Champ fermionique - Fermionic field

Dans la théorie quantique des champs , un champ fermionique est un champ quantique dont les quanta sont des fermions ; c'est-à-dire qu'ils obéissent aux statistiques de Fermi – Dirac . Les champs fermioniques obéissent aux relations d'anticommutation canoniques plutôt qu'aux relations de commutation canoniques des champs bosoniques .

L'exemple le plus marquant d'un champ fermionique est le champ de Dirac, qui décrit des fermions de spin -1/2: électrons , protons , quarks , etc. Le champ de Dirac peut être décrit comme un spineur à 4 composants ou comme une paire de 2 - spineurs Weyl à composants. Les fermions de Majorana Spin-1/2 , tels que l'hypothétique neutralino , peuvent être décrits soit comme un spineur Majorana à 4 composants dépendants, soit comme un seul spineur de Weyl à 2 composants. On ne sait pas si le neutrino est un fermion de Majorana ou un fermion de Dirac ; l'observation expérimentale de la désintégration double bêta sans neutrino réglerait cette question.

Propriétés de base

Les champs fermioniques libres (sans interaction) obéissent à des relations d'anticommutation canoniques ; c'est-à-dire impliquent les anticommutateurs { a , b } = ab + ba , plutôt que les commutateurs [ a , b ] = ab - ba de la mécanique quantique bosonique ou standard. Ces relations sont également valables pour les champs fermioniques en interaction dans l' image d'interaction , où les champs évoluent dans le temps comme s'ils étaient libres et les effets de l'interaction sont codés dans l'évolution des états.

Ce sont ces relations d'anticommutation qui impliquent des statistiques de Fermi – Dirac pour les quanta de champ. Ils aboutissent également au principe d'exclusion de Pauli : deux particules fermioniques ne peuvent pas occuper le même état en même temps.

Champs de Dirac

L'exemple le plus important d'un champ de fermions de spin-1/2 est le champ de Dirac (nommé d'après Paul Dirac ), et désigné par . L'équation de mouvement pour une particule de spin libre 1/2 est l' équation de Dirac , ${\ displaystyle \ psi (x)}$

${\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi (x) = 0. \,}$

où sont les matrices gamma et est la masse. Les solutions les plus simples possibles à cette équation sont les solutions d'ondes planes, et . Ces solutions d' ondes planes forment une base pour les composantes de Fourier de , permettant l'expansion générale de la fonction d'onde comme suit, ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle u (p) e ^ {- ip.x} \,}$${\ Displaystyle v (p) e ^ {ip.x} \,}$${\ displaystyle \ psi (x)}$

${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} (x) = \ int {\ frac {d ^ {3} p} {(2 \ pi) ^ {3}}} {\ frac {1} {\ sqrt {2E_ {p}}}} \ sum _ {s} \ left (a _ {\ mathbf {p}} ^ {s} u _ {\ alpha} ^ {s} (p) e ^ {- ip \ cdot x} + b_ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger} v _ {\ alpha} ^ {s} (p) e ^ {ip \ cdot x} \ right). \,}$

u et v sont des spineurs, étiquetés par des indices spin, s et spinor . Pour l'électron, une particule de spin 1/2, s = +1/2 ou s = -1 / 2. Le facteur énergétique est le résultat d'une mesure d'intégration invariante de Lorentz. En seconde quantification , est promu opérateur, de sorte que les coefficients de ses modes de Fourier doivent également être des opérateurs. Par conséquent, et sont des opérateurs. Les propriétés de ces opérateurs peuvent être discernées à partir des propriétés du champ. et obéissez aux relations anticommutation: ${\ displaystyle \ alpha \ in \ {0,1,2,3 \}}$${\ displaystyle \ psi (x)}$${\ displaystyle a _ {\ mathbf {p}} ^ {s}}$${\ displaystyle b _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger}}$${\ displaystyle \ psi (x)}$${\ displaystyle \ psi (y) ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle \ left \ {\ psi _ {\ alpha} (\ mathbf {x}), \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} (\ mathbf {y}) \ right \} = \ delta ^ { (3)} (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) \ delta _ {\ alpha \ beta}.}$

Nous imposons une relation anticommutatrice (par opposition à une relation de commutation comme nous le faisons pour le champ bosonique ) afin de rendre les opérateurs compatibles avec les statistiques de Fermi – Dirac . En insérant les extensions pour et , les relations d'anticommutation pour les coefficients peuvent être calculées. ${\ displaystyle \ psi (x)}$${\ displaystyle \ psi (y)}$

${\ displaystyle \ left \ {a _ {\ mathbf {p}} ^ {r}, a _ {\ mathbf {q}} ^ {s \ dagger} \ right \} = \ left \ {b _ {\ mathbf {p} } ^ {r}, b _ {\ mathbf {q}} ^ {s \ dagger} \ right \} = (2 \ pi) ^ {3} \ delta ^ {3} (\ mathbf {p} - \ mathbf { q}) \ delta ^ {rs}, \,}$

D'une manière analogue aux opérateurs d'annihilation et de création non relativistes et à leurs commutateurs, ces algèbres conduisent à l'interprétation physique qui crée un fermion d'impulsion p et de spin s, et crée un antifermion d'impulsion q et de spin r . Le champ général est maintenant considéré comme une sommation pondérée (par le facteur d'énergie) sur tous les spins et impulsions possibles pour créer des fermions et des antifermions. Son champ conjugué,, est le contraire, une somme pondérée sur tous les spins et impulsions possibles pour annihiler les fermions et les antifermions. ${\ displaystyle a _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger}}$${\ Displaystyle b _ {\ mathbf {q}} ^ {r \ dagger}}$${\ displaystyle \ psi (x)}$${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$

Avec les modes de champ compris et le champ conjugué défini, il est possible de construire des quantités invariantes de Lorentz pour les champs fermioniques. Le plus simple est la quantité . Cela rend la raison du choix de claire. Ceci est dû au fait que la transformée générale de Lorentz n'est pas unitaire, donc la quantité ne serait pas invariante sous de telles transformées, donc l'inclusion de est de corriger cela. L'autre quantité invariante de Lorentz non nulle possible , jusqu'à une conjugaison globale, constructible à partir des champs fermioniques est . ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ psi \,}$${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ psi}$${\ displaystyle \ gamma ^ {0} \,}$${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi}$

Puisque les combinaisons linéaires de ces quantités sont également invariantes de Lorentz, cela conduit naturellement à la densité lagrangienne pour le champ de Dirac par l'exigence que l' équation d'Euler – Lagrange du système récupère l'équation de Dirac.

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi \, }$

Une telle expression a ses indices supprimés. Lorsqu'elle est réintroduite, l'expression complète est

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} _ {a} \ left (i \ gamma _ {ab} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} - m \ mathbb {I} _ {ab} \ right) \ psi _ {b} \,}$

La densité hamiltonienne ( énergie ) peut également être construite en définissant d'abord l'impulsion canoniquement conjuguée à , appelée ${\ displaystyle \ psi (x)}$${\ displaystyle \ Pi (x):}$

${\ displaystyle \ Pi \ {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} _ {D}} {\ partial (\ partial _ {0} \ psi)}} = i \ psi ^ {\ dague} \ ,.}$

Avec cette définition de , la densité hamiltonienne est: ${\ displaystyle \ Pi}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} \ left [-i {\ vec {\ gamma}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} + m \ right ] \ psi \ ,,}$

où est le gradient standard des coordonnées de type espace, et est un vecteur des matrices de type espace . Il est surprenant que la densité hamiltonienne ne dépende pas directement de la dérivée temporelle de , mais l'expression est correcte. ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ psi}$

Étant donné l'expression pour, nous pouvons construire le propagateur de Feynman pour le champ de fermions: ${\ displaystyle \ psi (x)}$

${\ displaystyle D_ {F} (xy) = \ left \ langle 0 \ left | T (\ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y)) \ right | 0 \ right \ rangle}$

nous définissons le produit ordonné dans le temps pour les fermions avec un signe moins en raison de leur nature anticommutante

${\ displaystyle T \ left [\ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y) \ right] \ {\ overset {\ text {def}} {=}} \ \ theta \ left (x ^ { 0} -y ^ {0} \ right) \ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y) - \ theta \ left (y ^ {0} -x ^ {0} \ right) {\ overline {\ psi}} (y) \ psi (x).}$

Brancher notre expansion d'onde plane pour le champ de fermions dans l'équation ci-dessus donne:

${\ displaystyle D_ {F} (xy) = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {i ({p \! \! \! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ epsilon}} e ^ {- ip \ cdot (xy)}}$

où nous avons utilisé la notation de barre oblique de Feynman . Ce résultat a du sens puisque le facteur

${\ displaystyle {\ frac {i ({p \! \! \! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2}}}}$

est juste l'inverse de l'opérateur agissant dans l'équation de Dirac. Notez que le propagateur de Feynman pour le champ de Klein – Gordon a cette même propriété. Puisque toutes les observables raisonnables (telles que l'énergie, la charge, le nombre de particules, etc.) sont construites à partir d'un nombre pair de champs de fermions, la relation de commutation disparaît entre deux observables quelconques à des points d'espace-temps à l'extérieur du cône de lumière. Comme nous le savons par la mécanique quantique élémentaire, deux observables faisant la navette simultanément peuvent être mesurés simultanément. Nous avons donc correctement implémenté l'invariance de Lorentz pour le champ de Dirac, et conservé la causalité . ${\ displaystyle \ psi (x)}$

Des théories de champ plus complexes impliquant des interactions (comme la théorie de Yukawa ou l'électrodynamique quantique ) peuvent également être analysées par diverses méthodes perturbatives et non perturbatives.

Les champs Dirac sont un ingrédient important du modèle standard .

Voir également

• Équation de Dirac
• Théorème des statistiques de spin
• Spinor

Les références

• Edwards, D. (1981). "Les fondements mathématiques de la théorie quantique des champs: fermions, champs de jauge et super-symétrie, partie I: théories de champ de treillis". Int. J. Theor. Phys . 20 (7): 503-517. Bibcode : 1981IJTP ... 20..503E . doi : 10.1007 / BF00669437 .
• Peskin, M et Schroeder, D. (1995). Une introduction à la théorie quantique des champs , Westview Press. (Reportez-vous aux pages 35 à 63.)
• Srednicki, Mark (2007). Théorie quantique des champs , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-86449-7 .
• Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields , (3 volumes) Cambridge University Press.