Théorie Chapman–Enskog - Chapman–Enskog theory

La théorie de Chapman-Enskog fournit un cadre dans lequel les équations de l' hydrodynamique d'un gaz peuvent être dérivées de l' équation de Boltzmann . La technique justifie les relations constitutives par ailleurs phénoménologiques apparaissant dans les descriptions hydrodynamiques telles que les équations de Navier-Stokes . Ce faisant, des expressions pour divers coefficients de transport tels que la conductivité thermique et la viscosité sont obtenues en termes de paramètres moléculaires. Ainsi, la théorie de Chapman-Enskog constitue une étape importante dans le passage d'une description microscopique à base de particules à une description hydrodynamique continue .

La théorie porte le nom de Sydney Chapman et David Enskog , qui l'ont introduite indépendamment en 1916 et 1917.

La description

Le point de départ de la théorie de Chapman–Enskog est l'équation de Boltzmann pour la fonction de distribution à 1 particule : ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\hat {C}}f,}$

où est un opérateur intégral non linéaire qui modélise l'évolution des sous collisions interparticulaires. Cette non-linéarité rend difficile la résolution de l'équation de Boltzmann complète et motive le développement de techniques approchées telles que celle fournie par la théorie de Chapman-Enskog. ${\displaystyle {\hat {C}}}$${\style d'affichage f}$

Compte tenu de ce point de départ, les diverses hypothèses sous-jacentes à l'équation de Boltzmann se retrouvent également dans la théorie de Chapman-Enskog. La plus élémentaire d'entre elles nécessite une séparation d'échelle entre la durée de collision et le temps libre moyen entre collisions : . Cette condition garantit que les collisions sont des événements bien définis dans l'espace et le temps, et est valable si le paramètre sans dimension est petit, où est la plage d'interactions interparticulaires et est la densité numérique. En plus de cette hypothèse, la théorie de Chapman-Enskog exige également qu'elle soit beaucoup plus petite que toutes les échelles de temps extrinsèques . Ce sont les échelles de temps associées aux termes du côté gauche de l'équation de Boltzmann, qui décrivent les variations de l'état du gaz sur des longueurs macroscopiques. Généralement, leurs valeurs sont déterminées par des conditions initiales/aux limites et/ou des champs externes. Cette séparation des échelles implique que le terme de collision du côté droit de l'équation de Boltzmann est beaucoup plus petit que les termes de flux du côté gauche. Ainsi, une solution approximative peut être trouvée à partir de ${\displaystyle \tau _{c}}$${\displaystyle \tau _{f}}$${\displaystyle \tau _{c}\ll \tau _{f}}$${\displaystyle \gamma \equiv r_{c}^{3}n}$${\style d'affichage r_{c}}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \tau _{f}}$${\displaystyle \{\tau _{\text{ext}}\}}$

${\displaystyle {\hat {C}}f=0.}$

On peut montrer que la solution de cette équation est une gaussienne :

${\displaystyle f=n(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3 /2}\exp \left[-{\frac {m\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)\right)^{2}}{ 2k_{B}T(\mathbf {r} ,t)}}\right],}$

où est la masse moléculaire et est la constante de Boltzmann . Un gaz est dit en équilibre local s'il satisfait cette équation. L'hypothèse d'équilibre local conduit directement aux équations d'Euler , qui décrivent des fluides sans dissipation, c'est-à-dire avec une conductivité thermique et une viscosité égales à . L'objectif principal de la théorie de Chapman-Enskog est d'obtenir systématiquement des généralisations des équations d'Euler qui intègrent la dissipation. Ceci est obtenu en exprimant les écarts par rapport à l'équilibre local sous la forme d'une série perturbative en nombre de Knudsen , qui est petit si . Conceptuellement, les équations hydrodynamiques résultantes décrivent l'interaction dynamique entre le flux libre et les collisions interparticulaires. Ces derniers ont tendance à conduire le gaz vers l' équilibre local, tandis que le premier agit à travers inhomogénéités spatiales pour conduire le gaz à une distance de l' équilibre local. Lorsque le nombre de Knudsen est de l'ordre de 1 ou supérieur, le gaz dans le système considéré ne peut pas être qualifié de fluide. ${\style d'affichage m}$${\style d'affichage k_{B}}$${\style d'affichage 0}$ ${\displaystyle {\text{Kn}}}$${\displaystyle \tau _{f}\ll \{\tau _{\text{ext}}\}}$

Au premier ordre en , on obtient les équations de Navier-Stokes . Les deuxième et troisième ordres donnent naissance aux équations de Burnett et aux équations de super-Burnett. ${\displaystyle {\text{Kn}}}$

Formulation mathématique

Étant donné que le nombre de Knudsen n'apparaît pas explicitement dans l'équation de Boltzmann, mais plutôt implicitement en termes de fonction de distribution et de conditions aux limites, un paramètre fictif est introduit pour suivre les ordres appropriés dans le développement de Chapman-Enskog : ${\style d'affichage \epsilon }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {1}{\epsilon }}{\hat {C}}f.}$

On peut voir que petit implique que le terme de collision domine le terme de flux , ce qui revient à dire que le nombre de Knudsen est petit. Ainsi, la forme appropriée pour l'expansion de Chapman-Enskog est ${\style d'affichage \epsilon }$${\displaystyle {\hat {C}}f}$${\displaystyle \mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\ partiel f}{\partiel \mathbf {v} }}}$

${\displaystyle f=f^{(0)}+\epsilon f^{(1)}+\epsilon ^{2}f^{(2)}+\ldots \ .}$

Les solutions qui peuvent être formellement développées de cette manière sont appelées solutions normales de l'équation de Boltzmann. Clairement, cette classe de solutions exclut les contributions non perturbatives (telles que ), qui apparaissent dans les couches limites ou proches des couches de choc internes . Ainsi, la théorie de Chapman-Enskog est limitée aux situations dans lesquelles de telles solutions sont négligeables. ${\displaystyle e^{-1/\epsilon }}$

Substituer cette expansion et assimiler les ordres de pistes à la hiérarchie ${\style d'affichage \epsilon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}J(f^{(0)},f^{(0)})&=0\\2J(f^{(0)},f^{(n)}) &=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\right)f^{(n-1)}-\sum _{m=1}^{ n-1}J(f^{(n)},f^{(nm)}),\qquad n>0,\end{aligned}}}$

où est un opérateur intégral, linéaire dans ses deux arguments, qui satisfait et . La solution de la première équation est une gaussienne : ${\style d'affichage J}$${\style d'affichage J(f,g)=J(g,f)}$${\displaystyle J(f,f)={\hat {C}}f}$

${\displaystyle f^{(0)}=n'(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T'(\mathbf {r} ,t) }}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t) \right)^{2}}{2k_{B}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right].}$

pour certaines fonctions , , et . Il est tentant d'assimiler ces fonctions aux champs hydrodynamiques physiques définis comme des moments de : ${\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n(\mathbf {r} ,t)&=\int fd\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)v_{0}(\mathbf {r } ,t)&=\int \mathbf {v} fd\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)T(\mathbf {r} ,t)&=\int {\frac {m }{3k_{B}}}\mathbf {v} ^{2}fd\mathbf {v} .\end{aligned}}}$

D'un point de vue purement mathématique, cependant, les deux ensembles de fonctions ne sont pas nécessairement les mêmes pour (car ils sont égaux par définition). En effet, en procédant systématiquement dans la hiérarchie, on constate qu'à l'instar de , chacun contient aussi des fonctions arbitraires de et dont la relation avec les champs hydrodynamiques physiques est a priori inconnue. L'une des principales hypothèses simplificatrices de la théorie de Chapman-Enskog est de supposer que ces fonctions autrement arbitraires peuvent être écrites en termes de champs hydrodynamiques exacts et de leurs gradients spatiaux. En d'autres termes, la dépendance spatiale et temporelle de n'entre qu'implicitement à travers les champs hydrodynamiques. Cette affirmation est physiquement plausible, puisque pour les petits nombres de Knudsen, on s'attend à entrer dans le régime hydrodynamique dans lequel l'état du gaz est déterminé uniquement par les champs hydrodynamiques. Dans le cas de , les fonctions , , et sont supposées exactement égales aux champs hydrodynamiques physiques. ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\style d'affichage f^{(0)}}$${\style d'affichage f^{(n)}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\style d'affichage t}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f^{(0)}}$${\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}$

Bien que ces hypothèses soient physiquement plausibles, la question se pose de savoir si des solutions qui satisfont à ces propriétés existent réellement. Plus précisément, il faut montrer qu'il existe des solutions satisfaisant

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sum _{n=1}^{\infty }\epsilon ^{n}f^{(n)}d\mathbf {v} =0=\int \sum _{n=1}^{\infty }\epsilon ^{n}f^{(n)}\mathbf {v} ^{2}d\mathbf {v} \\\int \sum _{n=1 }^{\infty }\epsilon ^{n}f^{(n)}v_{i}d\mathbf {v} =0,\qquad i\in \{x,y,z\}.\end{ aligné}}}$

De plus, même si de telles solutions existent, il reste la question supplémentaire de savoir si elles couvrent l'ensemble complet des solutions normales de l'équation de Boltzmann, c'est-à-dire ne représentent pas une restriction artificielle de l'expansion d'origine dans . L'une des principales réalisations techniques de la théorie de Chapman-Enskog est de répondre positivement à ces deux questions. Ainsi, au moins au niveau formel, il n'y a pas de perte de généralité dans l'approche Chapman-Enskog. ${\style d'affichage \epsilon }$

Ces considérations formelles établies, on peut procéder au calcul . Le résultat est ${\style d'affichage f^{(1)}}$

${\displaystyle f^{(1)}=\left[-{\frac {1}{n}}\left({\frac {2k_{B}T}{m}}\right)^{1/2 }\mathbf {A(\mathbf {v} )\cdot \nabla \ln } T\mathbf {-} {\frac {2}{n}}\mathbb {B(\mathbf {v} )\colon \nabla } \mathbf {v} _{0}\right]f^{(0)},}$

où est un vecteur et un tenseur , chacun une solution d'une équation intégrale inhomogène linéaire qui peut être résolue explicitement par un développement polynomial. Notez que les deux points désignent le produit scalaire double , pour les tenseurs , . ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbb {B} (\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i}\sum _{j}T_{ij}T'_{ji}}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T'} }$

Prédictions

Au premier ordre du nombre de Knudsen, le flux de chaleur obéit à la loi de conduction thermique de Fourier , ${\displaystyle \mathbf {q} ={\frac {m}{2}}\int f\mathbf {v} ^{2}\mathbf {v} d\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {q} =-\lambda \nabla T,}$

et le tenseur impulsion-flux est celui d'un fluide newtonien , ${\displaystyle \mathbf {\sigma } =m\int (\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})^{\ mathsf {T}}f\mathrm {d} \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {\sigma } =p\mathbb {I} -\mu \left(\nabla \mathbf {v_{0}} +\nabla \mathbf {v_{0}} ^{T}\right) +{\frac {2}{3}}\mu (\nabla \cdot \mathbf {v_{0}} )\mathbb {I} ,}$

avec le tenseur d'identité. Voici et sont des constantes que nous identifions maintenant avec la conductivité thermique et la viscosité. Ils peuvent être calculés explicitement en termes de paramètres moléculaires en résolvant une équation intégrale linéaire ; le tableau ci-dessous résume les résultats pour quelques modèles moléculaires importants ( est la masse de la molécule et est la constante de Boltzmann). ${\displaystyle \mathbb {I} }$${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage k_{B}}$

Tableau 1 : Expressions prévues pour la conductivité thermique et la viscosité.

Modèle	${\style d'affichage \mu }$	${\style d'affichage \lambda }$	Remarques
Sphères élastiques rigides de diamètre ${\style d'affichage \sigma }$	${\displaystyle 1.016\cdot {\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{B}mT}{\pi }}\right)^{1/2}}$	${\displaystyle 2.522\cdot {\frac {3}{2}}{\frac {k_{B}}{m}}\cdot \mu }$	Corriger à 3 décimales.
Molécules à force répulsive ${\displaystyle \kappa /r^{\nu }}$	${\displaystyle {\frac {5}{8}}{\frac {1}{A_{2}(\nu )\Gamma \left(4-{\frac {2}{\nu -1}}\right )}}\left({\frac {k_{B}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {2k_{B}T}{\kappa }}\right )^{2/(\nu -1)}}$	${\displaystyle {\frac {15}{4}}{\frac {k_{B}}{m}}\cdot \mu }$	${\style d'affichage \Gamma }$désigne la fonction Gamma , et est un facteur numérique. Chapman et Cowling énumèrent plusieurs valeurs de ce dernier, par exemple et . ${\style d'affichage A_{2}(\nu )}$${\style d'affichage A_{2}(5)=0.436}$${\style d'affichage A_{2}(11)=0,319}$
Potentiel Lennard-Jones :${\displaystyle V(r)=4\epsilon \{(\sigma /r)^{12}-(\sigma /r)^{6}\}}$	${\displaystyle {\frac {5}{8\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{B}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\cdot {\ frac {1}{{\mathcal {W}}_{1}^{(2)}(2)}}}$	${\displaystyle {\frac {15}{4}}{\frac {k_{B}}{m}}\cdot \mu }$	${\displaystyle {\mathcal {W}}_{1}^{(2)}(2)}$est une fonction qui peut être calculée numériquement. Cela varie de Failed to parse (MathML avec SVG ou PNG fallback (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d'accessibilité) : {\ displaystyle 5.682} pour à pour . ${\displaystyle k_{B}T/\epsilon }$${\displaystyle k_{B}T/\epsilon =0.3}$${\style d'affichage 1.1738}$${\displaystyle k_{B}T/\epsilon =100}$

Avec ces résultats, il est simple d'obtenir les équations de Navier-Stokes. Prendre les moments de vitesse de l'équation de Boltzmann conduit aux équations d'équilibre exactes pour les champs hydrodynamiques , , et : ${\displaystyle n(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial n}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(n\mathbf {v} _{0}\right)&=0\\{ \frac {\partial \mathbf {v} _{0}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla \mathbf {v} _{0}-{\frac {\ mathbf {F} }{m}}+{\frac {1}{n}}\nabla \cdot \mathbf {\sigma } &=0\\{\frac {\partial T}{\partial t}}+ \mathbf {v} _{0}\cdot \nabla T+{\frac {2}{3k_{B}n}}\left(\mathbf {\sigma :} \nabla \mathbf {v} _{0}+ \nabla \cdot \mathbf {q} \right)&=0.\end{aligned}}}$

Comme dans la section précédente, les deux points désignent le produit scalaire double, . En substituant les expressions de Chapman-Enskog pour et , on arrive aux équations de Navier-Stokes. ${\displaystyle \mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i}\sum _{j}T_{ij}T'_{ji}}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\style d'affichage \sigma }$

Comparaison avec l'expérience

Une prédiction importante de la théorie de Chapman-Enskog est que la viscosité est indépendante de la densité (cela peut être vu pour chaque modèle moléculaire dans le tableau 1, mais est en fait indépendant du modèle). Ce résultat surprenant remonte à James Clerk Maxwell , qui l'a déduit en 1860 sur la base d'arguments cinétiques plus élémentaires. Il est bien vérifié expérimentalement pour les gaz à des densités ordinaires.

Tableau 2 : Valeurs mesurées expérimentalement pour les cinq premiers gaz rares. ${\displaystyle f=\lambda /\mu c_{v}}$

Hélium	2,45
Néon	2,52
Argon	2,48
Krypton	2.535
Xénon	2,58

D'autre part, la théorie prédit que cela dépend de la température. Pour les sphères élastiques rigides, la mise à l'échelle prévue est , tandis que d'autres modèles montrent généralement une plus grande variation avec la température. Par exemple, pour les molécules qui se repoussent avec force, l'échelle prédite est , où . Prendre , correspondant à , montre un accord raisonnable avec l'échelle observée expérimentalement pour l'hélium. Pour les gaz plus complexes, l'accord n'est pas aussi bon, probablement en raison de la négligence des forces d'attraction. En effet, le modèle de Lennard-Jones , qui intègre des attractions, peut être rapproché de l'expérience (bien qu'au prix d'une dépendance plus opaque ; voir l'entrée de Lennard-Jones dans le tableau 1). ${\style d'affichage \mu }$${\displaystyle \mu \propto T^{1/2}}$${\displaystyle \propto r^{-\nu }}$${\displaystyle \mu \propto T^{s}}$${\style d'affichage s=1/2+2/(\nu -1)}$${\style d'affichage s=0.668}$${\style d'affichage \nu \environ 12,9}$${\style d'affichage T}$

La théorie de Chapman-Enskog prédit également une relation simple entre et sous la forme , où est la chaleur spécifique à volume constant et est un facteur purement numérique. Pour les molécules à symétrie sphérique, sa valeur devrait être très proche d' une manière légèrement dépendante du modèle. Par exemple, les sphères élastiques rigides ont , et les molécules avec force répulsive ont (ce dernier écart est ignoré dans le tableau 1). Le cas particulier des molécules de Maxwell (force répulsive ) a exactement. Puisque , , et peuvent être mesurés directement dans les expériences, un test expérimental facile de la théorie de Chapman-Enskog est de mesurer les gaz rares à symétrie sphérique . Le tableau 2 montre qu'il existe un accord raisonnable entre la théorie et l'expérience. ${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage \mu }$${\displaystyle \lambda =f\mu c_{v}}$${\style d'affichage c_{v}}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage 2.5}$${\displaystyle f\environ 2.522}$${\displaystyle \propto r^{-13}}$${\displaystyle f\environ 2.511}$${\displaystyle \propto r^{-5}}$${\style d'affichage f=2.5}$${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage c_{v}}$${\style d'affichage f}$

Rallonges

Les principes de base de la théorie de Chapman-Enskog peuvent être étendus à des modèles physiques plus divers, y compris des mélanges de gaz et des molécules avec des degrés de liberté internes. Dans le régime à haute densité, la théorie peut être adaptée pour tenir compte du transport collisionnel de quantité de mouvement et d'énergie, c'est-à-dire le transport sur un diamètre moléculaire pendant une collision, plutôt que sur un libre parcours moyen ( entre les collisions). L'inclusion de ce mécanisme prédit une dépendance à la densité de la viscosité à une densité suffisamment élevée, qui est également observée expérimentalement.

On peut aussi réaliser la théorie à l'ordre supérieur dans le nombre de Knudsen. En particulier, la contribution de troisième ordre a été calculée par Burnett. Dans des circonstances générales, cependant, ces corrections d'ordre élevé doivent être abordées avec prudence, étant donné que le développement de Chapman-Enskog peut ne pas toujours converger. (D'autre part, on pense que l'expansion est au moins asymptotique aux solutions de l'équation de Boltzmann, auquel cas la troncature à un ordre faible donne toujours des résultats précis.) Même si les corrections d'ordre supérieur permettent une amélioration dans un système donné, le l'interprétation des équations hydrodynamiques correspondantes est encore débattue. ${\style d'affichage f^{(2)}}$

Voir également

• Phénomène de transport
• Théorie cinétique des gaz
• Équation de Boltzmann
• Équations de Navier-Stokes
• Viscosité
• Conductivité thermique

Remarques

Les références

La monographie classique sur le sujet :

• Chapman, Sydney ; Cowling, TG (1970), La théorie mathématique des gaz non uniformes (3e éd.), Cambridge University Press

Contient une introduction technique aux solutions normales de l'équation de Boltzmann :

• Grad, Harold (1958), "Principes de la théorie cinétique des gaz", dans Flügge, S. (éd.), Encyclopedia of Physics , XII , Springer-Verlag, pp. 205-294