Théorie classique du contrôle - Classical control theory

La théorie classique du contrôle est une branche de la théorie du contrôle qui traite du comportement des systèmes dynamiques avec des entrées et de la façon dont leur comportement est modifié par rétroaction , en utilisant la transformée de Laplace comme outil de base pour modéliser de tels systèmes.

L'objectif habituel de la théorie du contrôle est de contrôler un système, souvent appelé installation , de sorte que sa sortie suive un signal de contrôle souhaité, appelé référence , qui peut être une valeur fixe ou variable. Pour ce faire, un contrôleur est conçu, qui surveille la sortie et la compare avec la référence. La différence entre la sortie réelle et souhaitée, appelée signal d' erreur , est appliquée en retour à l'entrée du système, pour rapprocher la sortie réelle de la référence.

La théorie classique du contrôle traite des systèmes linéaires invariants dans le temps à entrée unique et sortie unique (SISO). La transformée de Laplace du signal d'entrée et de sortie de tels systèmes peut être calculée. La fonction de transfert relie la transformée de Laplace de l'entrée et de la sortie.

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Pour surmonter les limites du contrôleur en boucle ouverte , la théorie du contrôle classique introduit une rétroaction . Un contrôleur en boucle fermée utilise la rétroaction pour contrôler les états ou les sorties d'un système dynamique . Son nom vient du chemin d'informations dans le système: les entrées de processus (par exemple, la tension appliquée à un moteur électrique ) ont un effet sur les sorties de processus (par exemple, la vitesse ou le couple du moteur), qui sont mesurées avec des capteurs et traitées par le manette; le résultat (le signal de commande) est "renvoyé" comme entrée dans le processus, fermant la boucle.

Les contrôleurs en boucle fermée présentent les avantages suivants par rapport aux contrôleurs en boucle ouverte :

• rejet des perturbations (comme les collines dans un régulateur de vitesse )
• performances garanties même avec des incertitudes du modèle , lorsque la structure du modèle ne correspond pas parfaitement au processus réel et que les paramètres du modèle ne sont pas exacts
• les processus instables peuvent être stabilisés
• sensibilité réduite aux variations de paramètres
• amélioration des performances de suivi des références

Dans certains systèmes, les commandes en boucle fermée et en boucle ouverte sont utilisées simultanément. Dans de tels systèmes, la commande en boucle ouverte est appelée anticipation et sert à améliorer encore les performances de suivi de référence.

Une architecture de contrôleur en boucle fermée commune est le contrôleur PID .

Classique vs moderne

Un système physique peut être modélisé dans le «domaine temporel», où la réponse d'un système donné est fonction des diverses entrées, des valeurs système précédentes et du temps. Au fil du temps, l'état du système et sa réponse changent. Cependant, les modèles de domaine temporel pour les systèmes sont fréquemment modélisés à l'aide d'équations différentielles d'ordre élevé qui peuvent devenir incroyablement difficiles à résoudre pour les humains et dont certaines peuvent même devenir impossibles à résoudre efficacement pour les systèmes informatiques modernes.

Pour contrer ce problème, la théorie classique du contrôle utilise la transformée de Laplace pour changer une équation différentielle ordinaire (ODE) dans le domaine temporel en un polynôme algébrique régulier dans le domaine fréquentiel. Une fois qu'un système donné a été converti dans le domaine fréquentiel, il peut être manipulé plus facilement.

La théorie du contrôle moderne , au lieu de changer de domaine pour éviter les complexités des mathématiques ODE du domaine temporel, convertit les équations différentielles en un système d'équations du domaine temporel d'ordre inférieur appelées équations d'état , qui peuvent ensuite être manipulées à l'aide de techniques d'algèbre linéaire.

transformation de Laplace

La théorie classique du contrôle utilise la transformée de Laplace pour modéliser les systèmes et les signaux. La transformée de Laplace est une approche dans le domaine fréquentiel pour les signaux temporels continus, que le système soit stable ou instable. La transformée de Laplace d'une fonction f ( t ) , définie pour tous les nombres réels t ≥ 0 , est la fonction F ( s ) , qui est une transformée unilatérale définie par

${\ displaystyle F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \, dt}$

où s est un paramètre de fréquence de nombre complexe

${\ displaystyle s = \ sigma + i \ omega}$ , avec des nombres réels σ et ω .

Fonction de transfert en boucle fermée

Une architecture de contrôle de rétroaction commune est la boucle d'asservissement, dans laquelle la sortie du système y (t) est mesurée à l'aide d'un capteur F et soustraite de la valeur de référence r (t) pour former l'erreur d'asservissement e . Le contrôleur C utilise alors l'erreur d'asservissement e pour ajuster l'entrée u de l'installation (système contrôlé) P afin de diriger la sortie de l'installation vers la référence. Ceci est illustré dans le schéma fonctionnel ci-dessous. Ce type de contrôleur est un contrôleur en boucle fermée ou un contrôleur de rétroaction.

C'est ce qu'on appelle un système de commande à entrée unique et sortie unique ( SISO ); Les systèmes MIMO (c'est-à-dire multi-entrées-multi-sorties), avec plus d'une entrée / sortie, sont courants. Dans de tels cas, les variables sont représentées par des vecteurs au lieu de simples valeurs scalaires . Pour certains systèmes de paramètres distribués, les vecteurs peuvent être de dimension infinie (généralement des fonctions).

Si nous supposons que le contrôleur C , l'installation P et le capteur F sont linéaires et invariants dans le temps (c'est -à- dire que les éléments de leur fonction de transfert C (s) , P (s) et F (s) ne dépendent pas du temps) , les systèmes ci-dessus peuvent être analysés en utilisant la transformée de Laplace sur les variables. Cela donne les relations suivantes:

${\ Displaystyle Y (s) = P (s) U (s) \, \!}$

${\ Displaystyle U (s) = C (s) E (s) \, \!}$

${\ Displaystyle E (s) = R (s) -F (s) Y (s). \, \!}$

La résolution de Y ( s ) en termes de R ( s ) donne

${\ Displaystyle Y (s) = \ left ({\ frac {P (s) C (s)} {1 + F (s) P (s) C (s)}} \ right) R (s) = H (s) R (s).}$

L'expression est appelée fonction de transfert en boucle fermée du système. Le numérateur est le gain avant (en boucle ouverte) de à , et le dénominateur est un plus le gain en contournant la boucle de rétroaction, ce que l'on appelle le gain en boucle. Si , c'est-à-dire, il a une grande norme avec chaque valeur de s , et si , alors est approximativement égal à et la sortie suit de près l'entrée de référence. ${\ Displaystyle H (s) = {\ frac {P (s) C (s)} {1 + F (s) P (s) C (s)}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle | P (s) C (s) | \ gg 1}$${\ Displaystyle | F (s) | \ environ 1}$${\ displaystyle Y (s)}$${\ displaystyle R (s)}$

${\ displaystyle u (t)}$ Contrôleur PID

Le contrôleur PID est probablement la conception de contrôle de rétroaction la plus utilisée (à côté du contrôle Bang-bang beaucoup plus grossier ). PID est un initialisme pour Proportionnel-Intégral-Dérivée , se référant aux trois termes opérant sur le signal d'erreur pour produire un signal de commande. Si le signal de commande est envoyé au système, est la sortie mesurée et est la sortie souhaitée, et l'erreur de suivi , un contrôleur PID a la forme générale ${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle r (t)}$${\ Displaystyle e (t) = r (t) -y (t)}$

${\ displaystyle u (t) = K_ {P} e (t) + K_ {I} \ int e (t) {\ text {d}} t + K_ {D} {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} e (t).}$

La dynamique en boucle fermée souhaitée est obtenue en ajustant les trois paramètres , et , souvent de manière itérative par «réglage» et sans connaissance spécifique d'un modèle d'usine. La stabilité peut souvent être assurée en utilisant uniquement le terme proportionnel. Le terme intégral permet le rejet d'une perturbation d'étape (souvent une spécification frappante dans le contrôle de processus ). Le terme dérivé est utilisé pour fournir un amortissement ou une mise en forme de la réponse. Les contrôleurs PID sont la classe de systèmes de contrôle la mieux établie: cependant, ils ne peuvent pas être utilisés dans plusieurs cas plus complexes, en particulier si des systèmes à entrées multiples et sorties multiples (MIMO) sont envisagés. ${\ displaystyle K_ {P}}$${\ displaystyle K_ {I}}$${\ displaystyle K_ {D}}$

L'application de la transformation de Laplace aboutit à l'équation du contrôleur PID transformé

${\ displaystyle u (s) = K_ {P} e (s) + K_ {I} {\ frac {1} {s}} e (s) + K_ {D} se (s)}$

${\ displaystyle u (s) = \ left (K_ {P} + K_ {I} {\ frac {1} {s}} + K_ {D} s \ right) e (s)}$

avec la fonction de transfert du régulateur PID

${\ displaystyle C (s) = \ left (K_ {P} + K_ {I} {\ frac {1} {s}} + K_ {D} s \ right).}$

Il existe un bel exemple du système en boucle fermée décrit ci-dessus. Si nous prenons

Fonction de transfert du régulateur PID sous forme de série

${\ displaystyle C (s) = K \ left (1 + {\ frac {1} {sT_ {i}}} \ right) (1 + sT_ {d})}$

Filtre de 1er ordre dans la boucle de rétroaction

${\ displaystyle F (s) = {\ frac {1} {1 + sT_ {f}}}}$

actionneur linéaire avec entrée filtrée

${\ displaystyle P (s) = {\ frac {A} {1 + sT_ {p}}}}$ , = const ${\ displaystyle A}$

et insérez tout cela dans l'expression pour la fonction de transfert en boucle fermée , alors le réglage est très facile: il suffit de mettre ${\ displaystyle H (s)}$

${\ displaystyle K = {\ frac {1} {A}}, T_ {i} = T_ {f}, T_ {d} = T_ {p}}$

et obtenez de la même manière. ${\ displaystyle H (s) = 1}$

Pour les contrôleurs PID pratiques, un différenciateur pur n'est ni physiquement réalisable ni souhaitable en raison de l'amplification du bruit et des modes de résonance dans le système. Par conséquent, une approche de type compensateur à avance de phase est utilisée à la place, ou un différentiateur avec un roll-off passe-bas.

Outils

La théorie du contrôle classique utilise un éventail d'outils pour analyser les systèmes et concevoir des contrôleurs pour ces systèmes. Les outils incluent le locus racine , le critère de stabilité de Nyquist , le tracé de Bode , la marge de gain et la marge de phase . Des outils plus avancés incluent des intégrales Bode pour évaluer les limitations de performances et les compromis, et décrivant des fonctions pour analyser les non-linéarités dans le domaine fréquentiel.

Voir également

• Rétroaction en boucle mineure une méthode classique pour concevoir des systèmes de contrôle de rétroaction.
• Espace d'état (contrôle)

Les références