Transformation de Bogoliubov - Bogoliubov transformation

En physique théorique , la transformation de Bogoliubov , également connue sous le nom de transformation de Bogoliubov-Valatin , a été développée indépendamment en 1958 par Nikolay Bogolyubov et John George Valatin pour trouver des solutions de la théorie BCS dans un système homogène. La transformation de Bogoliubov est un isomorphisme de l' algèbre de relation de commutation canonique ou de l' algèbre de relation d'anticommutation canonique . Ceci induit une autoéquivalence sur les représentations respectives. La transformation de Bogoliubov est souvent utilisée pour diagonaliser les hamiltoniens , ce qui donne les solutions stationnaires de l' équation de Schrödinger correspondante . La transformation de Bogoliubov est également importante pour comprendre l' effet Unruh , le rayonnement de Hawking , les effets d'appariement en physique nucléaire et bien d'autres sujets.

La transformation de Bogoliubov est souvent utilisée pour diagonaliser les hamiltoniens, avec une transformation correspondante de la fonction d'état. Les valeurs propres de l'opérateur calculées avec l'hamiltonien diagonalisé sur la fonction d'état transformée sont donc les mêmes que précédemment.

Exemple de mode bosonique unique

Considérons la relation de commutation canonique pour les opérateurs de création et d'annihilation bosoniques dans la base harmonique

${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.}$

Définir une nouvelle paire d'opérateurs

${\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}~,}$

pour les nombres complexes u et v , où ce dernier est le conjugué hermitien du premier.

La transformation de Bogoliubov est la transformation canonique mappant les opérateurs et vers et . Pour trouver les conditions sur les constantes u et v telles que la transformation est canonique, le commutateur est évalué, à savoir. ${\displaystyle {\hat {a}}}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {b}}}$${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}} ^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^ {2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].}$

Il est alors évident que c'est la condition pour laquelle la transformation est canonique. ${\displaystyle \,|u|^{2}-|v|^{2}=1}$

Puisque la forme de cette condition est suggestive de l' identité hyperbolique

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$,

les constantes u et v peuvent être facilement paramétrées comme

${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cosh r}$

${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sinh r~.}$

Ceci est interprété comme une transformation symplectique linéaire de l' espace des phases . En comparant à la décomposition de Bloch-Messie , les deux angles et correspondent aux transformations symplectiques orthogonales (c'est-à-dire les rotations) et le facteur de compression correspond à la transformation diagonale. ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\style d'affichage r}$

Applications

L'application la plus importante est celle de Nikolai Bogoliubov lui-même dans le contexte de la superfluidité . D' autres applications comprennent les hamiltoniens et les excitations dans la théorie de l' antiferromagnétisme . Lors du calcul de la théorie quantique des champs dans des espaces-temps courbes, la définition des changements de vide et une transformation de Bogoliubov entre ces différents vides sont possibles. Ceci est utilisé dans la dérivation du rayonnement de Hawking . Les transformées de Bogoliubov sont également largement utilisées en optique quantique, en particulier lorsque l'on travaille avec des unités gaussiennes (comme les séparateurs de faisceau, les déphaseurs et les opérations de compression).

Mode Fermionique

Pour les relations d' anticommutation

${\displaystyle \left\{{\hat {a}},{\hat {a}}\right\}=0,\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{ \dagger }\right\}=1,}$

la transformation de Bogoliubov est contrainte par . Par conséquent, la seule possibilité non triviale correspond à l'échange particule-antiparticule (ou l'échange particule-trou dans les systèmes à plusieurs corps) avec l'inclusion possible d'un déphasage. Ainsi, pour une seule particule, la transformation ne peut être mise en œuvre que (1) pour un fermion de Dirac où particule et antiparticule sont distincts (par opposition à un fermion de Majorana ou un fermion chiral ) ou (2) pour des systèmes multi-fermioniques, dans lesquels il y a est plus d'un type de fermion. ${\displaystyle uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1}$${\style d'affichage u=0,|v|=1,}$

Applications

L'application la plus importante est à nouveau celle de Nikolai Bogoliubov lui-même, cette fois pour la théorie BCS de la supraconductivité . Le point où la nécessité d'effectuer une transformation de Bogoliubov devient évidente est que dans l'approximation en champ moyen, l'hamiltonien du système peut être écrit dans les deux cas comme une somme de termes bilinéaires dans les opérateurs de création et de destruction d'origine, impliquant des termes finis , c'est-à-dire il faut aller au-delà de la méthode habituelle de Hartree-Fock . En particulier, dans le formalisme hamiltonien de Bogoliubov-de Gennes à champ moyen avec un terme d'appariement supraconducteur tel que , les opérateurs transformés de Bogoliubov annihilent et créent des quasiparticules (chacune avec une énergie, une quantité de mouvement et un spin bien définis mais dans une superposition quantique d'électrons et de trous état), et ont des coefficients et donnés par les vecteurs propres de la matrice de Bogoliubov-de Gennes. Toujours en physique nucléaire , cette méthode est applicable puisqu'elle peut décrire « l'énergie d'appariement » des nucléons dans un élément lourd. ${\displaystyle \,\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle }$${\displaystyle \Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\textrm {hc}}}$${\displaystyle b,b^{\dagger }}$${\displaystyle u}$${\style d'affichage v}$

Exemple multimode

L' espace de Hilbert considéré est équipé de ces opérateurs, et décrit désormais un oscillateur harmonique quantique de dimension supérieure (généralement de dimension infinie).

L' état fondamental de l' hamiltonien correspondant est annihilé par tous les opérateurs d'annihilation :

${\displaystyle \forall i\qquad a_{i}|0\rangle =0}$

Tous les états excités sont obtenus sous forme de combinaisons linéaires de l'état fondamental excité par quelques opérateurs de création :

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle }$

On peut redéfinir les opérateurs de création et d'annihilation par une redéfinition linéaire :

${\displaystyle a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger })}$

où les coefficients doivent satisfaire à certaines règles pour garantir que les opérateurs d'annihilation et les opérateurs de création , définis par l' équation conjuguée hermitienne , ont les mêmes commutateurs pour les bosons et les anticommutateurs pour les fermions. ${\style d'affichage \,u_{ij},v_{ij}}$${\displaystyle a_{i}^{\prime \dagger }}$

L'équation ci-dessus définit la transformation de Bogoliubov des opérateurs.

L'état fondamental annihilé par tous est différent de l'état fondamental d'origine et ils peuvent être considérés comme les transformations de Bogoliubov les uns des autres en utilisant la correspondance opérateur-état. Ils peuvent également être définis comme des états cohérents comprimés . La fonction d'onde BCS est un exemple d'état cohérent comprimé de fermions. ${\displaystyle a'_{i}}$${\style d'affichage |0\rangle }$

Les références

Lectures complémentaires

L'ensemble du sujet, et de nombreuses applications précises, sont traités dans les manuels suivants :

• Blaizot, J.-P. ; Ripka, G. (1985). Théorie quantique des systèmes finis . Presse MIT. ISBN 0-262-02214-1.
• Fetter, A.; Walecka, J. (2003). Théorie quantique des systèmes à plusieurs particules . Douvres. ISBN 0-486-42827-3.
• Kittel, Ch. (1987). Théorie quantique des solides . Wiley. ISBN 0-471-62412-8.
• Wagner, M. (1986). Transformations unitaires en physique du solide . Elsevier Science. ISBN 0-444-86975-1.