Théorème de continuité de Kolmogorov - Kolmogorov continuity theorem

En mathématiques , le théorème de continuité de Kolmogorov est un théorème qui garantit qu'un processus stochastique qui satisfait certaines contraintes sur les moments de ses incréments sera continu (ou, plus précisément, aura une "version continue"). Il est crédité au mathématicien soviétique Andrey Nikolaevich Kolmogorov .

Déclaration

Soit un espace métrique complet, et soit un processus stochastique. Supposons que pour tous les temps , il existe des constantes positives telles que ${\ displaystyle (S, d)}$ ${\ displaystyle X \ colon [0, + \ infty) \ times \ Omega \ to S}$ ${\ displaystyle T> 0}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, K}$

{\ displaystyle \ mathbb {E} [d (X_ {t}, X_ {s}) ^ {\ alpha}] \ leq K | ts | ^ {1+ \ beta}}

pour tous . Alors il existe une modification de cela est un processus continu, c'est-à-dire un processus tel que ${\ displaystyle 0 \ leq s, t \ leq T}$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} \ colon [0, + \ infty) \ times \ Omega \ to S}$

${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$ est un échantillon continu ;
pour chaque fois , ${\ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {t} = {\ tilde {X}} _ {t}) = 1.}$

De plus, les chemins de sont localement -Hölder-continus pour tout . ${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle 0 <\ gamma <{\ tfrac {\ beta} {\ alpha}}}$

Exemple

Dans le cas de mouvement brownien sur , le choix des constantes , , travaillera dans le théorème de continuité Kolmogorov. De plus, pour tout entier positif , les constantes , travailleront, pour une valeur positive de qui dépend et . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha = 4}$ ${\ displaystyle \ beta = 1}$ ${\ Displaystyle K = n (n + 2)}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ alpha = 2m}$ ${\ displaystyle \ beta = m-1}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$