cis (mathématiques) - cis (mathematics)
cis est une notation mathématique définie par cis x = cos x + i sin x , où cos est lafonction cosinus , i est l' unité imaginaire et sin est lafonction sinus . La notation est moins couramment utilisée en mathématiques que la formule d' Euler , e ix , qui offre une notation encore plus courte et plus générale pour cos x + i sin x , maiscis(x)est largement utilisée comme nom pour cette fonction dans les bibliothèques logicielles .
Aperçu
La notation cis est un raccourci pour la combinaison des fonctions du membre de droite de la formule d' Euler :
où i 2 = -1 . Donc,
c'est-à-dire que " cis " est un acronyme pour " Cos I Sin ".
La notation cis a été inventée pour la première fois par William Rowan Hamilton dans Elements of Quaternions (1866) et ensuite utilisée par Irving Stringham dans des travaux tels que Uniplanar Algebra (1893), ou par James Harkness et Frank Morley dans leur Introduction to the Theory of Analytic Functions ( 1898). Il relie les fonctions trigonométriques ayant les fonctions exponentielles dans le plan complexe par l' intermédiaire de la formule d'Euler .
Il est principalement utilisé comme une notation abrégée pratique pour simplifier certaines expressions, par exemple en conjonction avec les transformées de Fourier et Hartley , ou lorsque les fonctions exponentielles ne doivent pas être utilisées pour une raison quelconque dans l'enseignement des mathématiques.
Dans la technologie de l' information, la fonction voit un support dédié dans diverses bibliothèques de mathématiques de haute performance (comme Intel de Math Kernel Library (MKL)), disponible pour de nombreux compilateurs, langages de programmation (y compris C , C ++ , Common Lisp , D , Fortran , Haskell , Julia ) et les systèmes d'exploitation (y compris Windows , Linux , macOS et HP-UX ). Selon la plate-forme, l'opération fusionnée est environ deux fois plus rapide que l'appel individuel des fonctions sinus et cosinus.
Identités mathématiques
Dérivé
Intégral
Autres propriétés
Ceux-ci découlent directement de la formule d' Euler .
Les identités ci-dessus sont valables si x et y sont des nombres complexes. Si x et y sont réels, alors
Histoire
Cette notation était plus courante après la Seconde Guerre mondiale, lorsque les machines à écrire étaient utilisées pour transmettre des expressions mathématiques.
La notation cis est parfois utilisée pour souligner une méthode de visualisation et de traitement d'un problème plutôt qu'une autre. Les mathématiques de la trigonométrie et des exponentielles sont liées mais pas exactement les mêmes ; la notation exponentielle met l'accent sur le tout, tandis que les notations cis x et cos x + i sin x mettent l'accent sur les parties. Cela peut être rhétoriquement utile aux mathématiciens et aux ingénieurs lorsqu'ils discutent de cette fonction, et servir en outre de mnémonique (pour cos + i sin ).
La notation cis convient aux étudiants en mathématiques dont la connaissance de la trigonométrie et des nombres complexes permet cette notation, mais dont la compréhension conceptuelle ne permet pas encore la notation e ix . Au fur et à mesure que les élèves apprennent des concepts qui s'appuient sur des connaissances antérieures, il est important de ne pas les forcer à adopter des niveaux de mathématiques pour lesquels ils ne sont pas encore préparés : la preuve habituelle que cis x = e ix nécessite du calcul , que l'élève n'a peut-être pas étudié avant de rencontrer l'expression cos x + i sin x .
En 1942, inspiré par la notation cis , Ralph VL Hartley a introduit la fonction cas (pour cosinus-and-sine ) pour le noyau Hartley à valeur réelle , un raccourci établi entre-temps en conjonction avec les transformées de Hartley :
