Numéro de Knudsen - Knudsen number

Le nombre de Knudsen ( Kn ) est un nombre sans dimension défini comme le rapport de la longueur moyenne moléculaire du libre parcours à une échelle de longueur physique représentative . Cette échelle de longueur pourrait être, par exemple, le rayon d'un corps dans un fluide. Le numéro porte le nom du physicien danois Martin Knudsen (1871-1949).

Le nombre de Knudsen permet de déterminer si la mécanique statistique ou la formulation de la mécanique continue de la dynamique des fluides doit être utilisée pour modéliser une situation. Si le nombre de Knudsen est proche ou supérieur à un, le libre parcours moyen d'une molécule est comparable à une échelle de longueur du problème, et l'hypothèse du continu de la mécanique des fluides n'est plus une bonne approximation. Dans de tels cas, des méthodes statistiques devraient être utilisées.

Définition

Le nombre de Knudsen est un nombre sans dimension défini comme

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}},}$

où

${\style d'affichage \lambda }$= libre parcours moyen [L ¹ ],

${\style d'affichage L}$= échelle de longueur physique représentative [L ¹ ].

L'échelle de longueur représentative considérée, , peut correspondre à divers traits physiques d'un système, mais se rapporte le plus souvent à une longueur d'espace sur laquelle le transport thermique ou le transport de masse se produit à travers une phase gazeuse. C'est le cas des matériaux poreux et granulaires, où le transport thermique à travers une phase gazeuse dépend fortement de sa pression et du libre parcours moyen des molécules qui en résulte dans cette phase. Pour un gaz de Boltzmann , le libre parcours moyen peut être facilement calculé, de sorte que ${\style d'affichage L}$

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}pL}},}$

où

${\displaystyle k_{\text{B}}}$est la constante de Boltzmann (1,380649 × 10 ⁻²³ J/K en unités SI ) [M ¹ L ² T ⁻² Θ ⁻¹ ],

${\style d'affichage T}$est la température thermodynamique [θ ¹ ],

${\style d'affichage d}$est le diamètre de la coque dure de la particule [L ¹ ],

${\style d'affichage p}$est la pression totale [M ¹ L ^-1 T ^-2 ].

Pour la dynamique des particules dans l' atmosphère , et en supposant une température et une pression standard , c'est-à-dire 0 °C et 1 atm , nous avons ≈${\style d'affichage \lambda }$8 × 10 ^-8  m (80 nm).

Relation avec les nombres de Mach et de Reynolds dans les gaz

Le nombre de Knudsen peut être lié au nombre de Mach et au nombre de Reynolds .

Utilisation de la viscosité dynamique

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}\rho {\bar {c}}\lambda ,}$

avec la vitesse moyenne des molécules (à partir de la distribution de Maxwell-Boltzmann )

${\displaystyle {\bar {c}}={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}T}{\pi m}}},}$

le libre parcours moyen est déterminé comme suit :

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}}.}$

En divisant par L (une certaine longueur caractéristique), le nombre de Knudsen est obtenu :

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B }}T}{2m}}},}$

où

${\displaystyle {\bar {c}}}$est la vitesse moléculaire moyenne de la distribution de Maxwell-Boltzmann [L ¹ T ⁻¹ ],

T est la température thermodynamique [θ ¹ ],

μ est la viscosité dynamique [M ¹ L ^-1 T ^-1 ],

m est la masse moléculaire [M ¹ ],

k _B est la constante de Boltzmann [M ¹ L ² T ⁻² θ ⁻¹ ],

ρ est la densité [M ¹ L ⁻³ ].

Le nombre de Mach sans dimension peut être écrit comme

${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {U_{\infty }}{c_{\text{s}}}},}$

où la vitesse du son est donnée par

${\displaystyle c_{\text{s}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}={\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m }}},}$

où

U _∞ est la vitesse d' écoulement libre [L ¹ T ^-1 ],

R est la constante universelle des gaz (en SI , 8,314 47215 JK ⁻¹ mol ⁻¹ ) [M ¹ L ² T ⁻² θ ⁻¹ mol ⁻¹ ],

M est la masse molaire [M ¹ mol ^-1 ],

${\style d'affichage \gamma }$est le rapport des chaleurs spécifiques [1].

Le nombre de Reynolds sans dimension peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho U_{\infty }L}{\mu }}.}$

Division du nombre de Mach par le nombre de Reynolds :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}={\frac {U_{\infty }/c_{\text{s}}}{\rho U_{\infty }L /\mu }}={\frac {\mu }{\rho Lc_{\text{s}}}}={\frac {\mu }{\rho L{\sqrt {\frac {\gamma k_{\ text{B}}T}{m}}}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}T} }}}$

et en multipliant par donne le nombre de Knudsen : ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}T}}}{\sqrt {\frac {\gamma \ pi }{2}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}=\mathrm {Kn } .}$

Les nombres de Mach, Reynolds et Knudsen sont donc liés par

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re}}}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}.}$

Application

Le nombre de Knudsen peut être utilisé pour déterminer la raréfaction d'un flux :

• ${\displaystyle \mathrm {Kn} <0.01}$: Flux continu
• ${\displaystyle 0.01<\mathrm {Kn} <0.1}$: Flux de glissement
• ${\displaystyle 0.1<\mathrm {Kn} <10}$: Flux de transition
• ${\displaystyle \mathrm {Kn} >10}$: Flux moléculaire libre

Cette classification de régime est empirique et dépendante du problème, mais s'est avérée utile pour modéliser adéquatement les flux.

Les problèmes avec les nombres de Knudsen élevés incluent le calcul du mouvement d'une particule de poussière à travers la basse atmosphère et le mouvement d'un satellite à travers l' exosphère . L'une des applications les plus largement utilisées pour le nombre de Knudsen est la microfluidique et la conception de dispositifs MEMS où les flux vont du continu au moléculaire libre. On dit que les mouvements de fluides dans des situations avec un nombre de Knudsen élevé présentent un flux de Knudsen , également appelé flux moléculaire libre .

Le flux d'air autour d'un avion tel qu'un avion de ligne a un faible nombre de Knudsen, ce qui le rend fermement dans le domaine de la mécanique du continuum. En utilisant le nombre de Knudsen, un ajustement pour la loi de Stokes peut être utilisé dans le facteur de correction de Cunningham , il s'agit d'une correction de la force de traînée due au glissement dans les petites particules (c'est-à-dire d _p  < 5 m). L'écoulement de l'eau à travers une buse sera généralement une situation avec un faible nombre de Knudsen.

Les mélanges de gaz de masses moléculaires différentes peuvent être en partie séparés en envoyant le mélange à travers de petits trous d'une paroi mince car le nombre de molécules qui traversent un trou est proportionnel à la pression du gaz et inversement proportionnel à sa masse moléculaire. La technique a été utilisée pour séparer des mélanges isotopiques , tels que l' uranium , à l'aide de membranes poreuses. Elle a également été démontrée avec succès pour une utilisation dans la production d'hydrogène à partir de l'eau.

Le nombre de Knudsen joue également un rôle important dans la conduction thermique des gaz. Pour les matériaux d'isolation, par exemple, où les gaz sont contenus sous basse pression, le nombre de Knudsen doit être aussi élevé que possible pour assurer une faible conductivité thermique .

Voir également

• Facteur de correction de Cunningham
• Dynamique des fluides
• nombre de mach
• Flux de Knudsen
• Diffusion Knudsen
• Paradoxe de Knudsen

Les références

• Cussler, EL (1997). Diffusion : transfert de masse dans les systèmes fluides . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 0-521-45078-0.

Liens externes

• Calculateurs de nombre de Knudsen et de diffusivité