Symétrie de Fock dans la théorie de l'hydrogène - Fock symmetry in theory of hydrogen

Le problème de Coulomb quantique pour permettre de calculer le spectre du système à deux charges opposées, est encore un problème fondamental de la théorie quantique. En rapport avec cela, les noms des fondateurs de la physique du 20ème âge sont, exactement, N. Bohr, A. Sommerfeld, V. Pauly, E. Schrödinger et V. Fock . L'introduction dans la théorie du spectre atomique commence par le problème et il a été complètement appris par des méthodes de fonctions spéciales . Au moins, en raison de la formulation claire et de la symétrie SO(4) qu'elle contient, le problème reste un instrument exclusivement utile et fin pour construire de nouveaux concepts et perspectives.

Essence de la découverte

Rappelons le contexte de l'exploit de Fock. Deux intégrales vectorielles classiques que sont le moment cinétique et le vecteur de Laplace-Runge-Lenz , sont représentées par des opérateurs vectoriels pour commuter avec l'hamiltonien. L'analyse de leurs commutateurs considérés dans, montre qu'ils génèrent l' algèbre de Lie c'est-à-dire l'espace linéaire avec l'opération de commutation, pour coïncider avec l'algèbre de Lie des opérateurs de tour infinitésimaux dans l'espace 4-D. Pour la physique, la correspondance signifie qu'il y a une transformation des variables et des opérateurs pour substituer le problème de Coulomb quantique à celui du libre mouvement sur une sphère 3-D posée dans un espace 4-D. Ainsi, l'hamiltonien devient invariant pour les tours de sphère 3-D. Cela rappelle l'effet bien connu de Lewis Carroll "avec le sourire planant d'un chat du Cheshire". Il restait à trouver la transformation.

L'approche de Fock a surpris ses contemporains. Le point initial de sa théorie est l'intégrale de l' équation de Schrödinger ( SE ) dans l'espace des impulsions. Il le considère comme un plan 3-D posé dans un espace de quantité de mouvement 4-D et devant être incurvé en une sphère 3-D. C'est étonnant, néanmoins, Fock a utilisé la projection stéréographique pour être connue depuis l'antiquité comme la projection du globe sur la carte plane. (Le globe de Fock est tridimensionnel comme la carte.) De plus, Fock a deviné un multiplicateur pour les fonctions de manière à transformer l'équation intégrale connue en équation pour les fonctions sphériques sur la sphère 3-D. (Rappelons, les fonctions sphériques « ordinaires » définies sur la sphère 2-D.) L'équation trouvée peu utilisée en physique, et bien connue en théorie des fonctions spéciales, est invariante par rapport au groupe SO(4). Fock n'explique pas la signification physique de la transformation trouvée.

En conséquence, cela laisse encore une question de la symétrie SO(4) à réaliser dans l'espace de quantité de mouvement courbe mais pas dans un espace coordonné, et comment l'électron "sait-il" à propos de la projection stéréographique . Récemment, Efimov SP a avancé la théorie de Fock pour transformer les fonctions propres de l' espace de quantité de mouvement en coordonnées 4-D. Il a découvert que la transition finale des harmoniques sphériques 3-D dans l'espace physique est algébrique et ne nécessite aucune intégration.

La théorie de Fock

En utilisant les unités atomiques lorsque l' unité d' énergie est et le rayon de Bohr , l' équation de Schrödinger ( SE ) pour les fonctions propres suit ${\displaystyle {\frac {Z^{2}moi^{4}}{\hbar ^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{Zme^{2}}}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\Delta -{\frac {1}{r}}\right)\Psi _{nlm}=-{\frac {1}{2n^ {2}}}\Psi _{nlm}}$.

Il est en outre pratique de convertir chaque rayon d'orbite en un seul rayon, c'est-à-dire de remplacer le rayon-vecteur par . Ainsi, l'équation prend une forme trompeusement simple ${\displaystyle na_{B}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} }{n}}}$

où encore des notations et appliquées pour le vecteur et son module. Ensuite, les fonctions propres dans la représentation de l'élan ont étiré l'argument . Fonctions propres de la SE à convertir avec transition vers l' espace des impulsions comme ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\style d'affichage r}$${\displaystyle \mathbf {p'} =n\mathbf {p} }$ ${\style d'affichage (\hbar=1)}$

${\displaystyle \Psi _{nlm}(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \ a_{nlm}(\mathbf {p} )e ^{(i\mathbf {pr} )}d^{3}\mathbf {p} }$,

donner une convolution par moments dans ES . En ce qui concerne le potentiel va dans , ES devient et non locale ressemble ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$${\displaystyle {\frac {4\pi }{\left|\mathbf {p^{2}} \right|}}}$

Première étape de la théorie de Fock : sans explication, la fonction est multipliée par le facteur . Deuxième étape : le plan de mouvement 3-D est enroulé dans une sphère 3-D où les coordonnées sont utilisées (voir Fig.1) ${\displaystyle a_{nlm}(\mathbf {p} )}$${\displaystyle (1+\mathbf {p^{2}} )^{2}}$${\displaystyle ({\boldsymbol {\xi }},{\mathit {\xi _{0}}})}$

Fig.1 Projection stéréographique d'un plan sur une sphère${\style d'affichage 3D}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\style d'affichage 3D}$

Nous pouvons voir sur la Fig.1 que la tangente de l'angle d'inclinaison de la ligne rouge est égale à

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {1}{\left|\mathbf {p} \right|}}.}$

Il donne des formules

${\displaystyle \left|{\boldsymbol {\xi }}\right|=\sin 2\varphi ={\frac {2\left|\mathbf {p} \right|}{(1+\mathbf {p^ {2}} )}},}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}={\frac {2\mathbf {p} }{(1+\mathbf {p^{2}} )}},}$

${\displaystyle {\mathit {\xi _{0}}}=\cos 2\varphi ={\frac {(\mathbf {p^{2}} -1)}{(\mathbf {p^{2} } +1)}},}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{2}+\xi _{0}^{2}=1.}$

Notez que la projection stéréographique double l'angle d'inclinaison et c'est l'effet. Ici, le dessin sur le plan de la Fig.1 reflète correctement la transformation 4-D. Dans les nouvelles variables, concernant le facteur de Fock, la fonction propre est égale à

${\displaystyle b_{nlm}({\boldsymbol {\xi }},\xi _{0})=(\mathbf {p^{2}} +1)^{2}a_{nlm}(\mathbf { p} ).}$

Il est essentiel ici que la projection soit une transformation conforme . Dans ce cas, les angles entre les courbes sécantes sont conservés et la métrique sur la sphère par les coordonnées du p-plan, est

${\displaystyle {\frac {4}{\mathbf {(p^{2}+1)^{2}} }}(d\mathbf {p} )^{2}.}$

Par conséquent, le coefficient de compression du p-plan est égal à . Le volume dans l'équation doit être changé en volume de la surface 3-D sur la sphère comme ${\displaystyle {\frac {(\mathbf {p^{2}} +1)}{2}}}$

${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} ={\frac {1}{8}}(\mathbf {p^{2}} +1)^{3}dS_{\xi }}$

De plus, le noyau de l'intégrale dans l'équation peut être successivement (et non évident) réduit de la manière suivante

${\displaystyle {\frac {1}{\mathbf {(p-p')^{2}} }}={\frac {2}{\mathbf {(p^{2}+1)} }}{ \frac {1}{[{\boldsymbol {(\xi -\xi ')^{2}}}+(\xi _{0}-\xi '_{0})^{2}]}}{ \frac {2}{\mathbf {(p'^{2}+1)} }},}$

cela ne découle pas de la conformité. Cela permet à Fock de substituer des relations dans l'équation intégrale pour trouver

où, comme le montre la figure 1, l'élément de surface sur la sphère unitaire est égal à

${\displaystyle dS_{\xi }={\frac {d{\xi _{1}}d\xi _{2}d{\xi _{3}}}{\xi _{0}}}={ \frac {dV_{\xi }}{\xi _{0}}}}$

et le volume de la sphère 3-D est . Nous remarquons que l'intégration sur un plan 3-D est pratique pour les calculs. ${\style d'affichage 2\pi ^{2}}$

De plus, V. Fock nous renvoie à la théorie des fonctions sphériques dans l'espace 4-D. L'équation de Found Fock définit ceux où les polynômes de Gegenbauer jouent un rôle important.

Voir également

• Deuxième quantification
• Fock état
• Méthode Hartree-Fock
• Symétrie Fock-Lorentz
• Jauge Fock-Schwinger

Les références

Lectures complémentaires

• Faddeev, LD ; Khalfin, LA; Komarov, IV, éd. (2004). VA Fock - Travaux sélectionnés : Mécanique quantique et théorie quantique des champs . Presse CRC. doi : 10.1201/9780203643204 . ISBN 97804292212390.