Distribution elliptique - Elliptical distribution

En probabilité et en statistiques , une distribution elliptique est tout membre d'une large famille de distributions de probabilité qui généralisent la distribution normale multivariée . Intuitivement, dans le cas simplifié à deux et trois dimensions, la distribution conjointe forme une ellipse et un ellipsoïde, respectivement, dans les tracés d'iso-densité.

En statistique , la distribution normale est utilisée en analyse multivariée classique , tandis que les distributions elliptiques sont utilisées en analyse multivariée généralisée , pour l'étude de distributions symétriques avec des queues lourdes , comme la distribution t multivariée , ou légère (par rapport à la distribution normale). Distribution). Certaines méthodes statistiques initialement motivées par l'étude de la distribution normale ont de bonnes performances pour les distributions elliptiques générales (à variance finie), en particulier pour les distributions sphériques (qui sont définies ci-dessous). Les distributions elliptiques sont également utilisées dans les statistiques robustes évaluer les procédures statistiques multivariées proposées.

Définition

Les distributions elliptiques sont définies en fonction de la fonction caractéristique de la théorie des probabilités. Un vecteur aléatoire sur un espace euclidien a une distribution elliptique si sa fonction caractéristique satisfait l' équation fonctionnelle suivante (pour chaque colonne-vecteur ) ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \phi }$${\style d'affichage t}$

${\displaystyle \phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)}$

pour certains paramètres d'emplacement , une matrice définie non négative et une fonction scalaire . La définition des distributions elliptiques pour les vecteurs aléatoires réels a été étendue pour s'adapter aux vecteurs aléatoires dans les espaces euclidiens sur le domaine des nombres complexes , facilitant ainsi les applications dans l' analyse de séries chronologiques . Des méthodes de calcul sont disponibles pour générer des vecteurs pseudo-aléatoires à partir de distributions elliptiques, à utiliser dans des simulations de Monte Carlo par exemple. ${\style d'affichage \mu }$ ${\style d'affichage \Sigma }$${\style d'affichage \psi }$

Certaines distributions elliptiques sont définies alternativement en fonction de leurs fonctions de densité . Une distribution elliptique avec une fonction de densité f a la forme :

${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}$

où est la constante de normalisation , est un vecteur aléatoire de dimension avec vecteur médian (qui est aussi le vecteur moyen si ce dernier existe), et est une matrice définie positive qui est proportionnelle à la matrice de covariance si celle-ci existe. ${\style d'affichage k}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \Sigma }$

Exemples

Les exemples incluent les distributions de probabilité multivariées suivantes :

• Distribution normale multivariée
• Distribution t multivariée
• Distribution stable multivariée symétrique
• Distribution de Laplace multivariée symétrique
• Distribution logistique multivariée
• Distribution hyperbolique générale symétrique multivariée

Propriétés

Dans le cas bidimensionnel, si la densité existe, chaque lieu d'iso-densité (l'ensemble des paires x ₁ , x ₂ donnant toutes une valeur particulière de ) est une ellipse ou une union d'ellipses (d'où le nom de distribution elliptique). Plus généralement, pour n arbitraire , les lieux d'iso-densité sont des unions d' ellipsoïdes . Tous ces ellipsoïdes ou ellipses ont le centre commun et sont des copies à l'échelle (homothètes) les unes des autres. ${\style d'affichage f(x)}$

La distribution normale multivariée est le cas particulier dans lequel . Alors que la normale multivariée est non bornée (chaque élément de peut prendre des valeurs positives ou négatives arbitrairement grandes avec une probabilité non nulle, car pour tous les non-négatifs ), en général les distributions elliptiques peuvent être bornées ou non — une telle distribution est bornée si pour tous supérieurs à une certaine valeur. ${\style d'affichage g(z)=e^{-z/2}}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle e^{-z/2}>0}$${\style d'affichage z}$${\style d'affichage g(z)=0}$${\style d'affichage z}$

Il existe des distributions elliptiques qui ont une moyenne indéfinie , comme la distribution de Cauchy (même dans le cas univarié). Parce que la variable x entre quadratiquement dans la fonction de densité, toutes les distributions elliptiques sont symétriques par rapport à${\displaystyle \mu .}$

Si deux sous-ensembles d'un vecteur aléatoire conjointement elliptique ne sont pas corrélés , alors si leurs moyennes existent, ils sont indépendants les uns des autres (la moyenne de chaque sous-vecteur conditionnelle à la valeur de l'autre sous-vecteur est égale à la moyenne inconditionnelle).

Si le vecteur aléatoire X est distribué de manière elliptique, alors DX l' est aussi pour toute matrice D avec un rang de ligne complet . Ainsi, toute combinaison linéaire des composants de X est elliptique (mais pas nécessairement avec la même distribution elliptique), et tout sous-ensemble de X est elliptique.

Applications

Les distributions elliptiques sont utilisées en statistique et en économie.

En économie mathématique, les distributions elliptiques ont été utilisées pour décrire les portefeuilles en finance mathématique .

Statistiques : analyse multivariée généralisée

Dans les statistiques, la multivariée normale de distribution (de Gauss) est utilisé dans classique analyse multivariée , dans lequel la plupart des méthodes d'estimation et les tests d'hypothèses sont motivés pour la distribution normale. Contrairement à l'analyse multivariée classique, l'analyse multivariée généralisée fait référence à la recherche sur les distributions elliptiques sans restriction de normalité.

Pour des distributions elliptiques appropriées, certaines méthodes classiques continuent d'avoir de bonnes propriétés. Sous des hypothèses de variance finie, une extension du théorème de Cochran (sur la distribution des formes quadratiques) tient.

Répartition sphérique

Une distribution elliptique avec une moyenne nulle et une variance sous la forme où est la matrice d'identité est appelée une distribution sphérique . Pour les distributions sphériques, les résultats classiques sur l'estimation des paramètres et les tests d'hypothèse ont été étendus. Des résultats similaires sont valables pour les modèles linéaires , et même pour les modèles compliqués (en particulier pour le modèle de courbe de croissance ). L'analyse des modèles multivariés utilise l' algèbre multilinéaire (en particulier les produits de Kronecker et la vectorisation ) et le calcul matriciel . ${\style d'affichage \alpha I}$${\style d'affichage I}$

Statistiques robustes : Asymptotique

Une autre utilisation des distributions elliptiques est dans les statistiques robustes , dans lesquelles les chercheurs examinent les performances des procédures statistiques sur la classe des distributions elliptiques, pour mieux comprendre les performances des procédures sur des problèmes encore plus généraux, par exemple en utilisant la théorie limite des statistiques (" asymptotique").

Économie et finance

Les distributions elliptiques sont importantes dans la théorie des portefeuilles car, si les rendements de tous les actifs disponibles pour la formation de portefeuilles sont conjointement distribués de manière elliptique, alors tous les portefeuilles peuvent être caractérisés complètement par leur emplacement et leur échelle - c'est-à-dire deux portefeuilles avec un emplacement et une échelle de portefeuille identiques rendement ont des distributions identiques du rendement du portefeuille. Diverses caractéristiques de l'analyse de portefeuille, y compris les théorèmes de séparation des fonds communs de placement et le modèle d'évaluation des immobilisations , sont valables pour toutes les distributions elliptiques.

Remarques

Les références

Lectures complémentaires