Image d'interaction - Interaction picture

Fait partie d'une série d'articles sur
Mécanique quantique
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ équation de Schrödinger
introduction Glossaire Histoire
Contexte Mécanique classique Ancienne théorie quantique Notation bra-ket Hamiltonien Ingérence
Fondamentaux Complémentarité Décohérence Enchevêtrement Niveau d'énergie La mesure Non-localité Nombre quantique État Superposition Symétrie Tunneling Incertitude Fonction d'onde  ( effondrement )
Expériences L'inégalité de Bell Davisson-Germer Double fente Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Inégalité de Leggett-Garg Mach–Zehnder Popper Gomme quantique  ( choix différé ) Le chat de Schrödinger Stern–Gerlach Le choix différé de Wheeler
Formules Aperçu Heisenberg Interaction Matrice Espace des phases Schrödinger Sum-over-histories (chemin intégral)
Équations Dirac Klein-Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interprétations Aperçu bayésien Histoires cohérentes Copenhague de Broglie-Bohm Ensemble Variable-cachée De nombreux mondes Effondrement de l'objectif Logique quantique Relationnel Transactionnel
Sujets avancés Mécanique quantique relativiste Théorie quantique des champs Sciences de l'information quantique L'informatique quantique Chaos quantique Matrice de densité Théorie de la diffusion Mécanique statistique quantique Apprentissage automatique quantique
Scientifiques Aharonov cloche Blackett Bloch Bohm Bohr Né Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Au revoir Ehrenfest Einstein Everett Putain Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramer Pauli agneau Landau Laue Mosley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vienne Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

En mécanique quantique , l' image d'interaction (également connue sous le nom d' image de Dirac d' après Paul Dirac ) est une représentation intermédiaire entre l' image de Schrödinger et l' image de Heisenberg . Alors que dans les deux autres images, le vecteur d'état ou les opérateurs portent la dépendance temporelle, dans l'image d'interaction, les deux portent une partie de la dépendance temporelle des observables . L'image d'interaction est utile pour faire face aux changements des fonctions d'onde et des observables dus aux interactions. La plupart des calculs théoriques sur le terrain utilisent la représentation d'interaction car ils construisent la solution de l'équation de Schrödinger à N corps comme la solution du problème des particules libres plus certaines parties d'interaction inconnues.

Les équations qui incluent des opérateurs agissant à des moments différents, qui sont valables dans l'image d'interaction, ne sont pas nécessairement valables dans l'image de Schrödinger ou de Heisenberg. En effet, les transformations unitaires dépendantes du temps relient les opérateurs d'une image aux opérateurs analogues des autres.

L'image d'interaction est un cas particulier de transformation unitaire appliquée à l'hamiltonien et aux vecteurs d'état.

Définition

Les opérateurs et vecteurs d'état dans l'image d'interaction sont liés par un changement de base ( transformation unitaire ) à ces mêmes opérateurs et vecteurs d'état dans l'image de Schrödinger.

Pour basculer dans l'image d'interaction, nous divisons l' hamiltonien de l' image de Schrödinger en deux parties :

Tout choix possible de pièces donnera une image d'interaction valide ; mais pour que l'image d'interaction soit utile pour simplifier l'analyse d'un problème, les parties seront généralement choisies de sorte que H _0,S soit bien compris et exactement résoluble, tandis que H _1,S contient une perturbation plus difficile à analyser à ce système.

Si l'hamiltonien a une dépendance temporelle explicite (par exemple, si le système quantique interagit avec un champ électrique externe appliqué qui varie dans le temps), il sera généralement avantageux d'inclure les termes explicitement dépendants du temps avec H _1,S , laissant H _0,S indépendant du temps. Nous procédons en supposant que c'est le cas. S'il y a un contexte dans lequel il est logique d'avoir H _{0, S} soit en fonction du temps, alors on peut procéder par substitution , par le correspondant opérateur évolution dans le temps dans les définitions ci - dessous. ${\displaystyle e^{\pm iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}$

Vecteurs d'état

Soit le vecteur d'état dépendant du temps dans l'image de Schrödinger. Un vecteur d'état dans l'image d'interaction, , est défini avec une transformation unitaire supplémentaire dépendante du temps. ${\displaystyle |\psi _{\text{S}}(t)\rangle ={\text{e}}^{-iH_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\ rang }$${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle }$

Les opérateurs

Un opérateur dans l'image d'interaction est défini comme

Notez que A _S ( t ) ne dépendra généralement pas de t et peut être réécrit comme simplement A _S . Cela ne dépend de t que si l'opérateur a une "dépendance temporelle explicite", par exemple, en raison de sa dépendance vis-à-vis d'un champ électrique externe appliqué variant dans le temps.

opérateur hamiltonien

Pour l'opérateur lui-même, l'image d'interaction et l'image de Schrödinger coïncident : ${\style d'affichage H_{0}}$

${\displaystyle H_{0,{\text{I}}}(t)=e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}} }e^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.}$

Cela se voit facilement à travers le fait que les opérateurs commutent avec des fonctions dérivables d'eux-mêmes. Cet opérateur particulier peut alors être appelé sans ambiguïté. ${\style d'affichage H_{0}}$

Pour l'hamiltonien de perturbation , cependant, ${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}}$

${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}} }e^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar },}$

où l'hamiltonien de perturbation de l'image d'interaction devient un hamiltonien dépendant du temps, à moins que [ H _1,S , H _0,S ] = 0.

Il est également possible d'obtenir l'image d'interaction pour un hamiltonien dépendant du temps H _0,S ( t ), mais les exponentielles doivent être remplacées par le propagateur unitaire pour l'évolution générée par H _0,S ( t ), ou plus explicitement avec une intégrale exponentielle ordonnée dans le temps.

Matrice de densité

On peut montrer que la matrice de densité se transforme en image d'interaction de la même manière que tout autre opérateur. En particulier, soit ρ _I et ρ _S les matrices de densité dans l'image d'interaction et l'image de Schrödinger respectivement. S'il y a probabilité p _n d'être dans l'état physique | ψ _n >, puis

${\displaystyle \rho _{\text{I}}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\rangle \langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,{\text{S}}}t /\hbar }|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\rangle \langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)|e^{-iH_{ 0,{\text{S}}}t/\hbar }=e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)e ^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.}$

Évolution du temps

Évolution temporelle des états

Transformer l' équation de Schrödinger en image d'interaction donne

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\ psi _{\text{I}}(t)\rangle ,}$

qui stipule que dans l'image d'interaction, un état quantique est développé par la partie d'interaction de l'hamiltonien tel qu'exprimé dans l'image d'interaction. Une preuve est donnée dans Fetter et Walecka.

Evolution temporelle des opérateurs

Si l'opérateur A _S est indépendant du temps (c'est-à-dire qu'il n'a pas de "dépendance temporelle explicite" ; voir ci-dessus), alors l'évolution temporelle correspondante pour A _I ( t ) est donnée par

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S }}}].}$

Dans l'image d'interaction les opérateurs évoluent dans le temps comme les opérateurs dans l' image de Heisenberg avec l'hamiltonien H ' = H ₀ .

Evolution temporelle de la matrice de densité

L'évolution de la matrice de densité dans l'image d'interaction est

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _ {\text{I}}(t)],}$

en cohérence avec l'équation de Schrödinger dans l'image d'interaction.

Valeurs attendues

Pour un opérateur général , la valeur attendue dans l' image d' interaction est donnée par ${\style d'affichage A}$

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _ {\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{ iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0 ,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .}$

En utilisant l'expression de la matrice de densité pour la valeur attendue, nous obtiendrons

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I }}(t){\grand )}.}$

Équation de Schwinger-Tomonaga

Le terme représentation d'interaction a été inventé par Schwinger Dans cette nouvelle représentation mixte le vecteur d'état n'est plus constant en général, mais il est constant s'il n'y a pas de couplage entre les champs. Le changement de représentation conduit directement à l'équation de Tomonaga-Schwinger :

${\displaystyle ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )}$

${\displaystyle {\hat {H}}(x)={\text{-}}{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)}$

Où l'hamiltonien dans ce cas est l'hamiltonien d'interaction QED, mais il peut aussi s'agir d'une interaction générique, et c'est un espace comme une surface qui passe par le point . La dérivée représente formellement une variation sur cette surface donnée fixe. Il est difficile de donner une interprétation mathématique précise de cette équation. ${\style d'affichage \sigma }$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage x}$

Cette approche est appelée par Schwinger l'approche différentielle et de champ opposée à l'approche intégrale et particulaire des diagrammes de Feynman.

L'idée centrale est que si l'interaction a une faible constante de couplage (c'est-à-dire dans le cas d'un électromagnétisme de l'ordre de la constante de structure fine), les termes perturbateurs successifs seront des puissances de la constante de couplage et donc plus petits.

Utilisation

Le but de l'image d'interaction est de shunter toute la dépendance temporelle due à H ₀ sur les opérateurs, leur permettant ainsi d'évoluer librement, et ne laissant que H _1,I contrôler l'évolution temporelle des vecteurs d'état.

L'image de l'interaction est pratique lorsque l'on considère l'effet d'un petit terme d'interaction, H _1,S , ajouté à l'hamiltonien d'un système résolu, H _0,S . En utilisant l'image d'interaction, on peut utiliser la théorie des perturbations dépendantes du temps pour trouver l'effet de H _1,I , par exemple, dans la dérivation de la règle d'or de Fermi , ou la série de Dyson dans la théorie quantique des champs : en 1947, Shin'ichirō Tomonaga et Julian Schwinger a apprécié que la théorie des perturbations covariantes puisse être formulée avec élégance dans l'image d'interaction, puisque les opérateurs de champ peuvent évoluer dans le temps comme des champs libres, même en présence d'interactions, désormais traitées de manière perturbative dans une telle série de Dyson.

Comparaison sommaire de l'évolution dans toutes les images

Pour un hamiltonien indépendant du temps H _S , où H _0,S est l'hamiltonien libre,

Évolution	Image ( v t e )
de:	Heisenberg	Interaction	Schrödinger
État de Ket	constant	${\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}} (t)\rangle }$	${\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}( 0)\rangle }$
Observable	${\displaystyle A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S }}~t/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0, \mathrm {S} }~t/\hbar }}$	constant
Matrice de densité	constant	${\displaystyle \rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e ^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^ {iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$

Les références

Lectures complémentaires

• LD Landau ; EM Lifshitz (1977). Mécanique quantique : théorie non relativiste . 3 (3e éd.). Presse de Pergame . ISBN 978-0-08-020940-1.
• Townsend, John S. (2000). Une approche moderne de la mécanique quantique (2e éd.). Sausalito, Californie : University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.

Voir également

• Notation bra-ket
• équation de Schrödinger
• Le théorème de Haag