Théorème de Heine-Borel - Heine–Borel theorem

En analyse réelle, le théorème de Heine-Borel , du nom d' Eduard Heine et d' Émile Borel , énonce :

Pour un sous - ensemble S de l' espace euclidien R ⁿ , les deux énoncés suivants sont équivalents :

• S est fermé et borné
• S est compact , c'est-à-dire que chaque couverture ouverte de S a une sous-couverture finie.

Histoire et motivation

L'histoire de ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème de Heine-Borel commence au XIXe siècle, avec la recherche de bases solides d'analyse réelle. Au cœur de la théorie se trouvaient le concept de continuité uniforme et le théorème affirmant que toute fonction continue sur un intervalle fermé est uniformément continue. Peter Gustav Lejeune Dirichlet a été le premier à le prouver et implicitement il a utilisé l'existence d'une sous-couverture finie d'une couverture ouverte donnée d'un intervalle fermé dans sa preuve. Il utilisa cette preuve dans ses conférences de 1852, qui ne furent publiées qu'en 1904. Plus tard, Eduard Heine , Karl Weierstrass et Salvatore Pincherle utilisèrent des techniques similaires. Émile Borel en 1895 a été le premier à énoncer et prouver une forme de ce qu'on appelle maintenant le théorème de Heine-Borel. Sa formulation se limitait aux couvertures dénombrables . Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) et Schoenflies (1900) l'ont généralisé à des couvertures arbitraires.

Preuve

Si un ensemble est compact, alors il doit être fermé.

Soit S un sous-ensemble de R ⁿ . Observez d'abord ce qui suit : si a est un point limite de S , alors toute collection finie C d'ouverts, telle que chaque ouvert U ∈ C est disjoint d'un voisinage V _U de a , n'est pas une couverture de S . En effet, l'intersection de la famille finie d'ensembles V _U est un voisinage W de a dans R ⁿ . Puisque a est un point limite de S , W doit contenir un point x dans S . Ce x ∈ S n'est pas couvert par la famille C , car tout U de C est disjoint de V _U et donc disjoint de W , qui contient x .

Si S est compact mais non fermé, alors il a un point limite a non dans S . Considérons une collection C  ' constitué d'un voisinage N ( x ) pour chaque x ∈ S , choisi assez petit pour ne coupent un voisinage V _x d' un . Ensuite , C  ' est une couverture ouverte de S , mais une sous - collection finie de C  ' a la forme de C discuté précédemment, et ne peut donc être une sous - couverture ouverte de S . Ceci contredit la compacité de S . Par conséquent, chaque point limite de S est dans S , donc S est fermé.

La preuve ci-dessus s'applique presque sans changement pour montrer que tout sous-ensemble compact S d'un espace topologique de Hausdorff X est fermé dans X .

Si un ensemble est compact, alors il est borné.

Soit un ensemble compact dans , et une boule de rayon 1 centrée en . Alors l'ensemble de toutes ces boules centré sur est clairement un couvercle ouvert de , puisqu'il contient tout de . Puisqu'il est compact, prenez une sous-couverture finie de cette couverture. Cette sous-couverture est l'union finie de boules de rayon 1. Considérons toutes les paires de centres de ces boules (en nombre fini) (de rayon 1) et soit le maximum des distances entre elles. Alors si et sont les centres (respectivement) des boules unitaires contenant arbitraire , l'inégalité triangulaire dit : ${\style d'affichage S}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\style d'affichage U_{x}}$${\displaystyle x\in \mathbf {R} ^{n}}$${\style d'affichage x\dans S}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \cup _{x\in S}U_{x}}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage C_{p}}$${\style d'affichage C_{q}}$${\style d'affichage p,q\in S}$

${\style d'affichage d(p,q)\leq d(p,C_{p})+d(C_{p},C_{q})+d(C_{q},q)\leq 1+M+1 =M+2.}$

Le diamètre de est donc borné par . ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage M+2}$

Un sous-ensemble fermé d'un ensemble compact est compact.

Soit K un sous-ensemble fermé d'un ensemble compact T dans R ⁿ et soit C _K un couvercle ouvert de K . Alors U = R ⁿ \ K est un ouvert et

${\displaystyle C_{T}=C_{K}\cup \{U\}}$

est une couverture ouverte de T . Puisque T est compact, alors C _T a une sous-couverture finie qui couvre également le plus petit ensemble K . Puisque U ne contient aucun point de K , l'ensemble K est déjà couvert par ce qui est une sous-collection finie de la collection originale C _K . Il est ainsi possible d'extraire de tout couvercle ouvert C _K de K un sous-couvercle fini. ${\displaystyle C_{T}',}$${\displaystyle C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},}$

Si un ensemble est fermé et borné, alors il est compact.

Si un ensemble S dans R ⁿ est borné, alors il peut être enfermé dans une n -boîte

${\displaystyle T_{0}=[-a,a]^{n}}$

où a > 0. Par la propriété ci-dessus, il suffit de montrer que T ₀ est compact.

Supposons, par contradiction, que T ₀ n'est pas compact. Alors il existe un couvercle ouvert infini C de T ₀ qui n'admet aucun sous-couvercle fini. Par bissection de chacun des côtés de T ₀ , la boîte T ₀ peut être décomposée en 2 ⁿ sous n - boîtes dont chacune a un diamètre égal à la moitié du diamètre de T ₀ . Alors au moins une des 2 ⁿ sections de T ₀ doit nécessiter une sous-couverture infinie de C , sinon C lui-même aurait une sous-couverture finie, en réunissant les couvertures finies des sections. Appelez cette section T ₁ .

De même, les côtés de T ₁ peuvent être coupés en deux, donnant 2 ⁿ sections de T ₁ , dont au moins une doit nécessiter une sous-couverture infinie de C . Continuer de la même manière donne une séquence décroissante de n- boîtes imbriquées :

${\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supset T_{2}\supset \ldots \supset T_{k}\supset \ldots }$

où la longueur du côté de T _k est (2  a ) / 2 ^k , qui tend vers 0 lorsque k tend vers l'infini. Définissons une suite ( x _k ) telle que chaque x _k soit dans T _k . Cette suite est Cauchy, elle doit donc converger vers une limite L . Étant donné que chaque T _k est fermé, et pour chaque k la séquence ( x _k ) est finalement toujours à l' intérieur T _k , on voit que L  ∈  T _k pour chaque k .

Etant donné que C couvre T ₀ , puis il a un certain élément U  ∈ C telle que L  ∈ U . Puisque U est ouvert, il existe une n- boule B ( L ) U . Pour assez grand k , on a T _k ⊆ B ( L ) ⊆ U , mais le nombre infini de membres de C nécessaire pour couvrir T _k peut être remplacé par un seul: U , une contradiction.

Ainsi, T ₀ est compact. Puisque S est fermé et un sous-ensemble de l'ensemble compact T ₀ , alors S est également compact (voir ci-dessus).

Propriété Heine-Borel

Le théorème de Heine-Borel ne tient pas comme indiqué pour les espaces vectoriels métriques et topologiques généraux , et cela donne lieu à la nécessité de considérer des classes spéciales d'espaces où cette proposition est vraie. On les appelle les espaces avec la propriété de Heine-Borel .

Dans la théorie des espaces métriques

Un espace métrique est dit avoir la propriété de Heine-Borel si chaque ensemble borné fermé est compact. ${\style d'affichage (X,d)}$${\style d'affichage X}$

De nombreux espaces métriques n'ont pas la propriété de Heine-Borel, comme l'espace métrique des nombres rationnels (ou même tout espace métrique incomplet). Les espaces métriques complets peuvent également ne pas avoir la propriété ; par exemple, aucun espace de Banach de dimension infinie n'a la propriété de Heine-Borel (comme espaces métriques). Plus trivialement encore, si la ligne réelle n'est pas dotée de la métrique habituelle, elle peut ne pas avoir la propriété Heine-Borel.

Un espace métrique a une métrique de Heine-Borel qui est Cauchy localement identique à si et seulement si elle est complète , -compacte , et localement compacte . ${\style d'affichage (X,d)}$${\style d'affichage d}$${\style d'affichage \sigma }$

Dans la théorie des espaces vectoriels topologiques

Un espace vectoriel topologique est dit avoir la propriété de Heine-Borel (RE Edwards utilise le terme espace compact borné ) si chaque ensemble borné fermé est compact. Aucun espace de Banach de dimension infinie n'a la propriété de Heine-Borel (en tant qu'espace vectoriel topologique). Mais certains espaces de Fréchet de dimension infinie ont, par exemple, l'espace des fonctions lisses sur un ouvert et l'espace des fonctions holomorphes sur un ouvert . Plus généralement, tout espace nucléaire quasi-complet possède la propriété de Heine-Borel. Tous les espaces Montel ont également la propriété Heine-Borel. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle H(\Omega )}$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$

Voir également

• Théorème de Bolzano-Weierstrass

Remarques

Les références

• P. Dugac (1989). « Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet–Heine–Weierstrass–Borel–Schoenflies–Lebesgue ». Cambre. Int. Hist. Sci . 39 : 69-110.
• BookOfProofs : Propriété Heine-Borel
• Jeffreys, H.; Jeffreys, BS (1988). Méthodes de physique mathématique . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 978-0521097239.
• Williamson, R.; Janos, L. (1987). "Métriques de construction avec la propriété Heine-Borel" . Proc. AMS . 100 (3) : 567-573. doi : 10.1090/S0002-9939-1987-0891165-X .
• Kirillov, AA; Gvishiani, AD (1982). Théorèmes et problèmes en analyse fonctionnelle . Springer Verlag New York. ISBN 978-1-4613-8155-6.
• Edwards, RE (1965). Analyse fonctionnelle . Holt, Rinehart et Winston. ISBN 0030505356.

Liens externes

• Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf c. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004). Le théorème de Heine-Borel . Hanovre : Leibniz Universität. Archivé de l'original (avi • mp4 • mov • swf • vidéo en streaming) le 19/07/2011.
• " Théorème de recouvrement de Borel-Lebesgue " , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld "Théorème de Heine-Borel"
• "Une analyse des premières preuves du théorème de Heine-Borel - La preuve de Lebesgue"