Théorème de Frobenius (algèbres de division réelles) - Frobenius theorem (real division algebras)

En mathématiques , plus précisément en algèbre abstraite , le théorème de Frobenius , prouvé par Ferdinand Georg Frobenius en 1877, caractérise les algèbres de division associative de dimension finie sur les nombres réels . Selon le théorème, chacune de ces algèbres est isomorphe à l'un des éléments suivants :

$R$ (les vrais nombres )
$C$ (les nombres complexes )
$H$ (les quaternions ).

Ces algèbres ont respectivement la dimension réelle $1, 2$ et $4$ . De ces trois algèbres, $R$ et $C$ sont commutatives , mais $H$ ne l'est pas.

Preuve

Les principaux ingrédients de la preuve suivante sont le théorème de Cayley-Hamilton et le théorème fondamental de l'algèbre .

Présentation de quelques notations

Soit $D$ l'algèbre de division en question.
Soit $n$ la dimension de $D$ .
On identifie les multiples réels de $1$ avec $R$ .
Lorsque nous écrivons $a \leq 0$ pour un élément $a$ de $D$ , nous supposons tacitement que $a$ est contenu dans $R$ .
On peut considérer $D$ comme dimension finie $R$ - espace vectoriel . Tout élément $d$ de $D$ définit un endomorphisme de $D$ par multiplication à gauche, nous identifions $d$ avec cet endomorphisme. On peut donc parler de la trace de $d$ , et de ses polynômes caractéristiques et minimaux .
Pour tout $z$ dans $C$ définir le polynôme quadratique réel suivant :

Q(z;x)=x^{2}-2\operatorname {Re} (z)x+|z|^{2}=(xz)(x-{\overline {z}})\in \mathbf {R} [x].

Notez que si

z \in C ∖ R

alors

Q (z; x)

est irréductible sur

R

.

La demande

La clé de l'argument est la suivante

Réclamer. L'ensemble

V

de tous les éléments

a

de

D

tels que

a 20

est un sous-espace vectoriel de

D

de dimension

n-1

. De plus

D = R \oplus V

en tant que

R

-vector espaces, ce qui implique que

V

génère

D

comme une algèbre.

Preuve de revendication : Soit $m$ la dimension de $D en$ tant qu'espace vectoriel $R$ , et choisissons $a$ dans $D$ avec le polynôme caractéristique $p (x)$ . Par le théorème fondamental de l'algèbre, on peut écrire

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})(x-z_{1})(x-{\overline {z_{1}}})\cdots (x-z_{s})(x-{\overline {z_{s}}}),\qquad t_{i}\in \mathbf {R} ,\quad z_{j}\in \mathbf {C} \barre oblique inverse \mathbf {R} .

On peut réécrire $p (x)$ en fonction des polynômes $Q (z; x)$ :

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})Q(z_{1};x)\cdots Q(z_{s};x).

Depuis $z j ∈ C \ R$ , les polynômes $Q (z j; x)$ sont tous irréductible sur $R$ . D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $p (a) = 0$ et parce que $D$ est une algèbre de division, il s'ensuit que soit $a - t i = 0$ pour un certain $i$ soit que $Q (z j; a) = 0$ pour un certain $j$ . Le premier cas implique que $a$ est réel. Dans le second cas, il s'ensuit que $Q (z j; x)$ est le polynôme minimal de $a$ . Parce que $p (x)$ a les mêmes racines complexes que le polynôme minimal et parce qu'il est réel il s'ensuit que

p(x)=Q(z_{j};x)^{k}=\left(x^{2}-2\operatorname {Re} (z_{j})x+|z_{j}| ^{2}\droit)^{k}

Puisque $p (x)$ est le polynôme caractéristique de $a$ le coefficient de $x 2 k -1$ dans $p (x)$ est $tr(a)$ à un signe près. Par conséquent, nous lisons à partir de l'équation ci-dessus que nous avons : $tr(a) = 0$ si et seulement si $Re(z j) = 0$ , en d'autres termes $tr(a) = 0$ si et seulement si $a 2 = -| z j | 2 < 0$ .

Donc $V$ est le sous-ensemble de tout $a$ avec $tr(a) = 0$ . En particulier, c'est un sous-espace vectoriel. Le théorème de rang-nullité implique alors que $V$ a la dimension $n - 1$ puisqu'il est le noyau de . Puisque $R$ et $V$ sont disjoints (ils satisfont ), et leurs dimensions somme à $n$ , nous avons que $D$ $=$ $R$ $\oplus$ $V$ . $\operatorname {tr} :D\to \mathbf {R}$ $\mathbf {R} \cap V=\{0\}$

La fin

Pour $a, b$ dans $V$ définir $B (a, b) = (- ab - ba)/2$ . En raison de l'identité $(a + b) 2 - a 2 - b 2 = ab + ba$ , il s'ensuit que $B (a, b)$ est réel. De plus, puisque $a 20$ , on a : $B (a, a) > 0$ pour $a \neq 0$ . Ainsi $B$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive , en d'autres termes, un produit scalaire sur $V$ .

Soit $W$ un sous-espace de $V$ qui engendre $D$ comme algèbre et qui est minimal par rapport à cette propriété. Soit $e 1, ..., e n$ une base orthonormée de $W$ par rapport à $B$ . Alors l'orthonormalité implique que :

e_{i}^{2}=-1,\quad e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}.

Si $n = 0$ , alors $D$ est isomorphe à $R$ .

Si $n = 1$ , alors $D$ est engendré par $1$ et $e 1$ soumis à la relation $e 21 = -1$ . Il est donc isomorphe à $C$ .

Si $n = 2$ , on a montré plus haut que $D$ est engendré par $1, e 1, e 2$ sous réserve des relations

e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1,\quad e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},\quad (e_{ 1}e_{2})(e_{1}e_{2})=-1.

Ce sont précisément les relations pour $H$ .

Si $n > 2$ , alors $D$ ne peut pas être une algèbre de division. Supposons que $n > 2$ . Soit $u = e 1 e 2 e n$ . Il est facile de voir que $u 2 = 1$ (cela ne fonctionne que si $n > 2$ ). Si $D$ était une algèbre de division, $0 = u 2 - 1 = (u - 1)(u + 1)$ implique $u = \pm1$ , ce qui signifie : $e n = \mp e 1 e 2$ et donc $e 1, .. ., e n -1$ génère $D$ . Ceci contredit la minimalité de $W$ .

Remarques et résultats associés

Le fait que $D$ soit engendré par $e 1, ..., e n$ sous réserve des relations ci-dessus signifie que $D$ est l' algèbre de Clifford de $R n$ . La dernière étape montre que les seules algèbres réelles de Clifford qui sont des algèbres de division sont $Cℓ 0, Cℓ 1$ et $Cℓ 2$ .
En conséquence, les seules commutatifs division algèbres sont $R$ et $C$ . Notez également que $H$ n'est pas une $C$ -algèbre. Si c'était le cas, alors le centre de $H$ doit contenir $C$ , mais le centre de $H$ est $R$ . Par conséquent, la seule algèbre de division de dimension finie sur $C$ est $C$ lui-même.
Ce théorème est étroitement lié au théorème de Hurwitz , qui déclare que les seules algèbres de division normées réelles sont $R, C, H$ , et l'algèbre (non associative) $O$ .
Variante de Pontryagin. Si $D$ est un anneau de division connexe et localement compact , alors $D$ $=$ $R$ $,$ $C$ ou $H$ .

Les références

Ray E. Artz (2009) Algèbres scalaires et quaternions , Théorème 7.1 "Classification de Frobenius", page 26.
Ferdinand Georg Frobenius (1878) " Über lineare Substitutionen und bilineare Formen ", Journal für die reine und angewandte Mathematik 84:1-63 ( Journal de Crelle ). Réimprimé dans Gesammelte Abhandlungen Band I, pp. 343-405.
Yuri Bahturin (1993) Structures de base de l'algèbre moderne , Kluwer Acad. Pub. p. 30-2 ISBN 0-7923-2459-5 .
Leonard Dickson (1914) Algèbres linéaires , Cambridge University Press . Voir §11 « Algèbre des quaternions réels ; sa place unique parmi les algèbres », pages 10 à 12.
RS Palais (1968) "La classification des algèbres de division réelles" American Mathematical Monthly 75:366-8.
Lev Semenovich Pontryagin , Groupes topologiques , page 159, 1966.

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