Delta de Kronecker - Kronecker delta

En mathématiques , le delta de Kronecker (du nom de Leopold Kronecker ) est une fonction de deux variables , généralement des entiers non négatifs . La fonction vaut 1 si les variables sont égales, et 0 sinon :

\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}

ou avec l'utilisation de supports Iverson :

\delta _{ij}=[i=j]\,

où le delta Kronecker $δ ij$ est un piecewise fonction des variables $i$ et $j$ . Par exemple, $ô 1 2 = 0$ , tandis que $δ 3 3 = 1$ .

Le delta de Kronecker apparaît naturellement dans de nombreux domaines des mathématiques, de la physique et de l'ingénierie, comme un moyen d'exprimer de manière compacte sa définition ci-dessus.

En algèbre linéaire , la matrice identité $n \times n$ $I$ a des entrées égales au delta de Kronecker :

I_{ij}=\delta _{ij}

où $i$ et $j$ prennent les valeurs $1, 2, ..., n$ , et le produit scalaire des vecteurs peut être écrit comme

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i =1}^{n}a_{i}b_{i}.

Ici, les vecteurs euclidiens sont définis comme $n$ -uplets : et et la dernière étape est obtenue en utilisant les valeurs du delta de Kronecker pour réduire la sommation sur $j$ . $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})$

La restriction aux entiers positifs ou non négatifs est courante, mais en fait, le delta de Kronecker peut être défini sur un ensemble arbitraire.

Propriétés

Les équations suivantes sont satisfaites :

{\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij} &=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}

Par conséquent, la matrice $δ$ peut être considérée comme une matrice d'identité.

Une autre représentation utile est la forme suivante :

\delta _{nm}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}( millimètre)}

Ceci peut être dérivé en utilisant la formule de la série géométrique finie .

Notation alternative

Utilisation du support Iverson :

\delta _{ij}=[i=j].

Souvent, une notation à un seul argument $δ i$ est utilisée, ce qui équivaut à définir $j = 0$ :

\delta _{i}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}i\neq 0\\1,&{\mbox{if }}i=0\end{cases} }

En algèbre linéaire , il peut être considéré comme un tenseur , et s'écrit $δ je j$ . Parfois, le delta de Kronecker est appelé le tenseur de substitution.

Traitement des signaux numériques

Fonction échantillon unitaire

Dans l'étude du traitement du signal numérique (DSP), la fonction d'échantillon unitaire représente un cas particulier d'une fonction delta de Kronecker à 2 dimensions où les indices de Kronecker incluent le nombre zéro et où l'un des indices est zéro. Dans ce cas: $\delta [n]$ $\delta _{ij}$

\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{where}}-\infty <n<\infty

Ou plus généralement où :

\delta [nk]\equiv \delta [kn]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{where}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty

Cependant, il ne s'agit que d'un cas très particulier. Dans le calcul tensoriel, il est plus courant de numéroter des vecteurs de base dans une dimension particulière commençant par l'indice 1, plutôt que l'indice 0. Dans ce cas, la relation n'existe pas, et en fait, la fonction delta de Kronecker et la fonction d'échantillon unitaire sont des fonctions vraiment différentes qui se chevauchent par hasard dans un cas spécifique où les indices incluent le nombre 0, le nombre d'indices est 2 et l'un des indices a la valeur zéro. $\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}$

Bien que la fonction d'échantillonnage unitaire discrète et la fonction delta de Kronecker utilisent la même lettre, elles diffèrent des manières suivantes. Pour la fonction d'échantillon unitaire discrète, il est plus conventionnel de placer un seul indice entier entre accolades, en revanche le delta de Kronecker peut avoir n'importe quel nombre d'indices. De plus, le but de la fonction d'échantillonnage unitaire discret est différent de la fonction delta de Kronecker. Dans DSP, la fonction d'échantillonnage unitaire discrète est généralement utilisée comme fonction d'entrée d'un système discret pour découvrir la fonction système du système qui sera produite en tant que sortie du système. En revanche, le but typique de la fonction delta de Kronecker est de filtrer les termes d'une convention de sommation d'Einstein .

La fonction d'échantillonnage unitaire discrète est plus simplement définie comme :

\delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ est un autre entier}}\end{cases}}

De plus, DSP a une fonction appelée fonction delta de Dirac , qui est souvent confondue à la fois avec la fonction delta de Kronecker et la fonction d'échantillon unitaire. Le delta de Dirac est défini comme :

\delta (t)={\begin{cases}\infty &t=0\\0&t{\text{ est un autre réel}}\end{cases}}

Contrairement à la fonction delta de Kronecker et à la fonction d'échantillon unitaire , la fonction Delta de Dirac n'a pas d'indice entier, elle a une seule valeur continue non entière t. $\delta _{ij}$ $\delta [n]$ ${\style d'affichage \delta (t)}$

Pour compliquer davantage les choses, la fonction d'impulsion unitaire est parfois utilisée pour désigner soit la fonction delta de Dirac , soit la fonction d'échantillon unitaire . ${\style d'affichage \delta (t)}$ $\delta [n]$

Propriétés de la fonction delta

Le delta de Kronecker a la propriété dite de tamisage que pour $j \in ℤ$ :

\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.

et si les nombres entiers sont considérés comme un espace de mesure , doté de la mesure de comptage , alors cette propriété coïncide avec la propriété de définition de la fonction delta de Dirac

\int _{-\infty }^{\infty }\delta (xy)f(x)\,dx=f(y),

et en fait le delta de Dirac a été nommé d'après le delta de Kronecker à cause de cette propriété analogue. En traitement du signal, c'est généralement le contexte (temps discret ou continu) qui distingue les "fonctions" de Kronecker et de Dirac. Et par convention, $δ (t)$ indique généralement le temps continu (Dirac), alors que les arguments comme $i$ , $j$ , $k$ , $l$ , $m$ et $n$ sont généralement réservés au temps discret (Kronecker). Une autre pratique courante consiste à représenter des séquences discrètes avec des crochets ; ainsi: $δ [n]$ . Le delta de Kronecker n'est pas le résultat d'un échantillonnage direct de la fonction delta de Dirac.

Le delta de Kronecker forme l' élément d'identité multiplicatif d'une algèbre d'incidence .

Relation avec la fonction delta de Dirac

En théorie des probabilités et en statistique , les fonctions delta de Kronecker et delta de Dirac peuvent toutes deux être utilisées pour représenter une distribution discrète . Si le support d'une distribution est constitué de points $x = {x 1, ..., x n}$ , avec les probabilités correspondantes $p 1, ..., p n$ , alors la fonction de masse de probabilité $p (x)$ de la distribution sur $x$ peut être écrit, en utilisant le delta de Kronecker, comme

p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.

De manière équivalente, la fonction de densité de probabilité $f (x)$ de la distribution peut être écrite en utilisant la fonction delta de Dirac comme

f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).

Sous certaines conditions, le delta de Kronecker peut résulter de l'échantillonnage d'une fonction delta de Dirac. Par exemple, si une impulsion delta de Dirac se produit exactement à un point d'échantillonnage et est idéalement filtrée par un filtre passe-bas (avec une coupure à la fréquence critique) selon le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon , le signal à temps discret résultant sera une fonction delta de Kronecker.

Généralisations

S'il est considéré comme un tenseur de type $(1,1)$ , le tenseur de Kronecker peut s'écrire $δ$ $je j$ avec un indice covariant $j$ et un indice contravariant $i$ :

\delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}

Ce tenseur représente :

Le mappage d'identité (ou matrice d'identité), considéré comme une application linéaire $V \to V$ ou $V * \to V *$
La trace ou tenseur contraction , considéré comme une application $V * \otimes V \to K$
La carte $K \to V * \otimes V$ , ce qui représente une multiplication scalaire en tant que somme des produits extérieurs .

Le delta de Kronecker généralisé ou delta de Kronecker multi-indicesd'ordre $2 p$ est untenseur detype $(p, p)$ complètementantisymétriquedans ses $p$ indices supérieurs, ainsi que dans ses $p$ indices inférieurs.

Deux définitions qui diffèrent d'un facteur $p!$ sont en cours d'utilisation. Ci-dessous, la version présentée a des composants non nuls mis à l'échelle à $\pm1$ . La deuxième version a des composants non nuls qui sont $±.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/p !$ , avec les changements conséquents des facteurs d'échelle dans les formules, tels que les facteurs d'échelle de $1 / p!$ au § Propriétés du delta généralisé de Kronecker ci-dessous disparaissant.

Définitions du delta généralisé de Kronecker

Au niveau des indices, le delta généralisé de Kronecker est défini comme :

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}+1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ sont des entiers distincts et sont une permutation paire de }}\mu _{1}\dots \mu _{p} \\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ sont des entiers distincts et sont une permutation impaire de }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\\;\;0&\quad {\text{dans tous les autres cas}}.\end{cases}}

Soit $S p$ le groupe symétrique de degré $p$ , alors :

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\ nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\ delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.

Utilisation de l' anti-symétrisation :

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{\lbrack \nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}\rbrack }^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1 }}^{\lbrack \mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}\rbrack }.

En termes de déterminant $p \times p$ :

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{ \nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix }}.

Utilisation de l' extension Laplace ( la formule de Laplace ) de déterminant, il peut être défini de manière récursive :

{\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _ {k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\ points {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{ p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{ \mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p }}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1} }^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\ fin{aligné}}

où le $caron,$ indique un index qui est omis de la séquence.

Lorsque $p = n$ (la dimension de l'espace vectoriel), en fonction du symbole Levi-Civita :

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1} \dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}.

Propriétés du delta de Kronecker généralisé

Le delta généralisé de Kronecker peut être utilisé pour l' anti-symétrisation :

{\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \ mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{\lbrack \mu _{1}\dots \mu _{p}\rbrack },\ \{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{ \mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{\lbrack \nu _{1}\dots \nu _{p}\rbrack }.\end{aligned}}

À partir des équations ci-dessus et des propriétés des tenseurs antisymétriques , nous pouvons dériver les propriétés du delta de Kronecker généralisé :

{\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \ mu _{p}}a^{\lbrack \nu _{1}\dots \nu _{p}\rbrack }&=a^{\lbrack \mu _{1}\dots \mu _{p}\ rbrack },\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p }}a_{\lbrack \mu _{1}\dots \mu _{p}\rbrack }&=a_{\lbrack \nu _{1}\dots \nu _{p}\rbrack },\\{ \frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{ \rho _{1}\dots \rho _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\rho _{1}\dots \rho _{ p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}

qui sont la version généralisée des formules écrites au § Propriétés . La dernière formule est équivalente à la formule de Cauchy-Binet .

La réduction de l'ordre via la sommation des indices peut être exprimée par l'identité

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(ns)!}{(np)!}}\delta _{\nu _{ 1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.

En utilisant à la fois la règle de sommation pour le cas $p = n$ et la relation avec le symbole Levi-Civita, la règle de sommation du symbole Levi-Civita est dérivée :

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}={\frac {1}{(ns) !}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\rho _{s+1}\dots \rho _{n}}\varepsilon _{\nu _{1} \dots \nu _{s}\,\rho _{s+1}\dots \rho _{n}}.

La version 4D de la dernière relation apparaît dans l' approche spinoriste de Penrose de la relativité générale qu'il a ensuite généralisée, alors qu'il développait les diagrammes d'Aitken, pour faire partie de la technique de la notation graphique de Penrose . En outre, cette relation est largement utilisée dans les théories de la dualité S , en particulier lorsqu'elles sont écrites dans le langage des formes différentielles et des duals de Hodge .

Représentations intégrales

Pour tout entier $n$ , en utilisant un calcul de résidu standard, nous pouvons écrire une représentation intégrale pour le delta de Kronecker comme l'intégrale ci-dessous, où le contour de l'intégrale va dans le sens antihoraire autour de zéro. Cette représentation est aussi équivalente à une intégrale définie par une rotation dans le plan complexe.

\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{xn-1}\,dz={\frac { 1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(xn)\varphi }\,d\varphi

Le peigne Kronecker

La fonction peigne de Kronecker de période $N$ est définie (en notation DSP ) comme :

\Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],

où $N$ et $n$ sont des nombres entiers. Le peigne de Kronecker est donc constitué d'une série infinie d'impulsions unitaires distantes de $N$ unités, et comprend l'impulsion unitaire à zéro. Il peut être considéré comme l'analogue discret du peigne de Dirac .

Intégrale de Kronecker

Le delta de Kronecker est également appelé degré de cartographie d'une surface dans une autre. Supposons qu'un mappage ait lieu de la surface $S uvw$ à $S xyz$ qui sont les limites des régions, $R uvw$ et $R xyz$ qui sont simplement liées à une correspondance biunivoque. Dans ce cadre, si $s$ et $t$ sont des paramètres pour $S uvw$ , et $S uvw$ à $S uvw$ sont chacun orientés par la normale extérieure $n$ :

u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad w=w(s,t),

tandis que la normale a la direction de

(u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\times (u_{t}\mathbf {i} +v_{t }\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k} ).

Soit $x = x (u, v, w)$ , $y = y (u, v, w)$ , $z = z (u, v, w)$ définis et lissés dans un domaine contenant $S uvw$ , et ces équations définissent le cartographie de $S uvw$ sur $S xyz$ . Ensuite , le degré $δ$ de cartographie est $1 / 4π$ fois l'angle solide de l'image $S$ de $S uvw$ par rapport au point intérieur de $S xyz$ , $O$ . Si $O$ est l'origine de la région, $R xyz$ , le degré, $δ$ est donnée par l'intégrale:

\delta ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&y&z\\{\frac {\partial x}{\partial s}}&{\frac {\partial y}{\partial s }}&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\{\frac {\partial x}{\partial t}}&{\frac {\partial y}{\partial t}}&{ \frac {\partial z}{\partial t}}\end{vmatrix}}\,ds\,dt.

Voir également

Les références

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[7] Une définition récursive nécessite un premier cas, qui peut être pris comme $δ = 1$ pour $p = 0$ , ou bien $δ um v = δ um v$ pour $p = 1$ (delta généralisé en termes de delta standard).

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