Polygone équilatéral - Equilateral polygon

En géométrie , un polygone équilatéral est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur. Sauf dans le cas du triangle , il n'a pas besoin d'être équiangulaire (pas besoin d'avoir tous les angles égaux), mais si c'est le cas, il s'agit d'un polygone régulier . Si le nombre de côtés est d'au moins cinq, un polygone équilatéral n'a pas besoin d'être un polygone convexe : il peut être concave ou même auto-intersectant .

Exemples

Tous les polygones réguliers et les polygones à contours transitifs sont équilatéraux. Lorsqu'un polygone équilatéral est non traversant et cyclique (ses sommets sont sur un cercle) il doit être régulier. Un quadrilatère équilatéral doit être convexe ; ce polygone est un losange (éventuellement un carré ).

Pentagone équilatéral convexe

Pentagone équilatéral concave

Un pentagone équilatéral convexe peut être décrit par deux angles consécutifs, qui ensemble déterminent les autres angles. Cependant, les pentagones équilatéraux et les polygones équilatéraux de plus de cinq côtés peuvent également être concaves, et si les pentagones concaves sont autorisés, alors deux angles ne suffisent plus pour déterminer la forme du pentagone.

Un polygone tangentiel (celui qui a un cercle inscrit tangent à tous ses côtés) est équilatéral si et seulement si les angles alternés sont égaux (c'est-à-dire que les angles 1, 3, 5, ... sont égaux et les angles 2, 4, .. . sont égaux). Ainsi si le nombre de côtés n est impair, un polygone tangentiel est équilatéral si et seulement s'il est régulier.

La mesure

Le théorème de Viviani se généralise aux polygones équilatéraux : La somme des distances perpendiculaires d'un point intérieur aux côtés d'un polygone équilatéral est indépendante de l'emplacement du point intérieur.

Les diagonales principales d'un hexagone divisent chacune l'hexagone en quadrilatères. Dans tout hexagone équilatéral convexe de côté commun a , il existe une diagonale principale d ₁ telle que

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leq 2}$

et une diagonale principale d ₂ telle que

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}}$.

Optimalité

Quatre Reinhardt 15-gons

Lorsqu'un polygone équilatéral est inscrit dans un polygone de Reuleaux , il forme un polygone de Reinhardt . Parmi tous les polygones convexes ayant le même nombre de côtés, ces polygones ont le plus grand périmètre possible pour leur diamètre , la plus grande largeur possible pour leur diamètre et la plus grande largeur possible pour leur périmètre.

Les références

Liens externes

• Médias liés aux polygones équilatéraux sur Wikimedia Commons
• Triangle équilatéral Avec animation interactive
• Une propriété des polygones équiangulaires : de quoi s'agit-il ? une discussion du théorème de Viviani à Cut-the-knot .