Sous-collecteur - Submanifold

Ligne droite de collecteur immergé avec auto-intersections

En mathématiques , une sous - variété d'une variété M est un sous - ensemble S qui a lui-même la structure d'une variété, et pour lequel l'application d' inclusion S → M satisfait certaines propriétés. Il existe différents types de sous-variétés en fonction des propriétés exactes requises. Différents auteurs ont souvent des définitions différentes.

Définition formelle

Dans ce qui suit nous supposons que toutes les variétés sont des variétés différentiables de classe C ^r pour un r fixe 1 , et tous les morphismes sont dérivables de classe C ^r .

Sous-variétés immergées

Cette image de l'intervalle ouvert (avec les points limites identifiés par les extrémités marquées par des flèches) est une sous-variété immergée.

Un sous - variété immergée d'un collecteur M est l'image S d'une immersion carte f  : N → M ; en général, cette image ne sera pas une sous-variété en tant que sous-ensemble, et une carte d'immersion n'a même pas besoin d'être injective (un à un) - elle peut avoir des auto-intersections.

Plus précisément, on peut exiger que l'application f  : N → M soit une injection (un-à-un), dans laquelle nous l'appelons une immersion injective , et définissons une sous-variété immergée comme étant le sous-ensemble d'images S avec une topologie et structure différentielle telle que S est une variété et l'inclusion f est un difféomorphisme : c'est juste la topologie sur N, qui en général ne concordera pas avec la topologie du sous-ensemble : en général le sous-ensemble S n'est pas un sous-variété de M, dans le sous-ensemble topologie.

Etant donné toute immersion injective f  : N → M l' image de N dans M peut être uniquement donnée la structure d' une sous - variété immergée de sorte que f  : N → f ( N ) est un difféomorphisme . Il s'ensuit que les sous-variétés immergées sont précisément les images des immersions injectives.

La topologie de sous-variété sur une sous-variété immergée n'a pas besoin d'être la topologie relative héritée de M . En général, il sera plus fin que la topologie du sous-espace (c'est-à-dire qu'il aura plus d' ensembles ouverts ).

Les sous-variétés immergées apparaissent dans la théorie des groupes de Lie où les sous- groupes de Lie sont des sous -variétés naturellement immergées. Ils apparaissent également dans l'étude des feuilletages où les sous-variétés immergées fournissent le bon contexte pour prouver le théorème de Frobenius .

Sous-variétés intégrées

Une sous-variété imbriquée (également appelée sous-variété régulière ) est une sous-variété immergée dont la carte d'inclusion est un plongement topologique . C'est-à-dire que la topologie de sous-variété sur S est la même que la topologie de sous-espace.

Etant donné tout plongement f  : N → M d'une variété N dans M l'image f ( N ) a naturellement la structure d'une sous-variété plongeante. C'est-à-dire que les sous-variétés incorporées sont précisément les images des incorporations.

Il existe une définition intrinsèque d'une sous-variété intégrée qui est souvent utile. Soit M une variété à n dimensions, et soit k un entier tel que 0 k ≤ n . Une sous-variété plongée à k dimensions de M est un sous-ensemble S ⊂ M tel que pour tout point p ∈ S il existe un graphe ( U ⊂ M , φ  : U → R ⁿ ) contenant p tel que φ ( S ∩ U ) est le intersection d'une k de dimension plane avec φ ( U ). Les paires ( S ∩ U , & phiv | _{S ∩ U} ) forment un atlas de la structure différentielle sur S .

Le théorème d'Alexandre et le théorème de Jordan-Schoenflies sont de bons exemples de plongements lisses.

Autres variantes

Il existe d'autres variantes de sous-variétés utilisées dans la littérature. Une sous - variété nette est une variété dont la frontière est en accord avec la frontière de la variété entière. Sharpe (1997) définit un type de sous-variété qui se situe quelque part entre une sous-variété intégrée et une sous-variété immergée.

De nombreux auteurs définissent également des sous-variétés topologiques. Ce sont les mêmes que les sous-variétés C ^r avec r = 0 . Une sous-variété topologique enchâssée n'est pas forcément régulière au sens de l'existence d'un graphe local en chaque point prolongeant le plongé. Les contre-exemples incluent les arcs sauvages et les nœuds sauvages .

Propriétés

Étant donné toute sous-variété immergée S de M , l' espace tangent à un point p dans S peut naturellement être considéré comme un sous - espace linéaire de l'espace tangent à p dans M . Cela découle du fait que la carte d'inclusion est une immersion et fournit une injection

${\displaystyle i_{\ast }:T_{p}S\to T_{p}M.}$

Supposons que S est une sous-variété immergée de M . Si l'application d'inclusion i  : S → M est fermée alors S est en fait une sous-variété encastrée de M . Inversement, si S est une sous-variété imbriquée qui est également un sous-ensemble fermé, alors la carte d'inclusion est fermée. L'application d'inclusion i  : S → M est fermée si et seulement si c'est une application propre (c'est-à-dire que les images inverses d' ensembles compacts sont compactes). Si i est fermé, alors S est appelé une sous - variété fermée et encastrée de M . Les sous-variétés intégrées fermées forment la plus belle classe de sous-variétés.

Sous-variétés de l'espace de coordonnées réel

Les variétés lisses sont parfois définies comme des sous-variétés imbriquées de l'espace de coordonnées réel R ⁿ , pour certains n . Ce point de vue est équivalente à l'approche habituelle, résumé, parce que, par le théorème de plongement Whitney , toute seconde dénombrable lisse (résumé) m -manifold peut être facilement incorporé dans R ^{2 m} .

Remarques

Les références

• Choquet-Bruhat, Yvonne (1968). Géométrie différentielle et systèmes extérieurs . Paris : Dunod.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Variétés différentielles . Mineola, New York : Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Fondamentaux de la géométrie différentielle . Textes d'études supérieures en mathématiques . New York : Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Lee, John (2003). Introduction aux collecteurs lisses . Textes d' études supérieures en mathématiques 218 . New York : Springer. ISBN 0-387-95495-3.
• Sharpe, RW (1997). Géométrie différentielle : généralisation de Cartan du programme d'Erlangen de Klein . New York : Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Warner, Frank W. (1983). Fondements des variétés différenciables et des groupes de mensonges . New York : Springer. ISBN 0-387-90894-3.