Opérateur d'échelle - Ladder operator

En algèbre linéaire (et son application à la mécanique quantique ), un opérateur d' élévation ou d' abaissement (collectivement appelés opérateurs d'échelle ) est un opérateur qui augmente ou diminue la valeur propre d'un autre opérateur. En mécanique quantique, l'opérateur d'élévation est parfois appelé opérateur de création et l'opérateur d'abaissement l'opérateur d' annihilation . Les applications bien connues des opérateurs d'échelle en mécanique quantique se trouvent dans les formalismes de l' oscillateur harmonique quantique et du moment angulaire .

Terminologie

Il existe une certaine confusion concernant la relation entre les opérateurs d'échelle montante et descendante et les opérateurs de création et d'annihilation couramment utilisés dans la théorie quantique des champs . L'opérateur de création a _i ^† incrémente le nombre de particules dans l'état i , tandis que l'opérateur d'annihilation correspondant a _i décrémente le nombre de particules dans l'état i . Ceci satisfait clairement les exigences de la définition ci-dessus d'un opérateur d'échelle : l'incrémentation ou la décrémentation de la valeur propre d'un autre opérateur (dans ce cas l' opérateur du nombre de particules ).

La confusion survient parce que le terme opérateur d'échelle est généralement utilisé pour décrire un opérateur qui agit pour incrémenter ou décrémenter un nombre quantique décrivant l'état d'un système. Changer l'état d'une particule avec les opérateurs de création/annihilation de QFT nécessite l'utilisation à la fois d' un opérateur d'annihilation pour retirer une particule de l'état initial et d' un opérateur de création pour ajouter une particule à l'état final.

Le terme « opérateur d'échelle » est aussi parfois utilisé en mathématiques, dans le cadre de la théorie des algèbres de Lie et en particulier des algèbres de Lie affines , pour décrire les sous-algèbres su(2) , à partir desquelles le système racinaire et les modules de poids les plus élevés peuvent être construit au moyen des opérateurs d'échelle. En particulier, le poids le plus élevé est anéanti par les opérateurs de levage ; le reste de l'espace racine positif est obtenu en appliquant à plusieurs reprises les opérateurs d'abaissement (un ensemble d'opérateurs d'échelle par sous-algèbre).

Formulation générale

Supposons que deux opérateurs X et N aient la relation de commutation ,

${\displaystyle [N,X]=cX,\quad }$

pour certains c scalaire . Si est un état propre de N avec une équation aux valeurs propres, ${\displaystyle \scriptstyle {|n\rangle }}$

${\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,\,}$

alors l'opérateur X agit de manière à décaler la valeur propre de c : ${\displaystyle \scriptstyle {|n\rangle }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\& =Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}$

En d'autres termes, si est un état propre de N avec la valeur propre n alors est un état propre de N avec la valeur propre n + c ou il est nul. L'opérateur X est un opérateur ascendant pour N si c est réel et positif, et un opérateur descendant pour N si c est réel et négatif. ${\displaystyle \scriptstyle {|n\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {X|n\rangle }}$

Si N est un opérateur hermitien alors c doit être réel et l' adjoint hermitien de X obéit à la relation de commutation :

${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.\quad }$

En particulier, si X est un opérateur descendant pour N alors X ^† est un opérateur montant pour N et vice versa .

Moment angulaire

Une application particulière du concept d'opérateur d'échelle se trouve dans le traitement mécanique quantique du moment cinétique . Pour un vecteur moment angulaire général , J , de composantes J _x , J _y et J _z on définit les deux opérateurs en échelle, J ₊ et J _– ,

${\displaystyle J_{+}=J_{x}+iJ_{y},\quad }$

${\displaystyle J_{-}=J_{x}-iJ_{y},\quad }$

où i est l' unité imaginaire .

La relation de commutation entre les composantes cartésiennes de tout opérateur de moment cinétique est donnée par

${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},}$

où ε _ijk est le symbole Levi-Civita et chacun de i , j et k peut prendre n'importe laquelle des valeurs x , y et z .

À partir de là, les relations de commutation entre les opérateurs d'échelle et J _z sont obtenues,

${\displaystyle \left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm },\quad }$

${\displaystyle \left[J_{+},J_{-}\right]=2\hbar J_{z}.\quad }$

(Techniquement, c'est l'algèbre de Lie de ). ${\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}$

Les propriétés des opérateurs à relais peuvent être déterminées en observant comment ils modifient l'action de l' opérateur J _z sur un état donné,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &=\left(J_{\pm }J_{z}+\left[J_{z},J_{ \pm }\right]\right)|j\,m\rangle \\&=\left(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm }\right)|j\,m\ rangle \\&=\hbar \left(m\pm 1\right)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}$

Comparez ce résultat avec

${\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .\quad }$

Ainsi on conclut que est un scalaire multiplié par , ${\displaystyle \scriptstyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }}$${\displaystyle \scriptstyle {|j\,m\pm 1\rangle }}$

${\displaystyle J_{+}|j\,m\rangle =\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\quad }$

${\displaystyle J_{-}|j\,m\rangle =\beta |j\,(m-1)\rangle .\quad }$

Cela illustre la caractéristique déterminante des opérateurs d'échelle en mécanique quantique : l'incrémentation (ou la décrémentation) d'un nombre quantique, mappant ainsi un état quantique sur un autre. C'est la raison pour laquelle ils sont souvent appelés opérateurs de levage et d'abaissement.

Pour obtenir les valeurs de α et β prendre d'abord la norme de chaque opérateur, en reconnaissant que J ₊ et J _- sont un conjugué hermitien paire ( ), ${\displaystyle \scriptstyle {J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}}$

${\displaystyle \langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\, m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2}}$,

${\displaystyle \langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\, m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}}$.

Le produit des opérateurs d'échelle peut être exprimé en termes de paire de navettage J ² et J _z ,

${\displaystyle J_{-}J_{+}=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{ 2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},}$

${\displaystyle J_{+}J_{-}=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{ 2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.}$

Ainsi, on peut exprimer les valeurs de | a | ² et | ß | ² en fonction des valeurs propres de J ² et J _z ,

${\displaystyle |\alpha |^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2 }(jm)(j+m+1),}$

${\displaystyle |\beta |^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2 }(j+m)(j-m+1).}$

Les phases de α et β ne sont pas physiquement significatif, par conséquent ils peuvent être choisis pour être positif et réel ( convention de phase Condon-Shortley ). On a alors :

${\displaystyle J_{+}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(jm)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j +1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,}$

${\displaystyle J_{-}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j (j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .}$

Confirmant que m est borné par la valeur de j ( ), on a ${\displaystyle \scriptstyle {-j\leq m\leq j}}$

${\displaystyle J_{+}|j\,j\rangle =0,\,}$

${\displaystyle J_{-}|j\,(-j)\rangle =0.\,}$

La démonstration ci-dessus est effectivement la construction des coefficients de Clebsch-Gordan .

Applications en physique atomique et moléculaire

De nombreux termes des hamiltoniens des systèmes atomiques ou moléculaires impliquent le produit scalaire des opérateurs de moment angulaire. Un exemple est le terme de dipôle magnétique dans l'hamiltonien hyperfin ,

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,\quad }$

où I est le spin nucléaire.

L'algèbre du moment angulaire peut souvent être simplifiée en la reformulant dans la base sphérique . En utilisant la notation des opérateurs tensoriels sphériques , le « -1 », « 0 » et « +1 » composants de J ⁽¹⁾ ≡ J sont données par,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\ dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}}\\J_{0}^{(1)}&=J_{z}\\J_{+1}^{(1)}&=-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}} }$

A partir de ces définitions, on peut montrer que le produit scalaire ci-dessus peut être développé comme

${\displaystyle \mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n} I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{ (1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)},}$

La signification de cette expansion est qu'elle indique clairement quels états sont couplés par ce terme dans l'hamiltonien, c'est-à-dire ceux dont les nombres quantiques diffèrent de m _i = ±1 et m _j = 1 seulement .

Oscillateur harmonique

Une autre application du concept d'opérateur en échelle se trouve dans le traitement mécanique quantique de l'oscillateur harmonique. Nous pouvons définir les opérateurs de descente et de montée comme

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x} }-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$

Ils fournissent un moyen pratique d'extraire les valeurs propres de l'énergie sans résoudre directement l'équation différentielle du système.

Atome semblable à l'hydrogène

Il existe deux approches principales données dans la littérature utilisant des opérateurs en échelle, l'une utilisant le vecteur de Laplace-Runge-Lenz, l'autre utilisant la factorisation de l'hamiltonien.

Vecteur de Laplace-Runge-Lenz

Une autre application du concept d'opérateur d'échelle se trouve dans le traitement mécanique quantique de l'énergie électronique des atomes et des ions de type hydrogène. Le vecteur de Laplace-Runge-Lenz commute avec l'hamiltonien pour un potentiel à symétrie sphérique carré inverse et peut être utilisé pour déterminer les opérateurs d'échelle pour ce potentiel. On peut définir les opérateurs de descente et de montée (basés sur le vecteur classique de Laplace-Runge-Lenz )

${\displaystyle {\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec { p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}}}$

où est le moment angulaire, est le moment linéaire, est la masse réduite du système, est la charge électronique et est le numéro atomique du noyau. De manière analogue aux opérateurs à échelle de moment angulaire, on a et . ${\displaystyle {\vec {L}}}$${\displaystyle {\vec {p}}}$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage Z}$${\displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{y}}$${\displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y}}$

Les commutateurs nécessaires pour procéder sont :

${\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }}$

et

${\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_ {z}L_{\pm }}$.

Par conséquent,

${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle }$

et

${\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1) +1)\gauche(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)}$

donc

${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle }$

où le "?" indique un nombre quantique naissant qui émerge de la discussion.

Étant donné les équations de Pauli Équation de Pauli IV :

${\displaystyle 1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2 })}$

et l'équation de Pauli III :

${\displaystyle \left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4 }}}\right)L_{j}}$

et en commençant par l'équation

${\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0}$

et en expansion, on obtient (en supposant que la valeur maximale du nombre quantique de moment cinétique en accord avec toutes les autres conditions), ${\displaystyle \ell ^{*}}$

${\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i \hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0}$

ce qui conduit à la formule de Rydberg :

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}} }$

ce qui implique que , où est le nombre quantique traditionnel. ${\displaystyle \ell ^{*}+1=n=?}$${\style d'affichage n}$

Factorisation de l'hamiltonien

L'hamiltonien pour un potentiel de type hydrogène peut être écrit en coordonnées sphériques comme

${\displaystyle H=1/(2\mu )[p_{r}^{2}+(1/r^{2})L^{2}]+V(r)}$

où et est la quantité de mouvement radiale ${\displaystyle V(r)=-Ze^{2}/r}$${\style d'affichage p_{r}}$

${\displaystyle p_{r}=(x/r)p_{x}+(y/r)p_{y}+(z/r)p_{z}}$

qui est réel et auto-conjugué.

Supposons que soit un vecteur propre de l'hamiltonien où est le moment cinétique et représente l'énergie, donc et nous pouvons étiqueter l'hamiltonien comme${\displaystyle |nl\rangle }$${\style d'affichage l\rangle }$${\style d'affichage n}$${\displaystyle L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle }$${\style d'affichage H_{l}}$

${\displaystyle H=1/(2\mu )[p_{r}^{2}+(1/r^{2})l(l+1)\hbar ^{2}]+V(r)}$

La méthode de factorisation a été développée par Infeld et Hull pour les équations différentielles. Newmarch et Golding l'ont appliqué à des potentiels à symétrie sphérique en utilisant la notation des opérateurs.

Supposons que nous puissions trouver une factorisation de l'hamiltonien par des opérateurs comme ${\style d'affichage C_{l}}$

${\displaystyle C_{l}^{*}C_{l}=2\mu H_{l}+F_{l}}$

( 1 )

et

${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}}$

pour les scalaires et . Le vecteur peut être évalué de deux manières différentes comme ${\style d'affichage F_{l}}$${\displaystyle G_{l}}$${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_ {l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle \end{aligned}}}$

qui peut être réorganisé comme

${\displaystyle H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_ {l}|nl\rangle )}$

montrant que est un état propre de avec valeur propre ${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$${\displaystyle H_{l+1}}$

${\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )}$

Si alors et les états et ont la même énergie. ${\displaystyle F_{l}=G_{l}}$${\style d'affichage n^{'}=n}$${\displaystyle |nl\rangle }$${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$

Pour l'atome d'hydrogène, le réglage

${\displaystyle V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}}$

avec

${\displaystyle B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }}}$

une équation appropriée pour est ${\style d'affichage C_{l}}$

${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}}$

avec

${\displaystyle F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}}$

Il y a une limite supérieure à l'opérateur d'échelle si l'énergie est négative, (donc pour certains ) alors à partir de l'équation ( 1 ) ${\displaystyle C_{l}|nl_{max}\rangle =0}$${\style d'affichage l_{max}}$

${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{max}+1)^{2 }}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{max}+1)^{2}}}}$

et peut être identifié avec${\style d'affichage n}$${\style d'affichage l_{max}+1}$

Relation avec la théorie des groupes

Chaque fois qu'il y a une dégénérescence dans un système, il y a généralement une propriété et un groupe de symétrie liés. La dégénérescence des niveaux d'énergie pour la même valeur mais des moments angulaires différents a été identifiée comme la symétrie SO(4) du potentiel de Coulomb à symétrie sphérique. ${\style d'affichage n}$

Oscillateur harmonique isotrope 3D

L' oscillateur harmonique isotrope 3D a un potentiel donné par

${\displaystyle V(r)=\mu \omega ^{2}r^{2}/2}$

Il peut également être géré en utilisant la méthode de factorisation.

Méthode de factorisation

Une factorisation appropriée est donnée par

${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r}$

avec

${\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar }$

et

${\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar }$

Puis

${\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{ l}^{n}-\omega \hbar }$

et continuer ainsi,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n ^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\...&\end{aligned}}}$

Maintenant, l'hamiltonien n'a que des niveaux d'énergie positifs comme on peut le voir à partir de

${\displaystyle {\begin{aligné}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\ mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0\end{aligned}}}$

Cela signifie que pour une certaine valeur de la série doit se terminer par puis ${\style d'affichage l}$${\displaystyle C_{l_{max}}|nl_{max}\rangle =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l_{max}}^{n}&=-F_{l_{max}}/(2\mu )\\&=(l_{max}+3/2) \omega \hbar \end{aligné}}}$

Cela diminue en énergie de sauf pour une valeur de , . Identifier cette valeur comme donne ${\displaystyle \omega \hbar }$${\style d'affichage l}$${\displaystyle C_{l}|nl\rangle =0}$${\style d'affichage n}$

${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=(n+3/2)\omega \hbar }$

Il suit alors le de sorte que ${\style d'affichage n'=n-1}$

${\displaystyle C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1\,l+1\rangle }$

donnant une relation de récursivité sur avec solution ${\style d'affichage \lambda }$

${\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(nl)}}}$

Il y a une dégénérescence causée par le moment cinétique ; il y a une dégénérescence supplémentaire causée par le potentiel de l'oscillateur. Considérez les états et appliquez les opérateurs d'abaissement : donnant la séquence avec la même énergie mais avec une diminution de 2. En plus de la dégénérescence du moment cinétique, cela donne une dégénérescence totale de ${\displaystyle |n\,n\rangle ,|n-1\,n-1\rangle ,|n-2\,n-2\rangle ,...}$${\style d'affichage C^{*}}$${\displaystyle C_{n-2}^{*}|n-1\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2\ ,n-2\rangle ,...}$${\displaystyle |nn\rangle ,|n\,n-2\rangle ,|n\,n-4\rangle ,...}$${\style d'affichage l}$${\style d'affichage (n+1)(n+2)/2}$

Relation avec la théorie des groupes

Les dégénérescences de l'oscillateur harmonique isotrope 3D sont liées au groupe unitaire spécial SU(3)

Histoire

De nombreuses sources attribuent à Dirac l'invention des opérateurs d'échelle. L'utilisation par Dirac des opérateurs d'échelle montre que le nombre quantique total de moment angulaire doit être un demi- entier multiple non négatif de . ${\style d'affichage j}$

Voir également

• Opérateurs de création et d'annihilation
• Oscillateur harmonique quantique
• Base Chevalley

Les références