Symbole de Hilbert - Hilbert symbol

En mathématiques , le symbole de Hilbert ou symbole de résidu de norme est une fonction (-, -) de K ^× × K ^× au groupe des n èmes racines de l'unité dans un champ local K comme les champs de réels ou les nombres p-adiques . Il est lié aux lois de réciprocité et peut être défini en termes du symbole Artin de la théorie des champs de classe locaux . Le symbole Hilbert a été introduit par David Hilbert  ( 1897 , sections 64, 131, 1998 , traduction anglaise) dans son Zahlbericht , avec la légère différence qu'il l'a défini pour des éléments de champs globaux plutôt que pour les champs locaux plus larges.

Le symbole Hilbert a été généralisé aux champs locaux supérieurs .

Symbole quadratique de Hilbert

Sur un champ local K dont le groupe multiplicatif d'éléments non nuls est K ^× , le symbole quadratique de Hilbert est la fonction (-, -) de K ^× × K ^× à {−1,1} définie par

${\ displaystyle (a, b) = {\ begin {cases} +1, & {\ mbox {if}} z ^ {2} = ax ^ {2} + par ^ {2} {\ mbox {a un non -zéro solution}} (x, y, z) \ in K ^ {3}; \\ - 1, & {\ mbox {sinon.}} \ end {cases}}}$

De manière équivalente, si et seulement si est égal à la norme d'un élément de l'extension quadratique ^{page 109} . ${\ displaystyle (a, b) = 1}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle K [{\ sqrt {a}}]}$

Propriétés

Les trois propriétés suivantes découlent directement de la définition, en choisissant des solutions appropriées de l'équation diophantienne ci-dessus:

• Si a est un carré, alors ( a , b ) = 1 pour tout b .
• Pour tout a , b dans K ^× , ( a , b ) = ( b , a ).
• Pour tout a dans K ^× tel que a −1 soit aussi dans K ^× , on a ( a , 1− a ) = 1.

La (bi) multiplicativité, c'est-à-dire

( a , b ₁ b ₂ ) = ( a , b ₁ ) · ( a , b ₂ )

pour tout a , b ₁ et b ₂ dans K ^× est, cependant, plus difficile à prouver, et nécessite le développement de la théorie locale des champs de classes .

La troisième propriété montre que le symbole de Hilbert est un exemple de symbole de Steinberg et donc des facteurs sur le deuxième groupe K de Milnor , qui est par définition ${\ displaystyle K_ {2} ^ {M} (K)}$

K ^× ⊗ K ^× / ( a ⊗ (1− a) , a ∈ K ^× \ {1})

Par la première propriété, il prend même en compte . C'est le premier pas vers la conjecture de Milnor . ${\ displaystyle K_ {2} ^ {M} (K) / 2}$

Interprétation comme algèbre

Le symbole de Hilbert peut également être utilisé pour désigner l' algèbre centrale simple sur K à base 1, i , j , k et multiplication des règles , , . Dans ce cas, l'algèbre représente un élément d'ordre 2 dans le groupe de Brauer de K , qui s'identifie à -1 s'il s'agit d'une algèbre de division et à +1 s'il est isomorphe à l'algèbre des matrices 2 par 2. ${\ displaystyle i ^ {2} = a}$${\ displaystyle j ^ {2} = b}$${\ displaystyle ij = -ji = k}$

Symboles de Hilbert sur les rationnels

Pour une place v du champ des nombres rationnels et des nombres rationnels a , b, on note ( a , b ) _v la valeur du symbole de Hilbert dans la complétion correspondante Q _v . Comme d'habitude, si v est la valorisation attachée à un nombre premier p alors la complétion correspondante est le champ p-adique et si v est la place infinie alors la complétion est le champ de nombres réels .

Sur les réels, ( a , b ) _∞ vaut +1 si au moins l'un de a ou b est positif, et −1 si les deux sont négatifs.

Sur les p-adics avec p impair, l'écriture et , où u et v sont des entiers coprime à p , on a ${\ displaystyle a = p ^ {\ alpha} u}$${\ displaystyle b = p ^ {\ beta} v}$

${\ displaystyle (a, b) _ {p} = (- 1) ^ {\ alpha \ beta \ epsilon (p)} \ left ({\ frac {u} {p}} \ right) ^ {\ beta} \ gauche ({\ frac {v} {p}} \ droite) ^ {\ alpha}}$ , où ${\ displaystyle \ epsilon (p) = (p-1) / 2}$

et l'expression implique deux symboles de Legendre .

Sur les 2-adiques, à nouveau en écrivant et , où u et v sont des nombres impairs , nous avons ${\ displaystyle a = 2 ^ {\ alpha} u}$${\ displaystyle b = 2 ^ {\ beta} v}$

${\ displaystyle (a, b) _ {2} = (- 1) ^ {\ epsilon (u) \ epsilon (v) + \ alpha \ omega (v) + \ beta \ omega (u)}}$ , où ${\ displaystyle \ omega (x) = (x ^ {2} -1) / 8.}$

On sait que si v s'étend sur tous les lieux, ( a , b ) _v vaut 1 pour presque tous les lieux. Par conséquent, la formule de produit suivante

${\ displaystyle \ prod _ {v} (a, b) _ {v} = 1}$

logique. C'est l'équivalent de la loi de la réciprocité quadratique .

Radical Kaplansky

Le symbole Hilbert sur un champ F définit une carte

${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot): F ^ {*} / F ^ {* 2} \ times F ^ {*} / F ^ {* 2} \ rightarrow \ mathop {Br} (F)}$

où Br ( F ) est le groupe de Brauer F . Le noyau de cette application, les éléments de telle sorte que ( a , b ) = 1 pour tout b , est le radical Kaplansky de F .

Le radical est un sous-groupe de F ^* / F ^{* 2} , identifié avec un sous-groupe de F ^* . Le radical est égal à F ^* si et seulement si F a u -invariant au plus 2. Dans la direction opposée, un corps de radical F ^{* 2} est appelé un champ de Hilbert .

Le symbole général Hilbert

Si K est un champ local contenant le groupe des n ièmes racines de l'unité pour un entier positif n premier à la caractéristique de K , alors le symbole de Hilbert (,) est une fonction de K * × K * à μ _n . En termes de symbole Artin, il peut être défini par

${\ displaystyle (a, b) {\ sqrt [{n}] {b}} = (a, K ({\ sqrt [{n}] {b}}) / K) {\ sqrt [{n}] {b}}}$

Hilbert a défini à l'origine le symbole de Hilbert avant la découverte du symbole Artin, et sa définition (pour n premier) utilisait le symbole de résidu de puissance lorsque K a une caractéristique de résidu coprime à n , et était plutôt compliquée lorsque K a une caractéristique de résidu divisant n .

Propriétés

Le symbole de Hilbert est (multiplicativement) bilinéaire:

( ab , c ) = ( a , c ) ( b , c )

( a , bc ) = ( a , b ) ( a , c )

inclinaison symétrique:

( a , b ) = ( b , a ) ⁻¹

non dégénéré:

( a , b ) = 1 pour tout b si et seulement si a est dans K * ⁿ

Il détecte les normes (d'où le nom symbole de résidu de norme):

( a , b ) = 1 si et seulement si a est une norme d'un élément dans K ( ⁿ √ b )

Il a les propriétés "symbole" :

( a , 1– a ) = 1, ( a , –a) = 1.

La loi de réciprocité de Hilbert

La loi de réciprocité de Hilbert stipule que si a et b sont dans un champ de nombres algébriques contenant les n ièmes racines de l'unité, alors

${\ displaystyle \ prod _ {p} (a, b) _ {p} = 1}$

où le produit est sur les nombres premiers p finis et infinis du corps numérique, et où (,) _p est le symbole de Hilbert de la complétion en p . La loi de réciprocité de Hilbert découle de la loi de réciprocité Artin et de la définition du symbole Hilbert en termes du symbole Artin.

Symbole de résidu de puissance

Si K est un champ numérique contenant les n ièmes racines de l'unité, p est un idéal premier ne divisant pas n , π est un élément premier du champ local de p , et a est le premier de p , alors le symbole du résidu de puissance ( ^un
_p ) est lié au symbole Hilbert par

${\ displaystyle {\ binom {a} {p}} = (\ pi, a) _ {p}}$

Le symbole du résidu de puissance est étendu aux idéaux fractionnaires par multiplicativité, et défini pour les éléments du champ numérique en mettant ( ^un
_b ) = ( ^a
_{( b )} ) où ( b ) est l'idéal principal généré par b . La loi de réciprocité de Hilbert implique alors la loi de réciprocité suivante pour le symbole résiduel, pour a et b premiers entre eux et pour n :

${\ displaystyle {\ binom {a} {b}} = {\ binom {b} {a}} \ prod _ {p | n, \ infty} (a, b) _ {p}}$

Voir également

• Algèbre d'Azumaya

Liens externes

• "Symbole de résidu de norme" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• HilbertSymbol chez Mathworld

Références

• Borevich, ZI ; Shafarevich, IR (1966), Théorie des nombres , Academic Press, ISBN   0-12-117851-X , Zbl   0145.04902
• Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en allemand), 4 : 175-546, ISSN   0012-0456
• Hilbert, David (1998), La théorie des champs de nombres algébriques , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-62779-1 , MR   1646901
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields , Graduate Studies in Mathematics , 67 , American Mathematical Society , ISBN   0-8218-1095-2 , Zbl   1068.11023
• Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K -theory , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton University Press , MR   0349811 , Zbl   0237.18005
• Neukirch, Jürgen (1999), Théorie algébrique des nombres , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322 , Traduit de l'allemand par Norbert Schappacher, Berlin: Springer-Verlag , ISBN   3-540-65399-6 , Zbl   0956.11021
• Serre, Jean-Pierre (1996), A Course in Arithmetic , Graduate Texts in Mathematics , 7 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-90040-5 , Zbl   0256.12001
• Vostokov, SV; Fesenko, IB (2002), Local fields and their extensions , Translations of Mathematical Monographs, 121 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN   978-0-8218-3259-2 , Zbl   1156.11046