Modèle Drude - Drude model

Les électrons du modèle Drude (représentés ici en bleu) rebondissent constamment entre des ions cristallins plus lourds et stationnaires (représentés en rouge).

Le modèle Drude de conduction électrique a été proposé en 1900 par Paul Drude pour expliquer les propriétés de transport des électrons dans les matériaux (en particulier les métaux). Fondamentalement, la loi d'Ohm était bien établie et indiquait que le courant J et la tension V entraînant le courant sont liés à la résistance R du matériau. L'inverse de la résistance est connu sous le nom de conductance. Lorsque nous considérons un métal de longueur unitaire et de section transversale unitaire, la conductance est appelée conductivité, qui est l'inverse de la résistivité. Le modèle de Drude tente d'expliquer la résistivité d'un conducteur en termes de diffusion des électrons (les porteurs d'électricité) par les ions relativement immobiles dans le métal qui agissent comme des obstacles au flux d'électrons.

Le modèle, qui est une application de la théorie cinétique , suppose que le comportement microscopique des électrons dans un solide peut être traité de manière classique et se comporte un peu comme un flipper , avec une mer d'électrons constamment agités rebondissant et rebondissant sur des électrons plus lourds, relativement immobiles. ions positifs.

Les deux résultats les plus significatifs du modèle de Drude sont une équation électronique du mouvement,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t) \rangle \times \mathbf {B} }{m}}\right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$

et une relation linéaire entre la densité de courant J et le champ électrique E ,

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$

Ici , t est le temps, ⟨ p ⟩ est l'impulsion moyenne par électron et q, n, m , et τ sont respectivement la charge de l' électron, la densité du nombre, la masse et moyenne du temps libre entre les collisions ioniques. Cette dernière expression est particulièrement importante car elle explique en termes semi-quantitatifs pourquoi la loi d'Ohm , l'une des relations les plus omniprésentes dans tout l'électromagnétisme, devrait être vérifiée.

Le modèle a été étendu en 1905 par Hendrik Antoon Lorentz (et est donc également connu sous le nom de modèle Drude-Lorentz ) pour donner la relation entre la conductivité thermique et la conductivité électrique des métaux (voir nombre de Lorenz ), et est un modèle classique . Plus tard, il a été complété par les résultats de la théorie quantique en 1933 par Arnold Sommerfeld et Hans Bethe , conduisant au modèle Drude-Sommerfeld .

Histoire

Le physicien allemand Paul Drude a proposé son modèle en 1900 alors qu'il n'était pas clair si les atomes existaient, et il n'était pas clair ce qu'étaient les atomes à l'échelle microscopique. La première preuve directe d'atomes par le calcul du nombre d'Avogadro à partir d'un modèle microscopique est due à Albert Einstein , le premier modèle moderne de structure atomique date de 1904 et le modèle de Rutherford de 1909. Drude part de la découverte des électrons en 1897 par JJ Thomson et suppose, en tant que modèle simpliste des solides, que la majeure partie du solide est composée de centres de diffusion chargés positivement, et qu'une mer d'électrons submerge ces centres de diffusion pour rendre le solide total neutre du point de vue de la charge.

En termes modernes, cela se reflète dans le modèle des électrons de valence où la mer d'électrons est composée uniquement des électrons de valence, et non de l'ensemble complet des électrons disponibles dans le solide, et les centres de diffusion sont les couches internes des électrons étroitement liés au noyau. Les centres de diffusion avaient une charge positive équivalente au nombre de valence des atomes. Cette similitude ajoutée à quelques erreurs de calcul dans l'article de Drude, a fini par fournir une théorie qualitative raisonnable des solides capable de faire de bonnes prédictions dans certains cas et de donner des résultats complètement faux dans d'autres. Chaque fois que les gens ont essayé de donner plus de substance et de détails à la nature des centres de diffusion, aux mécanismes de la diffusion et à la signification de la durée de la diffusion, toutes ces tentatives se sont soldées par des échecs.

Les longueurs de diffusion calculées dans le modèle de Drude sont de l'ordre de 10 à 100 distances inter-atomiques, et elles n'ont pas pu recevoir d'explications microscopiques appropriées. En termes modernes, il existe des expériences dans lesquelles des électrons peuvent voyager sur des mètres dans un solide de la même manière qu'ils voyageraient dans l'espace libre, et cela montre comment un modèle purement classique ne peut pas fonctionner.

La diffusion Drude n'est pas une diffusion électron-électron qui n'est qu'un phénomène secondaire dans la théorie moderne, ni la diffusion nucléaire étant donné que les électrons ne peuvent être tout au plus absorbés par les noyaux. Le modèle reste un peu muet sur les mécanismes microscopiques, en termes modernes c'est ce qu'on appelle désormais le « mécanisme de diffusion primaire » où le phénomène sous-jacent peut être différent cas par cas.

Le modèle donne de meilleures prédictions pour les métaux, en particulier en ce qui concerne la conductivité, et est parfois appelé théorie de Drude des métaux. En effet, les métaux ont essentiellement une meilleure approximation du modèle des électrons libres , c'est-à-dire que les métaux n'ont pas de structures de bandes complexes , les électrons se comportent essentiellement comme des particules libres et où, dans le cas des métaux, le nombre effectif d'électrons délocalisés est essentiellement le identique au nombre de valence.

La même théorie de Drude, malgré des incohérences qui déconcertèrent la plupart des physiciens de l'époque, fut la principale acceptée pour expliquer les solides jusqu'à l'introduction en 1927 du modèle Drude-Sommerfeld .

Quelques conseils supplémentaires sur les ingrédients corrects d'une théorie moderne des solides ont été donnés par ce qui suit :

• Le modèle solide d'Einstein et le modèle de Debye , suggérant que le comportement quantique d'échange d'énergie en unités intégrales ou quanta était un élément essentiel de la théorie complète, en particulier en ce qui concerne les chaleurs spécifiques , où la théorie de Drude a échoué.
• Dans certains cas, notamment dans l'effet Hall, la théorie faisait des prédictions correctes si au lieu d'utiliser une charge négative pour les électrons, une charge positive était utilisée. Ceci est maintenant interprété comme des trous (c'est-à-dire des quasi-particules qui se comportent comme des porteurs de charge positifs) mais à l'époque de Drude, il était assez obscur pourquoi c'était le cas.

Drude a utilisé les statistiques de Maxwell-Boltzmann pour le gaz d'électrons et pour dériver le modèle, qui était le seul disponible à l'époque. En remplaçant les statistiques par les statistiques correctes de Fermi Dirac , Sommerfeld a considérablement amélioré les prédictions du modèle, bien qu'ayant toujours une théorie semi-classique qui ne pouvait pas prédire tous les résultats de la théorie quantique moderne des solides.

De nos jours, les modèles Drude et Sommerfeld sont encore importants pour comprendre le comportement qualitatif des solides et pour obtenir une première compréhension qualitative d'un dispositif expérimental spécifique. Il s'agit d'une méthode générique en physique du solide , où il est typique d'augmenter progressivement la complexité des modèles pour donner des prédictions de plus en plus précises. Il est moins courant d'utiliser une théorie quantique des champs à part entière à partir des premiers principes, étant donné les complexités dues au grand nombre de particules et d'interactions et la faible valeur ajoutée des mathématiques supplémentaires impliquées (compte tenu du gain incrémentiel de précision numérique des prédictions ).

Hypothèses

Drude a utilisé la théorie cinétique des gaz appliquée au gaz d'électrons se déplaçant sur un fond fixe d'« ions » ; cela contraste avec la manière habituelle d'appliquer la théorie des gaz en tant que gaz neutre dilué sans arrière-plan. La densité numérique du gaz d'électrons a été supposée être

${\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},}$

où Z est le nombre effectif d'électrons délocalisés par ion, pour lequel Drude a utilisé le nombre de valence, A est le nombre de masse atomique , est la quantité de concentration de substance des "ions", et N _A est la constante d'Avogadro . Considérant le volume moyen disponible par électron en tant que sphère : ${\displaystyle \rho _{\text{m}}}$

${\displaystyle {\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}. }$

La quantité est un paramètre qui décrit la densité électronique et est souvent de l'ordre de 2 ou 3 fois le rayon de Bohr , pour les métaux alcalins elle varie de 3 à 6 et certains composés métalliques elle peut aller jusqu'à 10. Les densités sont de l'ordre de l'ordre de 100 fois d'un gaz classique typique. ${\displaystyle r_{\text{s}}}$

Les hypothèses de base formulées dans le modèle Drude sont les suivantes :

• Drude a appliqué la théorie cinétique d'un gaz dilué, malgré les densités élevées, ignorant ainsi les interactions électron-électron et électron-ion en dehors des collisions.
• Le modèle de Drude considère que le métal est formé d'une collection d'ions chargés positivement à partir desquels un certain nombre d'"électrons libres" se sont détachés. Ceux-ci peuvent être considérés comme les électrons de valence des atomes qui se sont délocalisés en raison du champ électrique des autres atomes.
• Le modèle de Drude néglige l'interaction à longue distance entre l'électron et les ions ou entre les électrons ; c'est ce qu'on appelle l'approximation électronique indépendante.
• Les électrons se déplacent en ligne droite entre une collision et une autre ; c'est ce qu'on appelle l'approximation des électrons libres.
• La seule interaction d'un électron libre avec son environnement a été traitée comme étant des collisions avec le noyau d'ions impénétrable.
• Le temps moyen entre les collisions ultérieures d'un tel électron est de τ , avec une distribution de Poisson sans mémoire . La nature du partenaire de collision de l'électron n'a pas d'importance pour les calculs et les conclusions du modèle de Drude.
• Après un événement de collision, la distribution de la vitesse et de la direction d'un électron est déterminée uniquement par la température locale et est indépendante de la vitesse de l'électron avant l'événement de collision. L'électron est considéré comme étant immédiatement à l'équilibre avec la température locale après une collision.

La suppression ou l'amélioration de chacune de ces hypothèses donne des modèles plus raffinés, qui peuvent décrire plus précisément différents solides :

• L'amélioration de l'hypothèse des statistiques de Maxwell-Boltzmann avec les statistiques de Fermi-Dirac conduit au modèle Drude-Sommerfeld .
• L'amélioration de l'hypothèse des statistiques de Maxwell-Boltzmann avec les statistiques de Bose-Einstein conduit à des considérations sur la chaleur spécifique des atomes de spin entier et sur le condensat de Bose-Einstein .
• Un électron de bande de valence dans un semi-conducteur est toujours essentiellement un électron libre dans une gamme d'énergie délimitée (c'est-à-dire que seule une collision à haute énergie "rare" qui implique un changement de bande se comporterait différemment); l'approximation électronique indépendante est essentiellement toujours valable (c'est-à-dire pas de diffusion électron-électron), où au lieu de cela l'hypothèse sur la localisation des événements de diffusion est abandonnée (en termes simples, l'électron est et se disperse partout).

Traitement mathématique

Champ CC

L'analyse la plus simple du modèle de Drude suppose que le champ électrique E est à la fois uniforme et constant, et que la vitesse thermique des électrons est suffisamment élevée pour qu'ils n'accumulent qu'une quantité infinitésimale de quantité de mouvement d p entre les collisions, qui se produisent en moyenne toutes les τ secondes .

Alors un électron isolé à l'instant t aura en moyenne voyagé pendant le temps τ depuis sa dernière collision, et par conséquent aura accumulé de la quantité de mouvement

${\displaystyle \Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$

Au cours de sa dernière collision, cet électron aura été tout aussi susceptible d'avoir rebondi vers l'avant que vers l'arrière, de sorte que toutes les contributions antérieures à la quantité de mouvement de l'électron peuvent être ignorées, ce qui donne l'expression

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$

Substituer les relations

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

aboutit à la formulation de la loi d'Ohm mentionnée ci-dessus :

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$

Analyse variant dans le temps

Réponse Drude de la densité de courant à un champ électrique alternatif.

La dynamique peut également être décrite en introduisant une force de traînée efficace. Au temps t = t ₀ + dt la quantité de mouvement de l'électron sera :

${\displaystyle \mathbf {p} (t_{0}+dt)=(1-{\frac {dt}{\tau }})[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})]+{\frac {dt}{\tau }}(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O (dt^{2}))}$

où peut être interprété comme une force générique (par exemple la force de Lorentz ) sur le porteur ou plus précisément sur l'électron. est la quantité de mouvement du porteur avec une direction aléatoire après la collision (c'est-à-dire avec une quantité de mouvement ) et avec une énergie cinétique absolue ${\displaystyle \mathbf {f} (t)}$${\displaystyle \mathbf {g} (t_{0})}$${\displaystyle \langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0}$

${\displaystyle {\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT}$.

En moyenne, une fraction des électrons n'aura pas connu une autre collision, l'autre fraction qui a eu la collision en moyenne sortira dans une direction aléatoire et ne contribuera à la quantité de mouvement totale qu'à un facteur de second ordre. ${\displaystyle 1-{\frac {dt}{\tau }}}$${\displaystyle {\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt}$

Avec un peu d'algèbre et l'abandon des termes d'ordre , cela donne l'équation différentielle générique ${\displaystyle dt^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}$

Le deuxième terme est en fait une force de traînée supplémentaire ou un terme d'amortissement dû aux effets Drude.

Champ électrique constant

Au temps t = t ₀ + dt, la quantité de mouvement moyenne de l'électron sera

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),}$

puis

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle } {\tau }},}$

où ⟨ p ⟩ désigne la quantité de mouvement moyenne et q la charge des électrons. Ceci, qui est une équation différentielle inhomogène, peut être résolu pour obtenir la solution générale de

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p(0)} \rangle e^{-t/\tau }}$

pour p ( t ) . La solution en régime permanent , d ⟨ p ⟩/dt= 0 , est alors

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .}$

Comme ci-dessus, la quantité de mouvement moyenne peut être liée à la vitesse moyenne et celle-ci à son tour peut être liée à la densité de courant,

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

et le matériau peut être montré pour satisfaire la loi d'Ohm avec une conductivité DC σ ₀ : ${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E} }$

${\displaystyle \sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}}$

Champ CA

Conductivité complexe pour différentes fréquences en supposant que τ = 10 ^-5 et que σ ₀ = 1 .

Le modèle de Drude peut également prédire le courant en réponse à un champ électrique en fonction du temps avec une fréquence angulaire ω . La conductivité complexe est

${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{ 2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.}$

Ici, on suppose que :

${\displaystyle E(t)=\Re \left(E_{0}e^{i\omega t}\right);}$

${\displaystyle J(t)=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t}\right).}$

En ingénierie, i est généralement remplacé par −i (ou −j ) dans toutes les équations, ce qui reflète la différence de phase par rapport à l'origine, plutôt que le retard au point d'observation se déplaçant dans le temps.

La partie imaginaire indique que le courant est en retard par rapport au champ électrique. Cela se produit parce que les électrons ont besoin d' environ un temps τ pour accélérer en réponse à un changement dans le champ électrique. Ici, le modèle de Drude est appliqué aux électrons ; il peut être appliqué aussi bien aux électrons qu'aux trous ; c'est-à-dire les porteurs de charge positifs dans les semi-conducteurs. Les courbes pour σ ( ω ) sont présentées dans le graphique.

Si un champ électrique variant de manière sinusoïdale avec une fréquence est appliqué au solide, les électrons chargés négativement se comportent comme un plasma qui tend à se déplacer à une distance x du fond chargé positivement. En conséquence, l'échantillon est polarisé et il y aura un excès de charge sur les surfaces opposées de l'échantillon. ${\displaystyle \omega }$

La constante diélectrique de l'échantillon est exprimée par

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}}$

où est le déplacement électrique et est la densité de polarisation . ${\style d'affichage D}$${\style d'affichage P}$

La densité de polarisation s'écrit

${\displaystyle P(t)=\Re \left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}$

et la densité de polarisation avec n densité électronique est

${\displaystyle P=-nex}$

Après un peu d'algèbre, la relation entre la densité de polarisation et le champ électrique peut être exprimée sous la forme

${\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E}$

La fonction diélectrique dépendante de la fréquence du solide est

${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}}$

À une fréquence de résonance , appelée fréquence plasma , la fonction diélectrique change de signe du négatif au positif et la partie réelle de la fonction diélectrique tombe à zéro. ${\displaystyle \omega _{\rm {p}}}$

${\displaystyle \omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}}$

La fréquence plasma représente une résonance d' oscillation plasma ou plasmon . La fréquence du plasma peut être utilisée comme mesure directe de la racine carrée de la densité d'électrons de valence dans un solide. Les valeurs observées sont en accord raisonnable avec cette prédiction théorique pour un grand nombre de matériaux. En dessous de la fréquence plasma, la fonction diélectrique est négative et le champ ne peut pas pénétrer dans l'échantillon. La lumière dont la fréquence angulaire est inférieure à la fréquence du plasma sera totalement réfléchie. Au-dessus de la fréquence du plasma, les ondes lumineuses peuvent pénétrer dans l'échantillon, un exemple typique sont les métaux alcalins qui deviennent transparents dans la plage du rayonnement ultraviolet .

Conductivité thermique des métaux

Un grand succès du modèle Drude est l'explication de la loi de Wiedemann-Franz . Cela était dû à une annulation fortuite d'erreurs dans le calcul initial de Drude. Drude a prédit la valeur du nombre de Lorenz :

${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right) ^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}}$

Les valeurs expérimentales sont généralement de l'ordre de pour les métaux à des températures comprises entre 0 et 100 degrés Celsius. ${\displaystyle 2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}}$

Thermopuissance

Un gradient de température générique lorsqu'il est allumé dans une barre mince déclenchera un courant d'électrons vers le côté de la température la plus basse, étant donné que les expériences sont effectuées en circuit ouvert, ce courant s'accumulera de ce côté générant un champ électrique contre le courant électrique. Ce champ est appelé champ thermoélectrique :

${\displaystyle \mathbf {E} =Q\nabla T}$

et Q est appelé thermopuissance. Les estimations de Drude sont d'un facteur 100 faible compte tenu de la dépendance directe avec la chaleur spécifique.

${\displaystyle Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\ texte{V}}/{\text{K}}}$

où les thermopuissances typiques à température ambiante sont 100 fois plus petites de l'ordre du micro-volt.

Réponse brutale dans des matériaux réels

Le comportement caractéristique d'un métal Drude dans le domaine du temps ou de la fréquence, à savoir relaxation exponentielle avec une constante de temps τ ou la dépendance de fréquence pour σ ( ω ) indiqué ci - dessus, est appelée réponse Drude. Dans un métal classique, simple, réel (par exemple le sodium, l' argent, ou d' or à température ambiante) tel comportement ne se trouve expérimentalement, car la fréquence caractéristique τ ^-1 est dans la gamme de fréquences infrarouges, où d' autres caractéristiques qui ne sont pas considérés dans la Le modèle Drude (comme la structure de bande ) joue un rôle important. Mais pour certains autres matériaux ayant des propriétés métalliques, la conductivité dépendant de la fréquence a été constaté que suit de près simple prédiction Drude pour σ ( ω ) . Ce sont des matériaux où le taux de relaxation de τ ^-1 est à des fréquences beaucoup plus basses. C'est le cas de certains monocristaux semi-conducteurs dopés , des gaz d'électrons bidimensionnels à haute mobilité et des métaux à fermions lourds .

Précision du modèle

Historiquement, la formule de Drude a d'abord été dérivée de manière limitée, à savoir en supposant que les porteurs de charge forment un gaz parfait classique . Arnold Sommerfeld a considéré la théorie quantique et a étendu la théorie au modèle des électrons libres , où les porteurs suivent la distribution de Fermi-Dirac . La conductivité prédite est la même que dans le modèle de Drude car elle ne dépend pas de la forme de la distribution électronique de la vitesse.

Le modèle de Drude fournit une très bonne explication de la conductivité DC et AC dans les métaux, de l' effet Hall et de la magnétorésistance des métaux près de la température ambiante. Le modèle explique aussi en partie la loi de Wiedemann-Franz de 1853. Cependant, il surestime grandement les capacités thermiques électroniques des métaux. En réalité, les métaux et les isolants ont à peu près la même capacité calorifique à température ambiante.

Le modèle peut également être appliqué aux porteurs de charge positifs (trous).

Dans son article original, Drude a fait une erreur, estimant le nombre de Lorenz de la loi de Wiedemann-Franz à deux fois ce qu'il aurait dû être classiquement, le faisant ainsi sembler en accord avec la valeur expérimentale de la chaleur spécifique. Ce nombre est environ 100 fois plus petit que la prédiction classique mais ce facteur s'annule avec la vitesse électronique moyenne qui est environ 100 fois plus grande que le calcul de Drude.

Voir également

• Modèle d'électrons libres
• Arnold Sommerfeld
• Conductivité électrique

Citations

Les références

Général

• Ashcroft, Neil ; Mermin, N. David (1976). Physique du Solide . New York : Holt, Rinehart et Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.

Liens externes

• Heaney, Michael B (2003). " Conductivité et résistivité électriques " . Dans Webster, John G. (éd.). Mesure électrique, traitement du signal et affichages . Presse CRC. ISBN 978020309406.