Matrice idempotente - Idempotent matrix

En algèbre linéaire , une matrice idempotente est une matrice qui, multipliée par elle-même, se donne. C'est-à-dire que la matrice est idempotente si et seulement si . Pour que ce produit soit défini , il faut nécessairement qu'il s'agisse d'une matrice carrée . Vues de cette façon, les matrices idempotentes sont des éléments idempotents des anneaux matriciels . ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A^{2}=A}$${\style d'affichage A^{2}}$${\style d'affichage A}$

Exemple

Des exemples de matrices idempotentes sont : ${\style d'affichage 2\fois 2}$

Des exemples de matrices idempotentes sont : ${\style d'affichage 3\fois 3}$

Boîtier réel 2 × 2

Si une matrice est idempotente, alors ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle a=a^{2}+bc,}$
• ${\style d'affichage b=ab+bd,}$ce qui implique ou${\style d'affichage b(1-annonce)=0}$${\style d'affichage b=0}$${\style d'affichage d=1-a,}$
• ${\style d'affichage c=ca+cd,}$ce qui implique ou${\style d'affichage c(1-annonce)=0}$${\style d'affichage c=0}$${\style d'affichage d=1-a,}$
• ${\style d'affichage d=bc+d^{2}.}$

Ainsi, une condition nécessaire pour qu'une matrice 2 × 2 soit idempotente est qu'elle soit diagonale ou que sa trace soit égale à 1. Pour les matrices diagonales idempotentes, et doit être soit 1 soit 0. ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage d}$

Si , la matrice sera idempotente à condition que a satisfasse l' équation quadratique${\style d'affichage b=c}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$${\style d'affichage a^{2}+b^{2}=a,}$

${\style d'affichage a^{2}-a+b^{2}=0,}$ ou ${\displaystyle \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}$

qui est un cercle de centre (1/2, 0) et de rayon 1/2. En termes d'angle ,

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}$ est idempotent.

Cependant, n'est pas une condition nécessaire : toute matrice ${\style d'affichage b=c}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}$avec est idempotent.${\style d'affichage a^{2}+bc=a}$

Propriétés

Singularité et régularité

La seule matrice idempotente non singulière est la matrice identité ; c'est-à-dire que si une matrice de non-identité est idempotente, son nombre de lignes (et de colonnes) indépendantes est inférieur à son nombre de lignes (et de colonnes).

Cela peut être vu en écrivant , en supposant que A a un rang complet (est non singulier), et en pré-multipliant par pour obtenir . ${\style d'affichage A^{2}=A}$${\style d'affichage A^{-1}}$${\displaystyle A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I}$

Lorsqu'une matrice idempotente est soustraite de la matrice identité, le résultat est également idempotent. Cela tient depuis

${\style d'affichage (IA)(IA)=IA-A+A^{2}=IA-A+A=IA.}$

Si une matrice A est idempotente alors pour tous les entiers positifs n, . Ceci peut être démontré en utilisant la preuve par induction. Nous avons clairement le résultat pour , comme . Supposons que . Alors, , puisque A est idempotent. Par conséquent, par le principe d'induction, le résultat suit. ${\style d'affichage A^{n}=A}$${\style d'affichage n=1}$${\style d'affichage A^{1}=A}$${\style d'affichage A^{k-1}=A}$${\style d'affichage A^{k}=A^{k-1}A=AA=A}$

Valeurs propres

Une matrice idempotente est toujours diagonalisable et ses valeurs propres sont soit 0, soit 1.

Trace

La trace d'une matrice idempotente - la somme des éléments sur sa diagonale principale - est égale au rang de la matrice et est donc toujours un entier. Cela fournit un moyen facile de calculer le rang, ou alternativement un moyen facile de déterminer la trace d'une matrice dont les éléments ne sont pas spécifiquement connus (ce qui est utile en statistique , par exemple, pour établir le degré de biais en utilisant une variance d'échantillon comme une estimation d'une variance de population ).

Relations entre matrices idempotentes

Dans l'analyse de régression, la matrice est connue pour produire les résidus de la régression du vecteur de variables dépendantes sur la matrice de covariables . (Voir la section sur les applications.) Soit maintenant une matrice formée d'un sous-ensemble des colonnes de , et soit . Il est facile de montrer que les deux et sont idempotents, mais un fait quelque peu surprenant est que . C'est parce que , ou en d'autres termes, les résidus de la régression des colonnes de on sont 0 car ils peuvent être parfaitement interpolés car il s'agit d'un sous-ensemble de (par substitution directe, il est également simple de montrer que ). Cela conduit à deux autres résultats importants : l'un est symétrique et idempotent, et l'autre est que , c'est-à- dire orthogonal à . Ces résultats jouent un rôle clé, par exemple, dans la dérivation du test F. ${\style d'affichage M=IX(X'X)^{-1}X'}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X_{1}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage M_{1}}$${\style d'affichage MM_{1}=M}$${\style d'affichage MX_{1}=0}$${\style d'affichage X_{1}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X_{1}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage MX=0}$${\style d'affichage (M_{1}-M)}$${\style d'affichage (M_{1}-M)M=0}$${\style d'affichage (M_{1}-M)}$${\style d'affichage M}$

Applications

Les matrices idempotentes apparaissent fréquemment dans l'analyse de régression et l' économétrie . Par exemple, dans les moindres carrés ordinaires , le problème de régression est de choisir un vecteur β des estimations de coefficients de façon à minimiser la somme des carrés des résidus (les mauvaises prédictions) e _i : sous forme de matrice,

Minimiser ${\displaystyle (yX\beta )^{\textsf {T}}(yX\beta )}$

où est un vecteur d' observations de variables dépendantes , et est une matrice dont chacune des colonnes est une colonne d'observations sur l'une des variables indépendantes . L'estimateur résultant est ${\style d'affichage y}$${\style d'affichage X}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y}$

où l'exposant T indique une transposition et le vecteur des résidus est

${\displaystyle {\hat {e}}=yX{\hat {\beta }}=yX\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T }}y=\left[IX\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=Mon.}$

Ici, et (cette dernière étant connue sous le nom de matrice chapeau ) sont des matrices idempotentes et symétriques, ce qui permet une simplification lorsque la somme des résidus au carré est calculée : ${\style d'affichage M}$${\displaystyle X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}}$

${\displaystyle {\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(Mon)^{\textsf {T}}(Mon)=y^{\textsf {T}} M^{\textsf {T}}Mon=a^{\textsf {T}}MMy=a^{\textsf {T}}Mon.}$

L'idempotence de joue également un rôle dans d'autres calculs, tels que la détermination de la variance de l'estimateur . ${\style d'affichage M}$${\displaystyle {\hat {\beta }}}$

Un opérateur linéaire idempotent est un opérateur de projection sur l' espace de plage le long de son espace nul . est un opérateur de projection orthogonal si et seulement s'il est idempotent et symétrique . ${\style d'affichage P}$ ${\style d'affichage R(P)}$ ${\style d'affichage N(P)}$${\style d'affichage P}$

Voir également

• Idempotence
• Nilpotent
• Projection (algèbre linéaire)
• Matrice de chapeau

Les références