Ordre du quaternion Hurwitz - Hurwitz quaternion order

L' ordre de quaternions de Hurwitz est un ordre spécifique dans une algèbre de quaternions sur un champ de nombres approprié . L'ordre est d'une importance particulière dans la théorie des surfaces de Riemann , en relation avec les surfaces à symétrie maximale , à savoir les surfaces de Hurwitz . L'ordre de quaternion de Hurwitz a été étudié en 1967 par Goro Shimura , mais d'abord explicitement décrit par Noam Elkies en 1998. Pour un autre usage du terme, voir Hurwitz quaternion (les deux usages sont courants dans la littérature).

Définition

Soit le sous-champ réel maximal de où est une 7ème racine primitive de l'unité . L' anneau d'entiers de est , où l'élément peut être identifié avec le réel positif . Soit l' algèbre des quaternions , ou l'algèbre des symboles ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle (\ rho)}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ eta]}$${\ displaystyle \ eta = \ rho + {\ bar {\ rho}}}$${\ displaystyle 2 \ cos ({\ tfrac {2 \ pi} {7}})}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle D: = \, (\ eta, \ eta) _ {K},}$

de sorte que et dans Aussi laissez et . Laisser ${\ displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = \ eta}$${\ displaystyle ij = -ji}$${\ displaystyle D.}$${\ displaystyle \ tau = 1 + \ eta + \ eta ^ {2}}$${\ displaystyle j '= {\ tfrac {1} {2}} (1+ \ eta i + \ tau j)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}} = \ mathbb {Z} [\ eta] [i, j, j '].}$

Alors est un ordre maximal de , décrit explicitement par Noam Elkies . ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}}$${\ displaystyle D}$

Structure du module

La commande est également générée par des éléments ${\ displaystyle Q _ {\ mathrm {Hur}}}$

${\ displaystyle g_ {2} = {\ tfrac {1} {\ eta}} ij}$

et

${\ displaystyle g_ {3} = {\ tfrac {1} {2}} (1 + (\ eta ^ {2} -2) j + (3- \ eta ^ {2}) ij).}$

En fait, la commande est un module gratuit sur la base . Ici les générateurs satisfont les relations ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ eta]}$${\ displaystyle \, 1, g_ {2}, g_ {3}, g_ {2} g_ {3}}$

${\ displaystyle g_ {2} ^ {2} = g_ {3} ^ {3} = (g_ {2} g_ {3}) ^ {7} = - 1,}$

qui descendent aux relations appropriées dans le groupe triangulaire (2,3,7) , après quotienting par le centre.

Principaux sous-groupes de congruence

Le sous-groupe principal de congruence défini par un idéal est par définition le groupe ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {Z} [\ eta]}$

${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}} ^ {1} (I) = \ {x \ in {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}} ^ {1} : x \ equiv 1 (}$ mod ${\ displaystyle I {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}) \},}$

à savoir, le groupe d'éléments de norme réduite 1 en équivalent à 1 modulo l'idéal . Le groupe fuchsien correspondant est obtenu comme l'image du sous-groupe de congruence principal sous une représentation à P SL (2, R) . ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}}$${\ displaystyle I {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}}$

Application

L'ordre a été utilisé par Katz, Schaps et Vishne pour construire une famille de surfaces de Hurwitz satisfaisant une limite inférieure asymptotique pour la systole: où g est le genre, améliorant un résultat antérieur de Peter Buser et Peter Sarnak ; voir systoles de surfaces . ${\ displaystyle sys> {\ frac {4} {3}} \ log g}$

Voir également

• (2,3,7) groupe triangulaire
• Klein quartique
• Surface Macbeath
• Premier triplé Hurwitz

Références