\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _ {k=1}^{n}\gauche\{{n \atop k}\right\},}$

qui est le n ième numéro de Bell .

Relations inverses

Si on définit

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}),}$

alors on a la relation inverse

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

Polynômes de Touchard

Le polynôme de Touchard peut être exprimé comme la valeur du polynôme de Bell complet sur tous les arguments étant x : ${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}}$

${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$

Identité de convolution

Pour les séquences x _n , y _n , n = 1, 2, ..., définissez une convolution par :

${\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{nj}.}$

Les bornes de la sommation sont 1 et n  − 1, pas 0 et n .

Soit le n ième terme de la suite ${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,}$

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{facteurs}}}.\,}$

Puis

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}$

Par exemple, calculons . Nous avons ${\style d'affichage B_{4,3}(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_ {2}^{2}\ ,\points )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2 }x_{2}\ ,\points )}$

Et ainsi,

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x)_{4} }{3 !}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}$

Autres identités

• ${\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!} {k!}}=L(n,k)}$ce qui donne le nombre de Lah .
• ${\displaystyle B_{n,k}(1,2,3,\ldots ,n-k+1)={\binom {n}{k}}k^{nk}}$ce qui donne le nombre idempotent .
• ${\displaystyle B_{n,k}(-x_{1},x_{2},-x_{3},\ldots ,(-1)^{nk}x_{n-k+1})=(- 1)^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n-k+1})}$et .${\displaystyle B_{n}(-x_{1},x_{2},-x_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}x_{n})=(-1)^{ n}B_{n}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})}$
• Les polynômes de Bell complets satisfont à la relation de type binomial :

  ${\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i} B_{ni}(x_{1},\ldots ,x_{ni})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}),}$

  ${\displaystyle B_{n,k}{\Bigl (}{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}} {\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+ qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots ).}$

Cela corrige l'omission du facteur dans le livre de Comtet.${\style d'affichage (q!)^{k}}$

• Quand ,${\style d'affichage 1\leq a<n}$

${\displaystyle B_{n,na}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a! }}{\binom {n}{j}}(x_{1})^{nj}B_{a,ja}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}$

• Cas particuliers de polynômes de Bell partiels :

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})={}&x_{n}\\[8pt]B_{n,2}(x_{ 1},\ldots ,x_{n-1})={}&{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k} }x_{k}x_{nk}\\[8pt]B_{n,n}(x_{1})={}&(x_{1})^{n}\\[8pt]B_{n,n -1}(x_{1},x_{2})={}&{\binom {n}{2}}(x_{1})^{n-2}x_{2}\\[8pt]B_ {n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&{\binom {n}{3}}(x_{1})^{n-3}x_ {3}+3{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}(x_{2})^{2}\\[8pt]B_{n,n-3} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}x_{4 }+10{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}(x_{1} )^{n-6}(x_{2})^{3}\\[8pt]B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} ,x_{5})={}&{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}(x_ {1})^{n-6}{\bigl [}3x_{2}x_{4}+2(x_{3})^{2}{\bigr ]}+105{\binom {n}{7 }}(x_{1})^{n-7}(x_{2})^{2}x_{3}\\{}&{}+105{\binom {n}{8}}(x_{ 1})^{n-8}(x_{2})^{4}.\end{aligned}}}$

Exemples

Les premiers polynômes de Bell complets sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}={}&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\\[8pt]B_{2} (x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{ 3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_ {3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2 }+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^ {5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{1}+10x_{3}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2 }+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}, x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2 }x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}\\&{}+15x_{4}x_{1}^{2}+ 10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{1}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2 },x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2 }+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+ 210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2 }x_{4}\\&{}+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2} x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}}$

Applications

La formule de Faà di Bruno

La formule de Faà di Bruno peut être énoncée en termes de polynômes de Bell comme suit :

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

De même, une version en série de puissance de la formule de Faà di Bruno peut être énoncée en utilisant les polynômes de Bell comme suit. Supposer

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad {\text{and}}\qquad g(x )=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}.}$

Puis

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k} (a_{1},\dots ,a_{n-k+1})}{n !}}x^{n}.}$

En particulier, les polynômes de Bell complets apparaissent dans l'exponentielle d'une série formelle formelle :

${\displaystyle \exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }{a_{i} \over i!}x^{i}\right)=\sum _{n=0}^{ \infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}$

qui représente également la fonction génératrice exponentielle des polynômes de Bell complets sur une séquence fixe d'arguments . ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$

Retour de série

Soit deux fonctions f et g exprimées en séries entières formelles comme

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{and}} \qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}$

tel que g est l'inverse compositionnel de f défini par g ( f ( w )) = w ou f ( g ( z )) = z . Si f ₀ = 0 et f ₁ 0, alors une forme explicite des coefficients de l'inverse peut être donnée en terme de polynômes de Bell comme

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{ \bar {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_ {nk}),\qquad n\geq 2,}$

avec et est le factoriel croissant, et${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}$${\displaystyle n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)}$${\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.}$

Développement asymptotique des intégrales de type Laplace

Considérons l'intégrale de la forme

${\displaystyle I(\lambda )=\int _{a}^{b}e^{-\lambda f(x)}g(x)\,\mathrm {d} x,}$

où ( a , b ) est un intervalle réel (fini ou infini), est un grand paramètre positif et les fonctions f et g sont continues. Soit f un seul minimum dans [ a , b ] qui se produit à x  =  a . Supposons que lorsque x  →  a ⁺ ,

${\displaystyle f(x)\sim f(a)+\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(xa)^{k+\alpha },}$

${\displaystyle g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(xa)^{k+\beta -1},}$

avec α > 0, Re( β ) > 0 ; et que le développement de f peut être différencié par terme. Ensuite, le théorème de Laplace-Erdelyi indique que l'expansion asymptotique de l'intégrale I ( λ est donnée) par

${\displaystyle I(\lambda )\sim e^{-\lambda f(a)}\sum _{n=0}^{\infty }\Gamma {\Big (}{\frac {n+\beta }{ \alpha }}{\Big )}{\frac {c_{n}}{\lambda ^{(n+\beta )/\alpha }}}\qquad {\text{as}}\quad \lambda \rightarrow \ infini ,}$

où les coefficients c _n sont exprimables en termes de a _n et b _{n en} utilisant des polynômes de Bell ordinaires partiels , comme donné par la formule de Campbell-Froman-Walles-Wojdylo :

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{\alpha a_{0}^{(n+\beta )/\alpha }}}\sum _{k=0}^{n}b_{nk} \sum _{j=0}^{k}{\binom {-{\frac {n+\beta }{\alpha }}}{j}}{\frac {1}{a_{0}^{j} }}{\hat {B}}_{k,j}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k-j+1}).}$

Polynômes symétriques

Le polynôme symétrique élémentaire et le polynôme symétrique à somme de puissance peuvent être liés l'un à l'autre à l'aide de polynômes de Bell tels que : ${\displaystyle e_{n}}$ ${\style d'affichage p_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&={\frac {1}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{ 3},-3!p_{4},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!p_{n})\\&={\frac {(-1)^{n }}{n!}}\;B_{n}(-p_{1},-1!p_{2},-2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,-(n -1)!p_{n}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\sum _{k=1}^{n }(-1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n -k+1)!e_{n-k+1})\\&=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1} {k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

Ces formules permettent d'exprimer les coefficients des polynômes moniques en fonction des polynômes de Bell de ses zéros. Par exemple, avec le théorème de Cayley-Hamilton, ils conduisent à l'expression du déterminant d'une matrice carrée n × n A en termes de traces de ses puissances :

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}) ,~\qquad {\text{where }}s_{k}=-(k-1)!\operatorname {tr} (A^{k}).}$

Indice de cycle des groupes symétriques

L' indice de cycle du groupe symétrique peut être exprimé en termes de polynômes de Bell complets comme suit : ${\style d'affichage S_{n}}$

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_ {n})}{n !}}.}$

Moments et cumulants

La somme

${\displaystyle \mu _{n}'=B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n, k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})}$

est le n ième moment brut d'une distribution de probabilité dont les n premiers cumulants sont κ ₁ , ..., κ _n . En d'autres termes, le n ième moment est le n ième polynôme de Bell complet évalué aux n premiers cumulants. De même, le n ème cumulant peut être donné en termes de moments comme

${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{ 1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}).}$

Polynômes de l'Hermite

Les polynômes d'Hermite des probabilistes peuvent être exprimés en termes de polynômes de Bell comme

${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$

où x _i = 0 pour tout i > 2 ; permettant ainsi une interprétation combinatoire des coefficients des polynômes d'Hermite. Cela peut être vu en comparant la fonction génératrice des polynômes d'Hermite

${\displaystyle \exp \left(xt-{\frac {t^{2}}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n} (x){\frac {t^{n}}{n !}}}$

avec celui des polynômes de Bell.

Représentation de suites polynomiales de type binôme

Pour toute suite a ₁ , a ₂ , …, a _n de scalaires, soit

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{ k}.}$

Alors cette suite polynomiale est de type binomial , c'est à dire qu'elle satisfait l' identité binomiale

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choisissez k}p_{k}(x)p_{nk}(y).}$

Exemple : Pour a ₁ = … = a _n = 1, les polynômes représentent les polynômes de Touchard .${\style d'affichage p_{n}(x)}$

Plus généralement, on a ce résultat :

Théorème : Toutes les suites polynomiales de type binomial sont de cette forme.

Si nous définissons une série formelle formelle

${\displaystyle h(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}x^{k},}$

alors pour tout n ,

${\displaystyle h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

Logiciel

Les polynômes de Bell sont implémentés dans :

• Mathematica comme ventre
• Érable comme incompletBellB
• SageMath comme bell_polynomial

Voir également

• Matrice de cloche
• Formule exponentielle

Remarques

Les références