La formule de Faà di Bruno - Faà di Bruno's formula

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v t e

La formule de Faà di Bruno est une identité mathématique généralisant la règle de la chaîne aux dérivées supérieures. Il porte le nom de Francesco Faà di Bruno  ( 1855 , 1857 ), bien qu'il n'ait pas été le premier à énoncer ou à prouver la formule. En 1800, plus de 50 ans avant Faà di Bruno, le mathématicien français Louis François Antoine Arbogast avait énoncé la formule dans un manuel de calcul, qui est considéré comme la première référence publiée sur le sujet.

La forme la plus connue de la formule de Faà di Bruno dit peut-être que

où la somme est sur tous les n - uplets d' entiers non négatifs ( m ₁ , ..., m _n ) satisfaisant la contrainte

Parfois, pour lui donner un motif mémorable, il est écrit d'une manière dont les coefficients qui ont l'interprétation combinatoire discutée ci-dessous sont moins explicites :

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\ cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n} \left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$

La combinaison des termes avec la même valeur de m ₁  +  m ₂  + ... +  m _n  =  k et en remarquant que m _j doit être égal à zéro pour j  >  n  −  k  + 1 conduit à une formule un peu plus simple exprimée en termes de Bell polynômes B _{n , k} ( x ₁ ,..., x _{n − k +1} ):

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x)) \cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

Forme combinatoire

La formule a une forme "combinatoire":

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \ Pi }f^{(\gauche|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\gauche|B\droit|)}(x) }$

où

• π parcourt l'ensemble Π de toutes les partitions de l'ensemble { 1, ..., n },
• " B ∈ π " signifie que la variable B parcourt la liste de tous les " blocs " de la partition π , et
• | A | désigne la cardinalité de l'ensemble A (de sorte que | π | est le nombre de blocs dans la partition π et | B | est la taille du bloc B ).

Exemple

Ce qui suit est une explication concrète de la forme combinatoire pour le cas n = 4 .

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)={}&f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f''' (g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\[8pt]&{}+\;3f''(g(x))g''(x)^{2 }+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\[8pt]&{}+\;f'(g(x))g''''(x) .\end{aligné}}}$

Le motif est :

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\ [12pt]g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\[12pt]g'' (x)^{2}&&\flèchegauchedroite &&2+2&&\flèchegauchedroite &&f''(g(x))&&\flèchegauchedroite &&3\\[12pt]g'''(x)g'(x)&&\flèchegauchedroite &&3+ 1&&\flèchegauchedroite &&f''(g(x))&&\flèchegauchedroite &&4\\[12pt]g''''(x)&&\flèchegauchedroite &&4&&\flèchegauchedroite &&f'(g(x))&&\flèchegauchedroite &&1\end{ déployer}}}$

Le facteur correspond à la partition 2 + 1 + 1 de l'entier 4, de manière évidente. Le facteur qui va avec correspond au fait qu'il y a trois summands dans cette partition. Le coefficient 6 qui va avec ces facteurs correspond au fait qu'il y a exactement six partitions d'un ensemble de quatre membres qui le divisent en une partie de taille 2 et deux parties de taille 1. ${\style d'affichage g''(x)g'(x)^{2}}$${\style d'affichage f'''(g(x))}$

De même, le facteur de la troisième ligne correspond à la partition 2 + 2 de l'entier 4, (4, car nous trouvons la dérivée quatrième), tandis que correspond au fait qu'il y a deux sommes (2 + 2) dans cette partition . Le coefficient 3 correspond au fait qu'il existe des manières de partitionner 4 objets en groupes de 2. Le même concept s'applique aux autres. ${\style d'affichage g''(x)^{2}}$${\style d'affichage f''(g(x))}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3}$

Un schéma mémorisable est le suivant :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {D^{1}(f\circ {}g)}{1!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g \right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}\\[8pt]&{\frac {D^{2}(f\circ g)} {2}!}}&=\gauche(f^{(1)}\circ {}g\droite){\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}} &{}+\gauche(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{ (1)}}{1!}}}{2!}}\\[8pt]&{\frac {D^{3}(f\circ g)}{3!}}&=\left(f^ {(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2 )}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(2)}} {2}!}}{1!}}&{}+\gauche(f^{(3)}\circ {}g\droite){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1 !}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{3!}}\\[8pt]&{ \frac {D^{4}(f\circ g)}{4!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{ (4)}}{4!}}{1!}}&{}+\gauche(f^{(2)}\circ {}g\droite)\gauche({\frac {\frac {g^{ (1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}+{\frac {{\frac {g ^{(2)}}{2!}}{\frac {g^{(2)}}{2!}}}{2!}}\right)&{}+\left(f^{(3 )}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{ 2!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\gauche(f^{(4)}\circ {}g\droit){\frac {{\frac {g ^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac { g^{(1)}}{1!}}}{4!}}\end{aligned}}}$

Combinatoire des coefficients de Faà di Bruno

Ces coefficients de comptage de partitions de Faà di Bruno ont une expression "fermée". Le nombre de partitions d'un ensemble de taille n correspondant à la partition entière

${\displaystyle \displaystyle n=\underbrace {1+\cdots +1} _{m_{1}}\,+\,\underbrace {2+\cdots +2} _{m_{2}}\,+\ ,\underbrace {3+\cdots +3} _{m_{3}}+\cdots }$

de l'entier n est égal à

${\displaystyle {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_ {2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}.}$

Ces coefficients apparaissent également dans les polynômes de Bell , qui sont pertinents pour l'étude des cumulants .

Variantes

Version multivariée

Soit y = g ( x ₁ , ..., x _n ). Alors l'identité suivante est valable que les n variables soient toutes distinctes, ou toutes identiques, ou partitionnées en plusieurs classes distinguables de variables indiscernables (si cela semble opaque, voir l'exemple très concret ci-dessous) :

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}f(y)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left| \pi \right|)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }{\partial ^{\left|B\right|}y \over \prod _{j\in B}\partial x_ {j}}}$

où (comme ci-dessus)

• π parcourt l'ensemble Π de toutes les partitions de l'ensemble { 1, ..., n },
• " B ∈ π " signifie que la variable B parcourt la liste de tous les " blocs " de la partition π , et
• | A | désigne la cardinalité de l'ensemble A (de sorte que | π | est le nombre de blocs dans la partition π et | B | est la taille du bloc B ).

Des versions plus générales sont valables pour les cas où toutes les fonctions sont vectorielles et même à valeur d' espace de Banach . Dans ce cas, il faut considérer la dérivée de Fréchet ou la dérivée de Gateaux .

Exemple

Les cinq termes de l'expression suivante correspondent de manière évidente aux cinq partitions de l'ensemble { 1, 2, 3 }, et dans chaque cas l'ordre de la dérivée de f est le nombre de parties de la partition :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}f(y)={}&f' (y){\partial ^{3}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\\[10pt]&{}+f''(y )\left({\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial y \ sur \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{3}}\ cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\right)\\[10pt]&{}+f'''(y){\partial y \ sur \partial x_{1}}\cdot {\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial y \over \partial x_{3}}.\end{aligned}}}$

Si les trois variables sont indiscernables les unes des autres, alors trois des cinq termes ci-dessus sont également indiscernables les uns des autres, et nous avons alors la formule classique à une variable.

Version formelle de la série de puissance

Supposons que et sont des séries entières formelles et . ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}x^{n}}$${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}}x^{n}}$${\style d'affichage b_{0}=0}$

Ensuite, la composition est à nouveau une série de puissance formelle, ${\displaystyle f\circ g}$

${\displaystyle f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}}x^{n},}$

où c ₀ = a ₀ et l'autre coefficient c _n pour n 1 peut être exprimé comme une somme sur des compositions de n ou comme une somme équivalente sur des partitions de n :

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\mathbf {i} \in {\mathcal {C}}_{n}}a_{k}b_{i_{1}}b_{i_{2}}\ cdots b_{i_{k}},}$

où

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\{(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\,:\ 1\leq k\leq n,\ i_ {1}+i_{2}+\cdots +i_{k}=n\}}$

est l'ensemble des compositions de n avec k désignant le nombre de parties,

ou

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\mathbf {\pi } \in {\mathcal {P}}_{n,k}} {\binom {k}{\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{n}}}b_{1}^{\pi _{1}}b_{2} ^{\pi _{2}}\cdots b_{n}^{\pi _{n}},}$

où

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,k}=\{(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})\,:\ \pi _{1}+\pi _{2}+\cdots +\pi _{n}=k,\ \pi _{1}\cdot 1+\pi _{2}\cdot 2+\cdots +\pi _{n}\cdot n=n\}}$

est l'ensemble des partitions de n en k parties, sous forme de fréquence de parties.

La première forme est obtenue en retenant le coefficient de x ⁿ dans "par inspection", et la seconde forme est ensuite obtenue en collectant des termes similaires, ou bien en appliquant le théorème multinomial . ${\displaystyle (b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots )^{k}}$

Le cas particulier f ( x ) = e ^x , g ( x ) = Σ _{n 1} a _n / n ! x ⁿ donne la formule exponentielle . Le cas particulier f ( x ) = 1/(1 −  x ), g ( x ) = Σ _{n ≥ 1} (− a _n ) x ⁿ donne une expression pour l' inverse de la série formelle formelle Σ _{n ≥ 0} a _n x ⁿ dans le cas a ₀ = 1.

Stanley donne une version pour les séries de puissances exponentielles. Dans la série formelle formelle

${\displaystyle f(x)=\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n},}$

nous avons la dérivée n à 0 :

${\style d'affichage f^{(n)}(0)=a_{n}.}$

Cela ne doit pas être interprété comme la valeur d'une fonction, puisque ces séries sont purement formelles ; il n'y a pas de convergence ou de divergence dans ce contexte.

Si

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}x^{n}}$

et

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}}$

et

${\displaystyle g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}x^{n},}$

alors le coefficient c _n (qui serait la dérivée n de h évaluée à 0 si l'on avait affaire à des séries convergentes plutôt qu'à des séries formelles) est donné par

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\pi =\left\{B_{1},\ldots ,B_{k}\right\}}a_{\left|B_{1}\right|}\ cdots a_{\gauche|B_{k}\right|}b_{k}}$

où π parcourt l'ensemble de toutes les partitions de l'ensemble {1, ..., n } et B ₁ , ...,  B _k sont les blocs de la partition π , et | B _j  | est le nombre de membres du j ème bloc, pour  j  = 1, ...,  k .

Cette version de la formule est particulièrement bien adaptée aux fins de la combinatoire .

On peut aussi écrire par rapport à la notation ci-dessus

${\displaystyle g(f(x))=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_ {n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}{n !}}x^{n},}$

où B _{n , k} ( a ₁ ,..., a _{n − k +1} ) sont des polynômes de Bell .

Un cas particulier

Si f ( x ) = e ^x , alors toutes les dérivées de f sont les mêmes et sont un facteur commun à chaque terme. Dans le cas où g ( x ) est une fonction génératrice de cumulants , alors f ( g ( x )) est une fonction génératrice de moments , et le polynôme dans diverses dérivées de g est le polynôme qui exprime les moments en fonction des cumulants .

Remarques

Les références

Enquêtes et essais historiques

• Brigaglia, Aldo (2004), "L'Opera Matematica", in Giacardi, Livia (éd.), Francesco Faà di Bruno. Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione , Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino (en italien), XII , Torino : Deputazione Subalpina di Storia Patria, pp. 111–172. " Le travail mathématique " est un essai sur l'activité mathématique, décrivant à la fois l'activité de recherche et d'enseignement de Francesco Faà di Bruno.
• Craik, Alex DD (février 2005), "Prehistory of Faà di Bruno's Formula", American Mathematical Monthly , 112 (2): 217–234, doi : 10.2307/30037410 , JSTOR  30037410 , MR  2121322 , Zbl  1088.01008.
• Johnson, Warren P. (mars 2002), "The Curious History of Faà di Bruno's Formula" (PDF) , American Mathematical Monthly , 109 (3) : 217-234, CiteSeerX  10.1.1.109.4135 , doi : 10.2307/2695352 , JSTOR  2695352 , MR  1903577 , Zbl  1024.01010.

Travaux de recherche

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• Faà di Bruno, F. (1855), "Sullo sviluppo delle funzioni" [Sur le développement des fonctions], Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (en italien), 6 : 479–480, LCCN  06036680. Entièrement disponible gratuitement sur Google livres . Un article bien connu où Francesco Faà di Bruno présente les deux versions de la formule qui porte désormais son nom, publiée dans la revue fondée par Barnaba Tortolini .
• Faà di Bruno, F. (1857), "Note sur une nouvelle formule de calcul differiel" , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (en français), 1 : 359–360. Entièrement disponible gratuitement sur Google livres .
• Faà di Bruno, Francesco (1859), Théorie générale de l'élimination [ théorie de l' élimination générale ] (en français), Paris: Leiber et Faraguet, pp x + 224.. Entièrement disponible gratuitement sur Google livres .
• Flanders, Harley (2001) « De Ford à Faa », American Mathematical Monthly 108 (6) : 558–61 doi : 10.2307/2695713
• Fraenkel, LE (1978), "Formulae for high dérivées of composite functions", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 83 (2) : 159-165, doi : 10.1017/S0305004100054402 , MR  0486377 , Zbl  0388.46032.
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• TA, (Tiburce Abadie, JFC) (1850), "Sur la différentiation des fonctions de fonctions" , Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale , Série 1 (en français), 9 : 119–125, disponible chez NUMDAM . Cet article, selon Johnson (2002 , p. 228) est l'un des précurseurs de Faà di Bruno 1855 : notez que l'auteur ne signe que « TA », et l'attribution à JFC Tiburce Abadie est à nouveau due à Johnson.
• A., (Tiburce Abadie, JFC) (1852), "Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski" [Sur la dérivation des fonctions. Burmann, Lagrange et Wronski series.], Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale , Série 1 (en français), 11 : 376-383, disponible chez NUMDAM . Cet article, selon Johnson (2002 , p. 228) est l'un des précurseurs de Faà di Bruno 1855 : notez que l'auteur ne signe que « A. », et l'attribution à JFC Tiburce Abadie est à nouveau due à Johnson.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "La formule de Faa di Bruno" . MathWorld .