Théorème d'extension de Kolmogorov - Kolmogorov extension theorem

En mathématiques , le théorème d'extension de Kolmogorov (également connu sous le nom de théorème d'existence de Kolmogorov , le théorème de cohérence de Kolmogorov ou le théorème de Daniell-Kolmogorov ) est un théorème qui garantit qu'une collection convenablement « cohérente » de distributions de dimension finie définira un processus stochastique . Il est attribué au mathématicien anglais Percy John Daniell et au mathématicien russe Andrey Nikolaevich Kolmogorov .

Énoncé du théorème

Soit un intervalle (considéré comme « temps »), et soit . Pour chaque séquence finie de temps distincts , soit une mesure de probabilité sur . Supposons que ces mesures satisfassent à deux conditions de cohérence : ${\style d'affichage T}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}\in T}$${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{k}}$

1. pour toutes les permutations de et ensembles mesurables , ${\style d'affichage \pi }$${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nu _{t_{\pi (1)}\dots t_{\pi (k)}}\left(F_{\pi (1)}\times \dots \times F_{\pi (k) }\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right);}$

2. pour tous les ensembles mesurables ,${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_ {k},t_{k+1},\dots ,t_{k+m}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{ n}\times \dots \times \mathbb {R} ^{n}} _{m}\right).}$

Il existe alors un espace de probabilité et un processus stochastique tels que ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\mathbb {P} \left(X_{t_ {1}}\in F_{1},\dots ,X_{t_{k}}\in F_{k}\right)}$

pour tout , et des ensembles mesurables , c'est à dire a pour ses distributions de dimension finie par rapport aux temps . ${\displaystyle t_{i}\in T}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$

En fait, il est toujours possible de prendre comme espace de probabilité sous-jacent et de prendre pour le processus canonique . Par conséquent, une autre façon d'énoncer le théorème d'extension de Kolmogorov est que, à condition que les conditions de cohérence ci-dessus soient vérifiées, il existe une mesure (unique) sur avec des marginales pour toute collection finie de temps . Le théorème d'extension de Kolmogorov s'applique quand est indénombrable, mais le prix à payer pour ce niveau de généralité est que la mesure n'est définie que sur le produit -algèbre de , qui n'est pas très riche. ${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle X\colon (t,Y)\mapsto Y_{t}}$${\style d'affichage \nu }$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{T}}$${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage \nu }$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{T}}$

Explication des conditions

Les deux conditions requises par le théorème sont trivialement satisfaites par tout processus stochastique. Par exemple, considérons un processus stochastique en temps discret à valeur réelle . Ensuite, la probabilité peut être calculée comme ou comme . Par conséquent, pour que les distributions de dimension finie soient cohérentes, il faut que . La première condition généralise cette instruction pour qu'elle soit valable pour un nombre quelconque de points dans le temps et pour tous les ensembles de contrôles . ${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}<0)}$${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})}$${\displaystyle \nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})}$${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})=\nu _{2,1}(\mathbb {R} _{ -}\times \mathbb {R} _{+})}$${\style d'affichage t_{i}}$${\style d'affichage F_{i}}$

Poursuivant l'exemple, la deuxième condition implique que . C'est aussi une condition triviale qui sera satisfaite par toute famille cohérente de distributions de dimension finie. ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0)=\mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}\in \mathbb {R} )}$

Implications du théorème

Puisque les deux conditions sont trivialement satisfaites pour tout processus stochastique, la puissance du théorème est qu'aucune autre condition n'est requise : Pour toute famille raisonnable (c'est-à-dire cohérente) de distributions de dimension finie, il existe un processus stochastique avec ces distributions.

L'approche théorique de la mesure des processus stochastiques commence par un espace de probabilité et définit un processus stochastique comme une famille de fonctions sur cet espace de probabilité. Cependant, dans de nombreuses applications, le point de départ est en réalité les distributions de dimension finie du processus stochastique. Le théorème dit qu'à condition que les distributions de dimension finie satisfassent aux exigences évidentes de cohérence, on peut toujours identifier un espace de probabilité pour correspondre à l'objectif. Dans de nombreuses situations, cela signifie qu'il n'est pas nécessaire d'être explicite sur ce qu'est l'espace de probabilité. De nombreux textes sur les processus stochastiques supposent, en effet, un espace de probabilité mais n'indiquent jamais explicitement ce qu'il est.

Le théorème est utilisé dans l'une des preuves standard de l'existence d'un mouvement brownien , en spécifiant que les distributions dimensionnelles finies sont des variables aléatoires gaussiennes, satisfaisant les conditions de cohérence ci-dessus. Comme dans la plupart des définitions du mouvement brownien, il est nécessaire que les chemins d'échantillonnage soient continus presque sûrement, et on utilise alors le théorème de continuité de Kolmogorov pour construire une modification continue du processus construit par le théorème d'extension de Kolmogorov.

Forme générale du théorème

Le théorème d'extension de Kolmogorov nous donne les conditions pour qu'une collection de mesures sur les espaces euclidiens soit les distributions de dimension finie d'un processus stochastique à valeurs - mais l'hypothèse que l'espace d'état soit est inutile. En fait, toute collection d'espaces mesurables avec une collection de mesures internes régulières définies sur les produits finis de ces espaces suffirait, à condition que ces mesures satisfassent à une certaine relation de compatibilité. L'énoncé formel du théorème général est le suivant. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Soit n'importe quel ensemble. Soit une collection d'espaces mesurables, et pour chacun , soit une topologie de Hausdorff sur . Pour chaque sous-ensemble fini , définissez ${\style d'affichage T}$${\displaystyle \{(\Omega _{t},{\mathcal {F}}_{t})\}_{t\in T}}$${\style d'affichage t\in T}$${\displaystyle \tau _{t}}$${\displaystyle \Omega _{t}}$${\displaystyle J\sous-ensemble T}$

${\displaystyle \Omega _{J}:=\prod _{t\in J}\Omega _{t}}$.

Pour les sous - ensembles , notons la carte de projection canonique . ${\style d'affichage I\sous-ensemble J\sous-ensemble T}$${\displaystyle \pi _{I}^{J}:\Omega _{J}\to \Omega _{I}}$${\displaystyle \omega \mapsto \omega |_{I}}$

Pour chaque sous-ensemble fini , supposons que nous ayons une mesure de probabilité sur laquelle est interne régulière par rapport à la topologie du produit (induite par le ) sur . Supposons aussi que cet ensemble de mesures satisfasse la relation de compatibilité suivante : pour des sous - ensembles finis , on a que ${\style d'affichage F\sous-ensemble T}$${\displaystyle \mu _{F}}$${\displaystyle \Omega _{F}}$${\displaystyle \tau _{t}}$${\displaystyle \Omega _{F}}$${\displaystyle \{\mu _{F}\}}$${\style d'affichage F\sous-ensemble G\sous-ensemble T}$

${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}$

où désigne la mesure de poussée induite par la carte de projection canonique . ${\style d'affichage (\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}$${\displaystyle \mu _{G}}$${\displaystyle \pi _{F}^{G}}$

Alors il existe une mesure de probabilité unique sur telle que pour chaque sous-ensemble fini . ${\style d'affichage \mu }$${\displaystyle \Omega _{T}}$${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{T})_{*}\mu }$${\style d'affichage F\sous-ensemble T}$

À titre de remarque, toutes les mesures sont définies sur l' algèbre sigma produit sur leurs espaces respectifs, ce qui (comme mentionné précédemment) est plutôt grossier. La mesure peut parfois être étendue de manière appropriée à une plus grande algèbre sigma, si une structure supplémentaire est impliquée. ${\displaystyle \mu _{F},\mu }$${\style d'affichage \mu }$

Notez que l'énoncé original du théorème n'est qu'un cas particulier de ce théorème avec pour tout , et pour . Le processus stochastique serait simplement le processus canonique , défini sur une mesure de probabilité . La raison pour laquelle l'énoncé original du théorème ne mentionne pas la régularité interne des mesures est que cela suivrait automatiquement, puisque les mesures de probabilité de Borel sur les espaces polonais sont automatiquement Radon . ${\displaystyle \Omega _{t}=\mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage t\in T}$${\displaystyle \mu _{\{t_{1},...,t_{k}\}}=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$${\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in T}$${\displaystyle (\pi _{t})_{t\in T}}$${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}}$${\style d'affichage P=\mu }$${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$

Ce théorème a de nombreuses conséquences de grande envergure ; par exemple, il peut être utilisé pour prouver l'existence des éléments suivants, entre autres :

• Le mouvement brownien, c'est-à-dire le processus de Wiener ,
• une chaîne de Markov prenant des valeurs dans un espace d'état donné avec une matrice de transition donnée,
• produits infinis d'espaces de probabilité (réguliers internes).

Histoire

Selon John Aldrich, le théorème a été découvert indépendamment par le mathématicien britannique Percy John Daniell dans le cadre légèrement différent de la théorie de l'intégration.

Les références

Liens externes

• Aldrich, J. (2007) "Mais vous devez vous souvenir de PJDaniell of Sheffield" Electronic Journ@l pour History of Probability and Statistics Décembre 2007.