Fonction harmonique - Harmonic function

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Gens
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En mathématiques , la physique mathématique et la théorie des processus stochastiques , une fonction harmonique est deux fois continûment dérivable fonction f  : U → R , où U est un sous - ensemble ouvert de R ⁿ , qui satisfait à l'équation de Laplace , qui est,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{ 2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0}$

partout sur U . Ceci est généralement écrit comme

${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

ou alors

${\style d'affichage \Delta f=0}$

Étymologie du terme « harmonique »

Le descripteur "harmonique" dans le nom de fonction harmonique provient d'un point sur une corde tendue qui subit un mouvement harmonique . La solution de l'équation différentielle pour ce type de mouvement peut être écrite en termes de sinus et de cosinus, fonctions qui sont donc appelées harmoniques . L'analyse de Fourier consiste à développer des fonctions sur le cercle unité en fonction d'une série de ces harmoniques. En considérant des analogues de dimension supérieure des harmoniques sur l'unité n- sphère , on arrive aux harmoniques sphériques . Ces fonctions satisfont à l'équation de Laplace et, au fil du temps, « harmonique » a été utilisé pour désigner toutes les fonctions satisfaisant l'équation de Laplace.

Exemples

Voici des exemples de fonctions harmoniques de deux variables :

• Les parties réelles et imaginaires de toute fonction holomorphe
• La fonction ; c'est un cas particulier de l'exemple ci-dessus, comme , et c'est une fonction holomorphe .${\displaystyle \,\!f(x,y)=e^{x}\sin y}$${\displaystyle f(x,y)=\operatorname {Im} \left(e^{x+iy}\right)}$${\displaystyle e^{x+iy}}$
• La fonction définie sur . Cela peut décrire le potentiel électrique dû à une charge de ligne ou le potentiel de gravité dû à une longue masse cylindrique.${\displaystyle \,\!f(x,y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \lbrace 0\rbrace }$

Des exemples de fonctions harmoniques de trois variables sont donnés dans le tableau ci-dessous avec : ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Une fonction	Singularité
${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$	Charge ponctuelle unitaire à l'origine
${\style d'affichage {\frac {x}{r^{3}}}}$	dipôle orienté x à l'origine
${\displaystyle -\ln \left(r^{2}-z^{2}\right)\,}$	Ligne de densité de charge unitaire sur tout l'axe z
${\style d'affichage -\ln(r+z)\,}$	Ligne de densité de charge unitaire sur l'axe z négatif
${\displaystyle {\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,}$	Ligne de dipôles orientés x sur tout l' axe z
${\style d'affichage {\frac {x}{r(r+z)}}\,}$	Ligne de dipôles orientés x sur l' axe z négatif

Les fonctions harmoniques qui surviennent en physique sont déterminées par leurs singularités et leurs conditions aux limites (telles que les conditions aux limites de Dirichlet ou les conditions aux limites de Neumann ). Sur les régions sans frontières, l'ajout de la partie réelle ou imaginaire de toute fonction entière produira une fonction harmonique avec la même singularité, donc dans ce cas la fonction harmonique n'est pas déterminée par ses singularités ; Cependant, nous pouvons rendre la solution unique dans des situations physiques en exigeant que la solution s'approche de 0 lorsque r s'approche de l'infini. Dans ce cas, l'unicité découle du théorème de Liouville .

Les points singuliers des fonctions harmoniques ci-dessus sont exprimés en « charges » et « densités de charge » en utilisant la terminologie de l' électrostatique , et ainsi la fonction harmonique correspondante sera proportionnelle au potentiel électrostatique dû à ces distributions de charges. Chaque fonction ci-dessus produira une autre fonction harmonique lorsqu'elle sera multipliée par une constante, tournée et/ou additionnée d'une constante. L' inversion de chaque fonction donnera une autre fonction harmonique qui a des singularités qui sont les images des singularités originelles dans un "miroir" sphérique. De plus, la somme de deux fonctions harmoniques donnera une autre fonction harmonique.

Enfin, des exemples de fonctions harmoniques de n variables sont :

• Les fonctions constantes, linéaires et affines sur l'ensemble de R ⁿ (par exemple, le potentiel électrique entre les plaques d'un condensateur , et le potentiel de gravité d'une dalle)
• La fonction activée pour n > 2.${\displaystyle \,\!f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2} \right)^{1-n/2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \lbrace 0\rbrace }$

Remarques

L'ensemble des fonctions harmoniques sur un ouvert U donné peut être vu comme le noyau de l' opérateur de Laplace Δ et est donc un espace vectoriel sur R : les combinaisons linéaires de fonctions harmoniques sont à nouveau harmoniques.

Si f est une fonction harmonique sur U , alors toutes les dérivées partielles de f sont également des fonctions harmoniques sur U . L'opérateur de Laplace et l'opérateur de dérivée partielle commuteront sur cette classe de fonctions.

À plusieurs égards, les fonctions harmoniques sont de véritables analogues des fonctions holomorphes . Toutes les fonctions harmoniques sont analytiques , c'est-à-dire qu'elles peuvent être exprimées localement sous forme de séries entières . C'est un fait général sur les opérateurs elliptiques , dont le Laplacien est un exemple majeur.

La limite uniforme d'une suite convergente de fonctions harmoniques est toujours harmonique. Cela est vrai parce que toute fonction continue satisfaisant la propriété de valeur moyenne est harmonique. Considérons la suite sur (−∞, 0) ×  R définie par . Cette suite est harmonique et converge uniformément vers la fonction zéro ; notez cependant que les dérivées partielles ne sont pas uniformément convergentes vers la fonction zéro (la dérivée de la fonction zéro). Cet exemple montre l'importance de s'appuyer sur la propriété de valeur moyenne et la continuité pour affirmer que la limite est harmonique. ${\displaystyle \scriptstyle f_{n}(x,y)={\frac {1}{n}}\exp(nx)\cos(ny)}$

Liens avec la théorie des fonctions complexes

La partie réelle et imaginaire de toute fonction holomorphe donne des fonctions harmoniques sur R ² (on dit qu'il s'agit d'une paire de fonctions conjuguées harmoniques ). Inversement, toute fonction harmonique u sur un ouvert Ω de R ² est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe. Ceci se voit immédiatement en observant qu'en écrivant z  =  x  +  iy , la fonction complexe g ( z ) :=  u _x  − i u _y est holomorphe dans Ω car elle satisfait les équations de Cauchy–Riemann . Par conséquent, g a localement une primitive f , et u est la partie réelle de f à une constante près, comme u _x est la partie réelle de . ${\displaystyle \scriptstyle f\,^{\prime }=g}$

Bien que la correspondance ci-dessus avec les fonctions holomorphes ne soit valable que pour les fonctions de deux variables réelles, les fonctions harmoniques dans n variables bénéficient toujours d'un certain nombre de propriétés typiques des fonctions holomorphes. Ils sont (réels) analytiques ; ils ont un principe de maximum et un principe de valeur moyenne ; un théorème d'élimination des singularités ainsi qu'un théorème de Liouville sont valables pour eux par analogie aux théorèmes correspondants de la théorie des fonctions complexes.

Propriétés des fonctions harmoniques

Certaines propriétés importantes des fonctions harmoniques peuvent être déduites de l'équation de Laplace.

Théorème de régularité pour les fonctions harmoniques

Les fonctions harmoniques sont infiniment différentiables dans les ensembles ouverts. En fait, les fonctions harmoniques sont de véritables analytiques .

Principe du maximum

Fonctions harmoniques satisfont ce qui suit principe du maximum : si K est un non vide sous - ensemble compact de U , alors f limitée à K atteint son maximum et minimum de la limite de K . Si U est connexe , cela signifie que f ne peut pas avoir de maxima ou de minima locaux, sauf dans le cas exceptionnel où f est constant . Des propriétés similaires peuvent être affichées pour les fonctions sous-harmoniques .

La propriété de valeur moyenne

Si B ( x , r ) est une boule de centre x et de rayon r qui est entièrement contenue dans l' ouvert Ω ⊂ R ⁿ , alors la valeur u ( x ) d' une fonction harmonique u : R → R au centre du balle est donnée par la valeur moyenne de u à la surface de la balle ; cette valeur moyenne est également égale à la valeur moyenne de u à l'intérieur de la boule. Autrement dit,

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV}$

où ω _n est le volume de la boule unité à n dimensions et σ est la ( n  - 1) mesure de surface de dimension.

Inversement, toutes les fonctions localement intégrables satisfaisant la propriété de valeur moyenne (volume) sont à la fois infiniment différentiables et harmoniques.

En termes de convolutions , si

${\displaystyle \chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {n}{\omega _ {n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}}$

désigne la fonction caractéristique de la boule de rayon r autour de l'origine, normalisée pour que , la fonction u soit harmonique sur Ω si et seulement si ${\displaystyle \scriptstyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1}$

${\displaystyle u(x)=u*\chi _{r}(x)\;}$

dès que B ( x , r ) Ω.

Esquisse de la preuve. La preuve de la propriété de valeur moyenne des fonctions harmoniques et sa réciproque suit immédiatement en observant que l'équation non homogène, pour tout 0 < s < r

${\displaystyle \Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}\;}$

admet une solution explicite facile w _r,s de classe C ^1,1 à support compact dans B (0, r ). Ainsi, si u est harmonique dans Ω

${\displaystyle 0=\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}\;}$

tient dans l'ensemble Ω _r de tous les points x in avec . ${\style d'affichage \Oméga }$${\displaystyle \operatorname {dist} (x,\partial \Omega )>r}$

Puisque u est continue dans Ω, u ∗χ _r converge vers u lorsque s → 0 montrant la propriété de valeur moyenne pour u dans Ω. Inversement, si u est une fonction satisfaisant la propriété de la valeur moyenne dans , c'est-à-dire ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}\;}$

${\displaystyle u*\chi _{r}=u*\chi _{s}\;}$

tient dans Ω _r pour tout 0 < s < r alors, en itérant m fois la convolution avec χ _r on a :

${\displaystyle u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\,,\qquad x\in \Omega _{mr},}$

de sorte que u est dû au fait que la convolution itérée m fois de χ _r est de classe de support B (0, mr ). Puisque r et m sont arbitraires, u l' est aussi. En outre, ${\displaystyle C^{m-1}(\Omega _{mr})\;}$${\style d'affichage C^{m-1}\;}$${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\;}$

${\displaystyle \Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}=0\;}$

pour tout 0 < s < r de sorte que u = 0 dans par le théorème fondamental du calcul des variations, prouvant l'équivalence entre l'harmonie et la propriété de la valeur moyenne.

Cette déclaration de la propriété de valeur moyenne peut être généralisée comme suit: Si h est une fonction à symétrie sphérique supportée dans B ( x , r ) telle que ∫ h = 1, u ( x ) = h * u ( x ). En d'autres termes, nous pouvons prendre la moyenne pondérée de u sur un point et récupérer u ( x ). En particulier, en prenant h pour une fonction C ^,, nous pouvons récupérer la valeur de u en tout point même si nous savons seulement comment u agit comme une distribution . Voir le lemme de Weyl .

L'inégalité de Harnack

Soit u une fonction harmonique non négative dans un domaine borné Ω. Ensuite pour chaque ensemble connecté

${\displaystyle V\subset {\overline {V}}\subset \Omega ,}$

L'inégalité de Harnack

${\displaystyle \sup _{V}u\leq C\inf _{V}u}$

est valable pour une constante C qui ne dépend que de V et .

Suppression des singularités

Le principe suivant de suppression des singularités est valable pour les fonctions harmoniques. Si f est une fonction harmonique définie sur un ouvert pointillé de R ⁿ , qui est moins singulier en x ₀ que la solution fondamentale ( pour ) , c'est ${\displaystyle \scriptstyle \Omega \,\setminus \,\{x_{0}\}}$ ${\style d'affichage n>2}$

${\displaystyle f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},}$

alors f s'étend à une fonction harmonique sur (comparer le théorème de Riemann pour les fonctions d'une variable complexe).

Le théorème de Liouville

Théorème : Si f est une fonction harmonique définie sur l'ensemble de R ⁿ borné en dessus ou borné en dessous, alors f est constant.

(Comparer le théorème de Liouville pour les fonctions d'une variable complexe ).

Edward Nelson a donné une preuve particulièrement courte de ce théorème pour le cas des fonctions bornées, en utilisant la propriété de valeur moyenne mentionnée ci-dessus :

Étant donné deux points, choisissez deux boules avec les points donnés comme centres et de même rayon. Si le rayon est suffisamment grand, les deux boules coïncideront à l'exception d'une proportion arbitrairement faible de leur volume. Puisque f est borné, ses moyennes sur les deux boules sont arbitrairement proches, et donc f prend la même valeur en deux points quelconques.

La preuve peut être adaptée au cas où la fonction harmonique f est simplement bornée au-dessus ou au-dessous. En ajoutant une constante et éventuellement en multipliant par , nous pouvons supposer que f est non négatif. Alors pour n'importe quels deux points et , et n'importe quel nombre positif , nous laissons . On considère alors les boules et , où par l'inégalité triangulaire, la première boule est contenue dans la seconde. ${\style d'affichage -1}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage R}$${\style d'affichage r=R+d(x,y)}$${\style d'affichage B_{R}(x)}$${\style d'affichage B_{r}(y)}$

Par la propriété de moyennage et la monotonie de l'intégrale, on a

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{R}(x)}f(z)\,dz\leq { \frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{r}(y)}f(z)\,dz.}$

(Notez que puisque est indépendant de , nous l'appelons simplement .) Dans la dernière expression, nous pouvons multiplier et diviser par et utiliser à nouveau la propriété de moyennage, pour obtenir ${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{R}(x))}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{R})}$${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{r})}$

${\displaystyle f(x)\leq {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}f(y).}$

Mais comme , la quantité ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}={\frac {(R+d(x,y))^{ n}}{R^{n}}}}$

tend vers 1. Ainsi, . Le même argument avec les rôles de et inversé montre que , donc que . ${\style d'affichage f(x)\leq f(y)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage f(y)\leq f(x)}$${\style d'affichage f(x)=f(y)}$

Généralisations

Fonction harmonique faible

Une fonction (ou, plus généralement, une distribution ) est faiblement harmonique si elle satisfait l'équation de Laplace

${\style d'affichage \Delta f=0\,}$

au sens faible (ou, de manière équivalente, au sens des distributions). Une fonction faiblement harmonique coïncide presque partout avec une fonction fortement harmonique, et est en particulier lisse. Une distribution faiblement harmonique est précisément la distribution associée à une fonction fortement harmonique, et est donc également lisse. C'est le lemme de Weyl .

Il existe d'autres formulations faibles de l'équation de Laplace qui sont souvent utiles. Dont l'un est le principe de Dirichlet , représentant les fonctions harmoniques dans l' espace de Sobolev H ¹ (Ω) comme les minimiseurs de l' intégrale d' énergie de Dirichlet

${\displaystyle J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx}$

par rapport aux variations locales, c'est-à-dire toutes les fonctions telles que J ( u ) ≤ J ( u + v ) est vraie pour tout ou de façon équivalente, pour tout${\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )}$${\displaystyle v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

Fonctions harmoniques sur les variétés

Les fonctions harmoniques peuvent être définies sur une variété riemannienne arbitraire , en utilisant l' opérateur de Laplace-Beltrami Δ. Dans ce contexte, une fonction est dite harmonique si

${\displaystyle \ \Delta f=0.}$

De nombreuses propriétés des fonctions harmoniques sur les domaines de l'espace euclidien se retrouvent dans ce cadre plus général, y compris le théorème de la valeur moyenne (sur les boules géodésiques ), le principe du maximum et l'inégalité de Harnack. A l'exception du théorème de la valeur moyenne, ce sont des conséquences faciles des résultats correspondants pour les équations aux dérivées partielles elliptiques linéaires générales du second ordre.

Fonctions sous-harmoniques

Une fonction C ² qui satisfait Δ f 0 est appelée sous-harmonique. Cette condition garantit que le principe maximum sera maintenu, bien que d'autres propriétés des fonctions harmoniques puissent échouer. Plus généralement, une fonction est sous-harmonique si et seulement si, à l'intérieur de n'importe quelle boule de son domaine, son graphe est inférieur à celui de la fonction harmonique interpolant ses valeurs limites sur la boule.

Formes harmoniques

Une généralisation de l'étude des fonctions harmoniques est l'étude des formes harmoniques sur les variétés riemanniennes , et elle est liée à l'étude de la cohomologie . En outre, il est possible de définir des fonctions harmoniques à valeur vectorielle, ou des cartes harmoniques de deux variétés riemanniennes, qui sont des points critiques d'une fonctionnelle énergétique de Dirichlet généralisée (cela inclut les fonctions harmoniques comme cas particulier, un résultat connu sous le nom de principe de Dirichlet ). Ce type de carte harmonique apparaît dans la théorie des surfaces minimales. Par exemple, une courbe, c'est-à-dire une application d'un intervalle de R à une variété riemannienne, est une application harmonique si et seulement si c'est une géodésique .

Cartes harmoniques entre variétés

Si M et N sont deux variétés riemanniennes, alors une application harmonique u  : M → N est définie comme étant un point critique de l'énergie de Dirichlet

${\displaystyle D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\|du\|^{2}\,d\operatorname {Vol} }$

dans laquelle du  : TM → TN est la différentielle de u , et la norme est celle induite par la métrique sur M et celle sur N sur le fibré produit tensoriel T * M ⊗ u ⁻¹ TN .

Les cas particuliers importants d'applications harmoniques entre variétés incluent les surfaces minimales , qui sont précisément les immersions harmoniques d'une surface dans l'espace euclidien tridimensionnel. Plus généralement, les sous-variétés minimales sont des immersions harmoniques d'une variété dans une autre. Les coordonnées harmoniques sont un difféomorphisme harmonique d'une variété à un sous-ensemble ouvert d'un espace euclidien de même dimension.

Voir également

Remarques

Les références

• Evans, Lawrence C. (1998), Équations aux dérivées partielles , American Mathematical Society.
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil , Équations aux dérivées partielles elliptiques du second ordre , ISBN 3-540-41160-7.
• Han, Q. ; Lin, F. (2000), Équations aux dérivées partielles elliptiques , American Mathematical Society.
• Jost, Jürgen (2005), Géométrie riemannienne et analyse géométrique (4e éd.), Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7.
• Axler, Sheldon ; Bourdon, Paul; Ramey, Wade (2001). Théorie des fonctions harmoniques . 137 (Deuxième éd.). New York : Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-8137-3 . ISBN 0-387-95218-7..

Liens externes

• "Fonction harmonique" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Fonction harmonique" . MathWorld .
• Théorie des fonctions harmoniques par S.Axler, Paul Bourdon et Wade Ramey