Progression harmonique (mathématiques) - Harmonic progression (mathematics)

Les dix premiers membres de la séquence harmonique . ${\ displaystyle a_ {n} = {\ tfrac {1} {n}}}$

En mathématiques , une progression harmonique (ou séquence harmonique ) est une progression formée en prenant les réciproques d'une progression arithmétique .

De manière équivalente, une séquence est une progression harmonique lorsque chaque terme est la moyenne harmonique des termes voisins.

En tant que troisième caractérisation équivalente, c'est une suite infinie de la forme

${\ displaystyle {\ frac {1} {a}}, \ {\ frac {1} {a + d}}, \ {\ frac {1} {a + 2d}}, \ {\ frac {1} { a + 3d}}, \ cdots,}$

où a n'est pas zéro et - a / d n'est pas un nombre naturel , ou une suite finie de la forme

${\ displaystyle {\ frac {1} {a}}, \ {\ frac {1} {a + d}}, \ {\ frac {1} {a + 2d}}, \ {\ frac {1} { a + 3d}}, \ cdots, \ {\ frac {1} {a + kd}},}$

où a n'est pas zéro, k est un nombre naturel et - a / d n'est pas un nombre naturel ou est supérieur à k .

Exemples

• 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, parfois appelée séquence harmonique
• 12, 6, 4, 3 ,, 2,… ,,… ${\ displaystyle {\ tfrac {12} {5}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {12} {n}}}$
• 30, −30, −10, −6, - ,…, ${\ displaystyle {\ tfrac {30} {7}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {10} {1 - {\ tfrac {2n} {3}}}}}$
• 10, 30, -30, -10, -6, -,…, ${\ displaystyle {\ tfrac {10} {1 - {\ tfrac {2 (n-1)} {3}}}}}$

Sommes de progressions harmoniques

Les progressions harmoniques infinies ne sont pas sommables (somme à l'infini).

Il n'est pas possible pour une progression harmonique de fractions unitaires distinctes (autre que le cas trivial où a = 1 et k = 0) de s'additionner à un entier . La raison en est que, nécessairement, au moins un dénominateur de la progression sera divisible par un nombre premier qui ne divise aucun autre dénominateur.

Utilisation en géométrie

Si les points colinéaires A, B, C et D sont tels que D est le conjugué harmonique de C par rapport à A et B, alors les distances de l'un quelconque de ces points aux trois points restants forment une progression harmonique. Plus précisément, chacune des séquences AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; et DA, DC, DB sont des progressions harmoniques, où chacune des distances est signée selon une orientation fixe de la ligne.

Dans un triangle, si les altitudes sont en progression arithmétique , alors les côtés sont en progression harmonique.

Tour penchée de Lire

Un excellent exemple de progression harmonique est la tour penchée de Lire . Dans celui-ci, des blocs uniformes sont empilés les uns sur les autres pour atteindre la distance latérale ou latérale maximale couverte. Les blocs sont empilés à 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10,… distance latéralement sous le bloc d'origine. Cela garantit que le centre de gravité est juste au centre de la structure afin qu'elle ne s'effondre pas. Une légère augmentation du poids sur la structure la rend instable et tombe.

Voir également

• Progression géométrique
• Série harmonique
• Liste des sommes de réciproques
• Harmoniques (en musique)

Les références

• Maîtriser les mathématiques techniques par Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst, (2007) p. 221
• Tables mathématiques standard de Chemical Rubber Company (1974) p. 102
• Les bases de l'algèbre pour les écoles secondaires par Webster Wells (1897) p. 307