Moyenne géométrique-harmonique - Geometric–harmonic mean
En mathématiques , la moyenne harmonique géométrique M ( x , y ) de deux nombres réels positifs x et y est définie comme suit: nous formons la moyenne géométrique de g 0 = x et h 0 = y et l'appelons g 1 , c'est-à-dire g 1 est la racine carrée de xy . Nous formons également la moyenne harmonique de x et y et l'appelons h 1 , c'est-à-dire que h 1 est l' inverse de la moyenne arithmétique des réciproques de x et y . Celles-ci peuvent être effectuées séquentiellement (dans n'importe quel ordre) ou simultanément.
Nous pouvons maintenant itérer cette opération avec g 1 à la place de x et h 1 à la place de y . De cette manière, deux séquences interdépendantes ( g n ) et ( h n ) sont définies:
et
Ces deux séquences convergent vers le même nombre, que nous appelons la moyenne géométrique-harmonique M ( x , y ) de x et y . La moyenne géométrique-harmonique est également désignée comme la moyenne harmonique-géométrique . (cf. Wolfram MathWorld ci-dessous.)
L'existence de la limite peut être prouvée au moyen du théorème de Bolzano – Weierstrass d'une manière presque identique à la preuve de l'existence de la moyenne arithmétique-géométrique .
Propriétés
M ( x , y ) est un nombre entre la moyenne géométrique et harmonique de x et y ; en particulier, il est compris entre x et y . M ( x , y ) est également homogène , c'est-à-dire si r > 0, alors M ( rx , ry ) = r M ( x , y ).
Si AG ( x , y ) est la moyenne arithmétique-géométrique , alors nous avons aussi
Les inégalités
Nous avons l'inégalité suivante impliquant les moyennes pythagoriciennes { H , G , A } et les moyennes pythagoriciennes itérées { HG , HA , GA }:
où les moyennes de Pythagore itérées ont été identifiées avec leurs parties { H , G , A } dans l'ordre progressif:
- H ( x , y ) est la moyenne harmonique,
- HG ( x , y ) est la moyenne harmonique-géométrique,
- G ( x , y ) = HA ( x , y ) est la moyenne géométrique (qui est aussi la moyenne arithmétique harmonique),
- GA ( x , y ) est la moyenne géométrique-arithmétique,
- A ( x , y ) est la moyenne arithmétique.