L'identité à quatre carrés d'Euler - Euler's four-square identity

En mathématiques , l'identité à quatre carrés d'Euler dit que le produit de deux nombres, dont chacun est une somme de quatre carrés , est lui-même une somme de quatre carrés.

Identité algébrique

Pour toute paire de quadruples d'un anneau commutatif , les expressions suivantes sont égales :

${\style d'affichage (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+ b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$

${\style d'affichage (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+}$

${\style d'affichage (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+}$

${\style d'affichage (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+}$

${\style d'affichage (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.}$

Euler a écrit à propos de cette identité dans une lettre datée du 4 mai 1748 à Goldbach (mais il a utilisé une convention de signe différente de celle ci-dessus). Cela peut être vérifié avec l'algèbre élémentaire .

L'identité a été utilisée par Lagrange pour prouver son théorème des quatre carrés . Plus précisément, cela implique qu'il suffit de prouver le théorème des nombres premiers , après quoi le théorème plus général suit. La convention de signe utilisée ci-dessus correspond aux signes obtenus en multipliant deux quaternions. D'autres conventions de signes peuvent être obtenues en remplaçant any par , et/ou any par . ${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle -a_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle -b_{k}}$

Si les et sont des nombres réels , l'identité exprime le fait que la valeur absolue du produit de deux quaternions est égale au produit de leurs valeurs absolues, de la même manière que l' identité à deux carrés de Brahmagupta-Fibonacci le fait pour les nombres complexes . Cette propriété est la caractéristique définitive des algèbres de composition . ${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$

Le théorème de Hurwitz énonce qu'une identité de forme,

${\style d'affichage (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^ {2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})=c_{1}^{2}+c_{2}^ {2}+c_{3}^{2}+...+c_{n}^{2}}$

où les sont des fonctions bilinéaires de et n'est possible que pour n = 1, 2, 4 ou 8. ${\style d'affichage c_{i}}$${\style d'affichage a_{i}}$${\style d'affichage b_{i}}$

Preuve de l'identité à l'aide de quaternions

Soit et soit une paire de quaternions. Leurs quaternions conjugués sont et . Puis ${\displaystyle \alpha =a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k}$${\displaystyle \beta =b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k}$${\displaystyle \alpha ^{*}=a_{1}-a_{2}i-a_{3}j-a_{4}k}$${\displaystyle \beta ^{*}=b_{1}-b_{2}i-b_{3}j-b_{4}k}$

${\displaystyle A:=\alpha \alpha ^{*}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2} }$

et

${\displaystyle B:=\beta \beta ^{*}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2} }$.

Le produit de ces deux est , où est un nombre réel, il peut donc commuter avec le quaternion , ce qui donne ${\displaystyle AB=\alpha \alpha ^{*}\beta \beta ^{*}}$${\displaystyle \beta \beta ^{*}}$${\displaystyle \alpha ^{*}}$

${\displaystyle AB=\alpha \beta \beta ^{*}\alpha ^{*}}$.

Aucune parenthèse n'est nécessaire ci-dessus, car les quaternions associent . Le conjugué d'un produit est égal au produit commuté des conjugués des facteurs du produit, donc

${\displaystyle AB=\alpha \beta (\alpha \beta )^{*}=\gamma \gamma ^{*}}$

où est le produit de Hamilton de et : ${\style d'affichage \gamma }$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \gamma =(a_{1}+\langle a_{2},a_{3},a_{4}\rangle )(b_{1}+\langle b_{2},b_{3},b_ {4}\rangle )}$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{ 3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_ {4}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\ rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{ 2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_ {1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4 }+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3} -a_{3}b_{2}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+\langle a_{1} b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1} +a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3 }b_{2}\rangle }$

${\displaystyle \gamma =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_ {2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1} +a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{ 3}b_{2})k.}$

Puis

${\displaystyle \gamma ^{*}=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})-(a_ {1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i-(a_{1}b_{3}+a_{3 }b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_ {3}-a_{3}b_{2})k}$

et

${\displaystyle AB=\gamma \gamma ^{*}=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4} )^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+(a_ {1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+ a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.}$

(Si où est la partie scalaire et est la partie vectorielle, alors alors ) ${\displaystyle \gamma =r+{\vec {u}}}$${\style d'affichage r}$${\displaystyle {\vec {u}}=\langle u_{1},u_{2},u_{3}\rangle }$${\displaystyle \gamma ^{*}=r-{\vec {u}}}$${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=(r+{\vec {u}})(r-{\vec {u}})=r^{2}-r{\vec {u}}+r {\vec {u}}-{\vec {u}}{\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec { u}}\times {\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=r^{2}+u_{1}^{2} +u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.}$

L'identité de Pfister

Pfister a trouvé une autre identité carrée pour tout pouvoir pair :

Si ce ne sont que des fonctions rationnelles d'un ensemble de variables, de sorte que chacune a un dénominateur , alors c'est possible pour tous . ${\style d'affichage c_{i}}$${\style d'affichage c_{i}}$${\style d'affichage n=2^{m}}$

Ainsi, une autre identité à quatre carrés est la suivante :

${\style d'affichage (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+ b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$

${\style d'affichage (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}+}$

${\style d'affichage (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2})^{2}+}$

${\displaystyle \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2 }^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+}$

${\displaystyle \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2 }^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}}$

où et sont donnés par ${\displaystyle u_{1}}$${\style d'affichage u_{2}}$

${\displaystyle u_{1}=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}}$

${\displaystyle u_{2}=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}}$

Incidemment, l'identité suivante est également vraie :

${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})^{2}(b_{3}^ {2}+b_{4}^{2})}$

Voir également

• Identité Brahmagupta-Fibonacci (sommes de deux carrés)
• L'identité à huit carrés de Degen
• L'identité des seize carrés de Pfister
• carré latin

Les références

Liens externes

• Une collection d'identités algébriques
• [1] Lettre CXV d'Euler à Goldbach