Carte harmonique - Harmonic map

Dans le domaine mathématique de la géométrie différentielle , une application lisse d'une variété riemannienne à une autre variété riemannienne est appelée harmonique si ses représentants de coordonnées satisfont à une certaine équation différentielle partielle non linéaire . Cette équation différentielle partielle pour une cartographie se présente également comme l' équation d'Euler-Lagrange d'une fonctionnelle généralisant l' énergie de Dirichlet (qui est souvent elle-même appelée «énergie de Dirichlet»). En tant que telle, la théorie des cartes harmoniques englobe à la fois la théorie des géodésiques à vitesse unitaire en géométrie riemannienne et la théorie des fonctions harmoniques sur des sous-ensembles ouverts de l' espace euclidien et sur des variétés riemanniennes.

De façon informelle, l'énergie de Dirichlet d'un mappage f à partir d' une variété riemannienne M à un collecteur de Riemann N peut être considérée comme étant la quantité totale f « tronçons » M dans la répartition de chacun de ses éléments à un point de N . Par exemple, une bande de caoutchouc qui est étirée autour d'une pierre (lisse) peut être mathématiquement formalisée comme une cartographie des points sur la bande non étirée à la surface de la pierre. La bande non étirée et la pierre reçoivent des métriques riemanniennes en tant que sous - variétés intégrées de l' espace euclidien tridimensionnel ; l'énergie de Dirichlet d'une telle cartographie est alors une formalisation de la notion de tension totale impliquée. L'harmonicité d'une telle cartographie signifie que, étant donné toute manière hypothétique de déformer physiquement l'étirement donné, la tension (lorsqu'elle est considérée comme une fonction du temps) a la première dérivée zéro lorsque la déformation commence.

La théorie des cartes harmoniques a été initiée en 1964 par James Eells et Joseph Sampson , qui ont montré que dans certains contextes géométriques, les cartes lisses arbitraires pouvaient être déformées en cartes harmoniques. Leur travail a inspiré le premier travail de Richard Hamilton sur le flux de Ricci . Les cartes harmoniques et la carte harmonique associée de flux de chaleur, en soi, sont parmi les sujets les plus largement étudiés dans le domaine de l'analyse géométrique .

La découverte du «bouillonnement» de séquences de cartes harmoniques, due à Jonathan Sacks et Karen Uhlenbeck , a été particulièrement influente, car le même phénomène a été retrouvé dans de nombreux autres contextes géométriques. Notamment, la découverte parallèle par Uhlenbeck du bouillonnement des champs de Yang – Mills est importante dans les travaux de Simon Donaldson sur les variétés à quatre dimensions, et la découverte ultérieure par Mikhael Gromov du bouillonnement de courbes pseudoholomorphes est significative dans les applications à la géométrie symplectique et à la cohomologie quantique . Les techniques utilisées par Richard Schoen et Uhlenbeck pour étudier la théorie de la régularité des cartes harmoniques ont également inspiré le développement de nombreuses méthodes analytiques en analyse géométrique.

Définition mathématique

Ici, la notion de laplacien d'une carte est envisagée sous trois angles différents. Une carte est dite harmonique si son laplacien disparaît; on l'appelle totalement géodésique si sa toile de jute disparaît.

Formulation intégrale

Soit ( M , g ) et ( N , h ) des variétés riemanniennes. Etant donné une application lisse f de M à N , le pullback f ^* h est un 2-tenseur symétrique sur M ; la densité d'énergie e ( f ) de f est la moitié de sa trace g . Si M est orienté et M est compact, l' énergie de Dirichlet de f est définie comme

${\ Displaystyle E (f) = \ int _ {M} e (f) \, d \ mu _ {g}}$

où dμ _g est la forme volumique sur M induite par g . Même si M est non compact, la définition suivante est significative: le champ de laplacien ou de tension Δ f de f est le champ de vecteurs dans N le long de f tel que

${\ displaystyle \ int _ {M} {\ frac {\ partial} {\ partial s}} {\ Big |} _ {s = 0} e (f_ {s}) \, d \ mu _ {g} = - \ int _ {M} h \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial s}} {\ Big |} _ {s = 0} f_ {s}, \ Delta f \ right) \, d \ mu _ {g}}$

pour toute famille de cartes à un paramètre f _s  : M → N avec f ₀ = f et pour laquelle il existe un ensemble ouvert précompact K de M tel que f _s | _{M - K} = f | _{M - K} pour tous les s ; on suppose que la famille paramétrée est lisse au sens où l'application associée (−ε, ε) × M → N donnée par ( s , p ) ↦ f _s ( p ) est lisse.

Dans le cas où M est compact, le Laplacien de f peut alors être considéré comme le gradient de la fonctionnelle d'énergie de Dirichlet.

Coordonnées locales

Soit U un sous-ensemble ouvert de ℝ ^m et soit V un sous-ensemble ouvert de ℝ ⁿ . Pour chaque i et j compris entre 1 et n , soit g _ij une fonction réelle lisse sur U , telle que pour chaque p dans U , on a que la matrice m × m [ g _ij ( p )] soit symétrique et positive -précis. Pour chaque α et β compris entre 1 et m , soit h _αβ une fonction réelle lisse sur V , telle que pour chaque q dans V , on a que la matrice n × n [ h _αβ ( q )] soit symétrique et positive -précis. Notons les matrices inverses par [ g ^ij ( p )] et [ h ^αβ ( q )] .

Pour chaque i , j , k compris entre 1 et n et chaque α , β , γ compris entre 1 et m définissent les symboles de Christoffel Γ ( g ) ^k _ij  : U → Γ et Γ ( h ) ^γ _αβ  : V → ℝ

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ Gamma (g) _ {ij} ^ {k} & = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ ell = 1} ^ {m} g ^ { k \ ell} {\ Big (} {\ frac {\ partial g_ {j \ ell}} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {\ partial g_ {i \ ell}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {\ ell}}} {\ Big)} \\\ Gamma (h) _ {\ alpha \ beta} ^ { \ gamma} & = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ delta = 1} ^ {n} h ^ {\ gamma \ delta} {\ Big (} {\ frac {\ partial h _ {\ beta \ delta}} {\ partial y ^ {\ alpha}}} + {\ frac {\ partial h _ {\ alpha \ delta}} {\ partial y ^ {\ beta}}} - {\ frac {\ partial h_ {\ alpha \ beta}} {\ partial y ^ {\ delta}}} {\ Big)} \ end {aligné}}}$

Etant donné une application lisse f de U à V , sa jute définit pour chaque i et j entre 1 et m et pour chaque α entre 1 et n la fonction réelle ∇ ( df ) ^α _ij sur U par

${\ displaystyle \ nabla (df) _ {ij} ^ {\ alpha} = {\ frac {\ partial ^ {2} f ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {i} \ partial x ^ {j} }} - \ sum _ {k = 1} ^ {m} \ Gamma (g) _ {ij} ^ {k} {\ frac {\ partial f ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {k}} } + \ sum _ {\ beta = 1} ^ {n} \ sum _ {\ gamma = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f ^ {\ beta}} {\ partial x ^ {i}} } {\ frac {\ partial f ^ {\ gamma}} {\ partial x ^ {j}}} \ Gamma (h) _ {\ beta \ gamma} ^ {\ alpha} \ circ f.}$

Son champ laplacien ou de tension définit pour chaque α entre 1 et n la fonction réelle (∆ f ) ^α sur U par

${\ displaystyle (\ Delta f) ^ {\ alpha} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {m} g ^ {ij} \ nabla (df) _ { ij} ^ {\ alpha}.}$

La densité d'énergie de f est la fonction à valeur réelle sur U donnée par

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {n} \ sum _ {\ beta = 1} ^ {n} g ^ {ij} {\ frac {\ partial f ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial f ^ {\ beta}} {\ partial x ^ { j}}} (h _ {\ alpha \ beta} \ circ f).}$

Formalisme de bundle

Soient ( M , g ) et de ( N , h ) soient variétés riemanniennes . Etant donné une application lisse f de M à N , on peut considérer son différentiel df comme une section du fibré vectoriel T ^* M ⊗ f ^* TN sur M ; tout cela est dit que , pour chaque p dans M , on a une carte linéaire df _p comme T _p M → T _{f (p)} N . Les métriques riemanniennes sur M et N induisent une métrique de bundle sur T ^* M ⊗ f ^* TN , et donc on peut définir 1 / 2 | df | ² comme une fonction douce sur M , connue sous le nom de densité d'énergie .

Le faisceau T ^* M ⊗ f ^* TN a également une connexion métrique compatible induite par les connexions Levi-Civita sur M et N . On peut donc prendre la dérivée covariante ∇ ( df ) , qui est une section du fibré vectoriel T ^* M ⊗ T ^* M ⊗ f ^* TN sur M ; Ceci indique que , pour chaque p dans M , on a une carte bilinéaire (∇ ( df )) _p en tant que T _p M × T _p M → T _{f (p)} N . Cette section est connue comme la toile de jute de f .

En utilisant g , on peut tracer le hessien de f pour arriver au champ laplacien ou de tension de f , qui est une section du faisceau f ^* TN sur M ; ceci indique que le laplacien de f attribue à chaque p dans M un élément de T _{f ( p )} N . Il est défini par

${\ displaystyle (\ Delta f) _ {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ big (} \ nabla (df) {\ big)} _ {p} (e_ {i}, e_ {i})}$

où e ₁ , ..., e _m est un g _p base -orthonormal de T _p M .

Exemples de cartes harmoniques

Soit ( M , g ) et ( N , h ) des variétés riemanniennes lisses. La notation g _stan est utilisée pour désigner la métrique riemannienne standard sur l'espace euclidien.

• Toute carte totalement géodésique ( M , g ) → ( N , h ) est harmonique; cela découle directement des définitions ci-dessus. Comme cas particuliers:
  • Pour tout q dans N , l'application constante ( M , g ) → ( N , h ) valorisée en q est harmonique.
  • La carte d'identité ( M , g ) → ( M , g ) est harmonique.
• Si f  : M → N est une immersion , alors f  : ( M , f ^* h ) → ( N , h ) est harmonique si et seulement si f est minimale par rapport à h . Comme cas particulier:
  • Si f  : ℝ → ( N , h ) est une immersion à vitesse constante, alors f  : (ℝ, g _stan ) → ( N , h ) est harmonique si et seulement si f résout l' équation différentielle géodésique .

Rappelons que si M est unidimensionnel, alors la minimalité de f équivaut au fait que f est géodésique, bien que cela n'implique pas qu'il s'agisse d'une paramétrisation à vitesse constante, et donc n'implique pas que f résout l'équation différentielle géodésique.

• Une application lisse f  : ( M , g ) → (ℝ ⁿ , g _stan ) est harmonique si et seulement si chacune de ses n fonctions composantes est harmonique comme les applications ( M , g ) → (ℝ, g _stan ) . Cela coïncide avec la notion d'harmonie fournie par l' opérateur de Laplace-Beltrami .
• Chaque carte holomorphe entre les variétés de Kähler est harmonique.
• Chaque morphisme harmonique entre les variétés riemanniennes est harmonique.

Carte harmonique du flux de chaleur

Soit ( M , g ) et ( N , h ) des variétés riemanniennes lisses. Une carte harmonique de flux de chaleur sur un intervalle ( a , b ) attribue à chaque t dans ( a , b ) une application deux fois différentiable f _t  : M → N de telle sorte que, pour chaque p dans M , la carte ( a , b ) → N donné par t ↦ f _t ( p ) est dérivable, et sa dérivée à une valeur donnée de t est, en tant que vecteur dans T _{f t ( p )} N , égale à (∆ f _t ) _p . Ceci est généralement abrégé en:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = \ Delta f.}$

Eells et Sampson ont introduit la carte harmonique du flux de chaleur et ont prouvé les propriétés fondamentales suivantes:

• Régularité. Tout flux de chaleur de carte harmonique est lisse comme une carte ( a , b ) × M → N donnée par ( t , p ) ↦ f _t ( p ) .

Supposons maintenant que M soit une variété fermée et que ( N , h ) soit géodésiquement complet.

• Existence. Étant donné une application f continuellement différentiable de M à N , il existe un nombre positif T et une carte harmonique de flux de chaleur f _t sur l'intervalle (0, T ) tels que f _t converge vers f dans la topologie C ¹ lorsque t diminue à 0 .
• Unicité. Si { f _t  : 0 < t < T } et { f _t  : 0 < t < T } sont deux flux de chaleur de carte harmonique comme dans le théorème d'existence, alors f _t = f _t chaque fois que 0 < t <min ( T , T ) .

En conséquence du théorème d' unicité, il existe un maximum flux de chaleur carte harmonique avec des données initiales f , ce qui signifie que l' on a un flux de chaleur carte harmonique { f _t  : 0 < t < T } comme dans l'énoncé du théorème d'existence, et il est uniquement défini sous le critère supplémentaire que T prend sa valeur maximale possible, qui pourrait être infinie.

Théorème d'Eells et Sampson

Le principal résultat de l'article de 1964 d'Eells et Sampson est le suivant:

Soit ( M , g ) et ( N , h ) des variétés riemanniennes lisses et fermées, et supposons que la courbure sectionnelle de ( N , h ) est non positive. Alors pour toute application f continuellement différentiable de M à N , le flux thermique maximal de la carte harmonique { f _t  : 0 < t < T } avec les données initiales f a T = ∞ , et lorsque t augmente à ∞ , les applications f _t convergent ultérieurement dans la topologie C ^∞ en une carte harmonique.

En particulier, cela montre que, sous les hypothèses sur ( M , g ) et ( N , h ) , toute application continue est homotope à une application harmonique. L'existence même d'une carte harmonique dans chaque classe d'homotopie, qui est implicitement affirmée, fait partie du résultat. En 1967, Philip Hartman a étendu ses méthodes pour étudier l'unicité des cartes harmoniques au sein des classes d'homotopie, montrant en outre que la convergence dans le théorème d'Eells-Sampson est forte, sans qu'il soit nécessaire de sélectionner une sous-séquence. Le résultat d'Eells et Sampson a été adapté à la définition du problème de la valeur aux limites de Dirichlet , lorsque M est plutôt compact avec une frontière non vide, par Richard Hamilton en 1975.

Pendant de nombreuses années après les travaux d'Eells et Sampson, on ne savait pas dans quelle mesure l'hypothèse de courbure sectionnelle sur ( N , h ) était nécessaire. À la suite des travaux de Kung-Ching Chang, Wei-Yue Ding et Rugang Ye en 1992, il est largement admis que le temps maximal d'existence d'un flux de chaleur de carte harmonique ne peut "généralement" être supposé être infini. Leurs résultats suggèrent fortement qu'il existe des flux de chaleur de carte harmonique avec "explosion en temps fini" même lorsque ( M , g ) et ( N , h ) sont considérés comme la sphère bidimensionnelle avec sa métrique standard. Puisque les équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques sont particulièrement lisses lorsque le domaine est à deux dimensions, le résultat de Chang-Ding-Ye est considéré comme étant indicatif du caractère général de l'écoulement.

La formule Bochner et la rigidité

Le principal point de calcul dans la démonstration du théorème d'Eells et Sampson est une adaptation de la formule de Bochner au réglage d'un flux thermique de carte harmonique { f _t  : 0 < t < T } . Cette formule dit

${\ displaystyle {\ Big (} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - \ Delta ^ {g} {\ Big)} e (f) = - {\ big |} \ nabla (df) { \ big |} ^ {2} - {\ big \ langle} \ operatorname {Ric} ^ {g}, f ^ {\ ast} h {\ big \ rangle} _ {g} + \ operatorname {scal} ^ { g} {\ big (} f ^ {\ ast} \ operatorname {Rm} ^ {h} {\ big)}.}$

Ceci est également intéressant pour l'analyse des cartes harmoniques elles-mêmes; supposons que f  : M → N est harmonique. Toute carte harmonique peut être considérée comme une constante in- t solution du flux de chaleur carte harmonique, et donc on obtient de la formule ci - dessus que

${\ displaystyle \ Delta ^ {g} e (f) = {\ big |} \ nabla (df) {\ big |} ^ {2} + {\ big \ langle} \ operatorname {Ric} ^ {g}, f ^ {\ ast} h {\ big \ rangle} _ {g} - \ operatorname {scal} ^ {g} {\ big (} f ^ {\ ast} \ operatorname {Rm} ^ {h} {\ big )}.}$

Si la courbure de Ricci de g est positive et la courbure sectionnelle de h est non positive, alors cela implique que ∆ e ( f ) est non négatif. Si M est fermé, alors la multiplication par e ( f ) et une seule intégration par parties montre que e ( f ) doit être constant, donc nul; donc f doit lui-même être constant. Richard Schoen et Shing-Tung Yau (1976) notent que cela peut être étendu à M non compact en utilisant le théorème de Yau affirmant que les fonctions sous-harmoniques non négatives qui sont liées à L ² doivent être constantes. En résumé, selon Eells & Sampson (1964) et Schoen & Yau (1976), on a:

Laissez ( M , g ) et ( N , h ) être lisse et complète riemannienne, et que f soit une carte harmonique de M à N . Supposons que la courbure de Ricci de g soit positive et que la courbure de section de h soit non positive.

• Si M et N sont tous deux fermés, alors f doit être constant.
• Si N est fermé et f a une énergie de Dirichlet finie, alors elle doit être constante.

En combinaison avec le théorème d'Eells-Sampson, cela montre (par exemple) que si ( M , g ) est une variété riemannienne fermée avec une courbure de Ricci positive et ( N , h ) est une variété riemannienne fermée avec une courbure sectionnelle non positive, alors chaque la carte de M à N est homotope à une constante.

L'idée générale de déformer une carte générale en une carte harmonique, puis de montrer qu'une telle carte harmonique doit automatiquement être d'une classe très restreinte, a trouvé de nombreuses applications. Par exemple, Yum-Tong Siu (1980) a trouvé une version analytique complexe importante de la formule de Bochner, affirmant qu'une carte harmonique entre les variétés de Kähler doit être holomorphe, à condition que la variété cible ait une courbure négative appropriée. En tant qu'application, en utilisant le théorème d'existence d'Eells-Sampson pour les applications harmoniques, il a pu montrer que si ( M , g ) et ( N , h ) sont des variétés de Kähler lisses et fermées, et si la courbure de ( N , h ) est convenablement négative, alors M et N doivent être biholomorphes ou anti-biholomorphes s'ils sont homotopes l'un par rapport à l'autre; le biholomorphisme (ou anti-biholomorphisme) est précisément la carte harmonique produite comme la limite du flux thermique de la carte harmonique avec les données initiales données par l'homotopie. Par une formulation alternative de la même approche, Siu a pu prouver une variante de la conjecture de Hodge encore non résolue , bien que dans le contexte restreint de courbure négative.

Kevin Corlette (1992) a donné une extension significative de la formule de Bochner de Siu et l'a utilisée pour prouver de nouveaux théorèmes de rigidité pour les réseaux dans certains groupes de Lie . Suite à cela, Mikhael Gromov et Richard Schoen ont étendu une grande partie de la théorie des cartes harmoniques pour permettre à ( N , h ) d'être remplacé par un espace métrique . Par une extension du théorème d'Eells-Sampson avec une extension de la formule de Siu – Corlette Bochner, ils ont pu prouver de nouveaux théorèmes de rigidité pour les réseaux.

Problèmes et applications

• Les résultats d'existence sur les cartes harmoniques entre les variétés ont des conséquences sur leur courbure .
• Une fois l'existence connue, comment une carte harmonique peut-elle être construite explicitement? (Une méthode fructueuse utilise la théorie des twisteurs .)
• En physique théorique , une théorie quantique des champs dont l' action est donnée par l' énergie de Dirichlet est connue sous le nom de modèle sigma . Dans une telle théorie, les cartes harmoniques correspondent à des instantons .
• L'une des idées originales des méthodes de génération de grille pour la dynamique des fluides computationnelle et la physique computationnelle était d'utiliser une cartographie conforme ou harmonique pour générer des grilles régulières.

Cartes harmoniques entre les espaces métriques

L'intégrale d'énergie peut être formulée dans un cadre plus faible pour les fonctions u  : M → N entre deux espaces métriques ( Jost 1995 ) . L'intégrant d'énergie est plutôt fonction de la forme erreur harv: pas de cible: CITEREFJost1995 ( aide )

${\ Displaystyle e _ {\ epsilon} (u) (x) = {\ frac {\ int _ {M} d ^ {2} (u (x), u (y)) \, d \ mu _ {x} ^ {\ epsilon} (y)} {\ int _ {M} d ^ {2} (x, y) \, d \ mu _ {x} ^ {\ epsilon} (y)}}}$

dans lequel μ ^ε
_x est une famille de mesures attachées à chaque point de M .

Les références

Livres et sondages

Liens externes

• MathWorld: carte harmonique
• Bibliographie des cartes harmoniques
• La bibliographie des morphismes harmoniques