Matrice Carrée - Square matrix

Une matrice carrée d'ordre 4. Les entrées forment la diagonale principale d'une matrice carrée. Par exemple, la diagonale principale de la matrice 4×4 ci-dessus contient les éléments a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 .${\displaystyle a_{ii}}$

En mathématiques , une matrice carrée est une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnes. Une matrice n par n est connue sous le nom de matrice carrée d'ordre . Deux matrices carrées du même ordre peuvent être additionnées et multipliées. ${\style d'affichage n}$

Les matrices carrées sont souvent utilisées pour représenter des transformations linéaires simples , telles que le cisaillement ou la rotation . Par exemple, si est une matrice carrée représentant une rotation ( matrice de rotation ) et est un vecteur colonne décrivant la position d'un point dans l'espace, le produit donne un autre vecteur colonne décrivant la position de ce point après cette rotation. Si est un vecteur ligne , la même transformation peut être obtenue en utilisant , où est la transposée de .${\style d'affichage R}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle R\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} R^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$${\style d'affichage R}$

Diagonale principale

Les entrées ( i = 1, …, n ) forment la diagonale principale d'une matrice carrée. Ils se trouvent sur la ligne imaginaire qui va du coin supérieur gauche au coin inférieur droit de la matrice. Par exemple, la diagonale principale de la matrice 4×4 ci-dessus contient les éléments a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 . ${\displaystyle a_{ii}}$

La diagonale d'une matrice carrée du coin supérieur droit au coin inférieur gauche est appelée antidiagonale ou contre - diagonale .

Types spéciaux

Nom	Exemple avec n = 3
Matrice diagonale	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Matrice triangulaire inférieure	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Matrice triangulaire supérieure	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

Matrice diagonale ou triangulaire

Si toutes les entrées en dehors de la diagonale principale sont nulles, on parle de matrice diagonale . Si seulement toutes les entrées au-dessus (ou au-dessous) de la diagonale principale sont nulles, on parle de matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) . ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$

Matrice d'identité

La matrice identité de taille est la matrice dans laquelle tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et tous les autres éléments sont égaux à 0, par exemple ${\style d'affichage I_{n}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n\ fois n}$

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

C'est une matrice carrée d' ordre , et aussi un type particulier de matrice diagonale . On l'appelle matrice d'identité parce que la multiplication avec elle laisse une matrice inchangée : ${\style d'affichage n}$

AI _n = I _m A = A pour toutematrice m par n .${\style d'affichage A}$

Matrice inversible et son inverse

Une matrice carrée est dite inversible ou non singulière s'il existe une matrice telle que ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$

${\displaystyle AB=BA=I_{n}.}$

Si elle existe, elle est unique et est appelée matrice inverse de , notée .${\style d'affichage B}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A^{-1}}$

Matrice symétrique ou antisymétrique

Une matrice carrée égale à sa transposée, c'est-à-dire , est une matrice symétrique . Si à la place , alors s'appelle une matrice antisymétrique . ${\style d'affichage A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$${\style d'affichage A}$

Pour une matrice carrée complexe , souvent l'analogue approprié de la transposée est la transposée conjuguée , définie comme la transposée du conjugué complexe de . Une matrice carrée complexe satisfaisant s'appelle une matrice hermitienne . Si à la place , alors s'appelle une matrice anti-hermitienne . ${\style d'affichage A}$ ${\style d'affichage A^{*}}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A^{*}=A}$${\style d'affichage A^{*}=-A}$${\style d'affichage A}$

Par le théorème spectral , les matrices symétriques réelles (ou hermitiennes complexes) ont une base propre orthogonale (ou unitaire) ; c'est-à-dire que chaque vecteur est exprimable comme une combinaison linéaire de vecteurs propres. Dans les deux cas, toutes les valeurs propres sont réelles.

Matrice définie

Définie positive	Indéfini
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}}$
Q ( x , y ) = 1/4 x 2 + y 2	Q ( x , y ) = 1/4 x 2 − 1/4 y 2
Points tels que Q ( x , y ) = 1 ( Ellipse ).	Points tels que Q ( x , y ) = 1 ( Hyperbole ).

Une matrice symétrique n × n est dite positive-définie (respectivement négative-définie ; indéfinie), si pour tous les vecteurs non nuls la forme quadratique associée donnée par ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Q ( x ) = x ^T A x

ne prend que des valeurs positives (respectivement uniquement des valeurs négatives ; à la fois des valeurs négatives et des valeurs positives). Si la forme quadratique ne prend que des valeurs non négatives (respectivement uniquement non positives), la matrice symétrique est dite positive-semi-définie (respectivement négative-semi-définie) ; donc la matrice est indéfinie précisément quand elle n'est ni semi-définie positive ni semi-définie négative.

Une matrice symétrique est définie positivement si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. Le tableau de droite montre deux possibilités pour les matrices 2×2.

En admettant en entrée deux vecteurs différents, on obtient à la place la forme bilinéaire associée à A :

B _A ( x , y ) = x ^T A y .

Matrice orthogonale

Une matrice orthogonale est une matrice carrée avec des entrées réelles dont les colonnes et les lignes sont des vecteurs unitaires orthogonaux (c'est-à-dire des vecteurs orthonormés ). De manière équivalente, une matrice A est orthogonale si sa transposée est égale à son inverse :

${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},}$

ce qui implique

${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,}$

où I est la matrice identité .

Une matrice orthogonale A est nécessairement inversible (avec inverse A ⁻¹ = A ^T ), unitaire ( A ⁻¹ = A * ), et normale ( A * A = AA * ). Le déterminant de toute matrice orthogonale est soit +1 soit -1. Le groupe orthogonal spécial est constitué des matrices orthogonales n × n de déterminant +1. ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

L' analogue complexe d'une matrice orthogonale est une matrice unitaire .

Matrice normale

Une matrice carrée réelle ou complexe est dite normale si . Si une matrice carrée réelle est symétrique, asymétrique ou orthogonale, alors elle est normale. Si une matrice carrée complexe est hermitienne, skew-hermitienne ou unitaire, alors elle est normale. Les matrices normales sont intéressantes principalement parce qu'elles incluent les types de matrices que nous venons d'énumérer et forment la classe de matrices la plus large pour laquelle le théorème spectral est valable. ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A^{*}A=AA^{*}}$

Opérations

Trace

La trace , tr( A ) d'une matrice carrée A est la somme de ses entrées diagonales. Alors que la multiplication matricielle n'est pas commutative, la trace du produit de deux matrices est indépendante de l'ordre des facteurs :

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$

Ceci est immédiat à partir de la définition de la multiplication matricielle :

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$

De plus, la trace d'une matrice est égale à celle de sa transposée, c'est-à-dire

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).}$

Déterminant

Une transformation linéaire sur donnée par la matrice indiquée. Le déterminant de cette matrice est -1, car l'aire du parallélogramme vert à droite est 1, mais la carte inverse l' orientation , puisqu'elle transforme l'orientation antihoraire des vecteurs en une orientation horaire.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Le déterminant ou d'une matrice carrée est un nombre codant certaines propriétés de la matrice. Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Sa valeur absolue est égale à l'aire (en ) ou au volume (en ) de l'image du carré (ou du cube) unité, tandis que son signe correspond à l'orientation de la carte linéaire correspondante : le déterminant est positif si et seulement si l'orientation est conservé. ${\style d'affichage \det(A)}$${\style d'affichage |A|}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Le déterminant des matrices 2×2 est donné par

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$

Le déterminant des matrices 3×3 fait intervenir 6 termes ( règle de Sarrus ). La formule de Leibniz plus longue généralise ces deux formules à toutes les dimensions.

Le déterminant d'un produit de matrices carrées est égal au produit de leurs déterminants :

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$

L'ajout d'un multiple de n'importe quelle ligne à une autre ligne, ou d'un multiple de n'importe quelle colonne à une autre colonne, ne modifie pas le déterminant. L'échange de deux lignes ou de deux colonnes affecte le déterminant en le multipliant par -1. En utilisant ces opérations, n'importe quelle matrice peut être transformée en une matrice triangulaire inférieure (ou supérieure), et pour de telles matrices, le déterminant est égal au produit des entrées sur la diagonale principale ; ceci fournit une méthode pour calculer le déterminant de n'importe quelle matrice. Enfin, le développement de Laplace exprime le déterminant en termes de mineurs , c'est-à-dire des déterminants de matrices plus petites. Ce développement peut être utilisé pour une définition récursive de déterminants (en prenant comme cas de départ le déterminant d'une matrice 1×1, qui est son unique entrée, ou encore le déterminant d'une matrice 0×0, qui vaut 1), qui peut être équivalent à la formule de Leibniz. Les déterminants peuvent être utilisés pour résoudre des systèmes linéaires à l' aide de la règle de Cramer , où la division des déterminants de deux matrices carrées liées équivaut à la valeur de chacune des variables du système.

Valeurs propres et vecteurs propres

Un nombre et un vecteur non nul satisfaisant ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

sont appelées valeur propre et vecteur propre de , respectivement. Le nombre λ est une valeur propre d'une n × n -matrice A si et seulement si A − λ I _n n'est pas inversible, ce qui équivaut à ${\style d'affichage A}$

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$

Le polynôme p _A dans un X indéterminé donné par évaluation du déterminant det( XI _n − A ) est appelé polynôme caractéristique de A . C'est un polynôme monique de degré n . L'équation polynomiale p _A (λ) = 0 a donc au plus n solutions différentes, c'est-à-dire valeurs propres de la matrice. Ils peuvent être complexes même si les entrées de A sont réelles. Selon le théorème de Cayley-Hamilton , p _A ( A ) = 0 , c'est-à-dire que le résultat de la substitution de la matrice elle-même dans son propre polynôme caractéristique donne la matrice zéro .

Voir également

• Matrice de cartan

Remarques

Les références

• Brown, William C. (1991), Matrices et espaces vectoriels , New York, NY : Marcel Dekker , ISBN 978-0-8247-8419-5
• Corne, Roger A. ; Johnson, Charles R. (1985), Analyse matricielle , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Mirsky, Leonid (1990), Une introduction à l'algèbre linéaire , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

Liens externes

• Médias liés aux matrices carrées sur Wikimedia Commons