Énergie de Dirichlet - Dirichlet energy

En mathématiques , l' énergie de Dirichlet est une mesure de la variable d' une fonction . De manière plus abstraite, il s'agit d'une fonctionnelle quadratique sur l' espace de Sobolev H 1 . L'énergie de Dirichlet est intimement liée à l'équation de Laplace et porte le nom du mathématicien allemand Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Définition

Étant donné un ensemble ouvert Ω ⊆ R n et une fonction u  : Ω → R l' énergie de Dirichlet de la fonction  u est le nombre réel

où ∇ u  : Ω → R n désigne le champ vectoriel gradient de la fonction  u .

Propriétés et applications

Puisqu'elle est l'intégrale d'une quantité non négative, l'énergie de Dirichlet est elle-même non négative, c'est-à-dire E [ u ] ≥ 0 pour toute fonction  u .

Résoudre l'équation de Laplace pour tous , sous réserve de conditions aux limites appropriées , équivaut à résoudre le problème variationnel de trouver une fonction  u qui satisfait les conditions aux limites et a une énergie de Dirichlet minimale.

Une telle solution s'appelle une fonction harmonique et de telles solutions sont le sujet d'étude en théorie du potentiel .

Dans un cadre plus général, où Ω ⊆ R n est remplacé par n'importe quelle variété riemannienne M , et u  : Ω → R est remplacé par u  : M → Φ pour une autre variété riemannienne Φ (différente) , l'énergie de Dirichlet est donnée par le sigma modèle . Les solutions aux équations de Lagrange pour le modèle sigma lagrangien sont les fonctions u qui minimisent / maximisent l'énergie de Dirichlet. Restreindre ce cas général au cas spécifique de u  : Ω → R montre simplement que les équations de Lagrange (ou, de manière équivalente, les équations de Hamilton – Jacobi ) fournissent les outils de base pour obtenir des solutions extrémales.

Voir également

Références

  • Lawrence C. Evans (1998). Equations différentielles partielles . Société mathématique américaine. ISBN   978-0821807729 .