Point limite compact - Limit point compact

En mathématiques, un espace topologique X est dit compact au point limite ou faiblement compact si chaque sous-ensemble infini de X a un point limite dans X . Cette propriété généralise une propriété des espaces compacts . Dans un espace métrique , la compacité au point limite, la compacité et la compacité séquentielle sont toutes équivalentes. Pour les espaces topologiques généraux, cependant, ces trois notions de compacité ne sont pas équivalentes.

Propriétés et exemples

• Dans un espace topologique, les sous-ensembles sans point limite sont exactement ceux qui sont fermés et discrets dans la topologie du sous-espace. Ainsi, un espace est compact au point limite si et seulement si tous ses sous-ensembles discrets fermés sont finis.
• Un espace X n'est pas compact au point limite si et seulement s'il possède un sous-espace discret fermé infini. Puisque tout sous-ensemble d'un sous-ensemble discret fermé de X est lui-même fermé dans X et discret, cela équivaut à exiger que X ait un sous-espace discret fermé dénombrable infini.
• Quelques exemples d'espaces qui ne sont pas compacts au point limite : (1) L'ensemble de tous les nombres réels avec sa topologie habituelle, puisque les entiers sont un ensemble infini mais n'ont pas de point limite dans ; (2) un ensemble infini avec la topologie discrète ; (3) la topologie du complément dénombrable sur un ensemble indénombrable.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Tout espace dénombrable compact (et donc tout espace compact) est compact au point limite.
• Pour les espaces T ₁ , la compacité au point limite est équivalente à la compacité comptable.
• Un exemple d'espace compact au point limite qui n'est pas comptablement compact est obtenu en « doublant les entiers », à savoir, en prenant le produit où est l'ensemble de tous les entiers avec la topologie discrète et a la topologie indiscrète . L'espace est homéomorphe à la topologie impaire-paire . Cet espace n'est pas T ₀ . C'est un point limite compact car chaque sous-ensemble non vide a un point limite.${\displaystyle X=\mathbb {Z} \fois Y}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle Y=\{0,1\}}$${\style d'affichage X}$
• Un exemple d' espace T ₀ qui est compact au point limite et non compact est , l'ensemble de tous les nombres réels, avec la topologie d'ordre correct , c'est-à-dire la topologie générée par tous les intervalles . L'espace est compact au point limite car étant donné n'importe quel point , tout est un point limite de .${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\style d'affichage (x,\infty )}$${\displaystyle a\in X}$${\style d'affichage x<a}$${\style d'affichage \{a\}}$
• Pour les espaces métrisables, la compacité, la compacité dénombrable, la compacité au point limite et la compacité séquentielle sont toutes équivalentes.
• Les sous-espaces fermés d'un espace compact de point limite sont compacts de point limite.
• L'image continue d'un espace compact de point limite n'a pas besoin d'être compacte de point limite. Par exemple, si avec discret et indiscret comme dans l'exemple ci-dessus, la carte donnée par projection sur la première coordonnée est continue, mais n'est pas compacte au point limite.${\displaystyle X=\mathbb {Z} \fois Y}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle f=\pi _{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle f(X)=\mathbb {Z} }$
• Un espace compact de point limite n'a pas besoin d'être pseudo- compact . Un exemple est donné par le même avec un espace à deux points indiscret et la carte , dont l'image n'est pas bornée dans .${\displaystyle X=\mathbb {Z} \fois Y}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle f=\pi _{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Un espace pseudo-compact n'a pas besoin d'être compact au point limite. Un exemple est donné par un ensemble indénombrable avec la topologie cocountable .
• Tout espace pseudo-compact normal est compact au point limite.
  Preuve : Supposons un espace normal qui n'est pas compact au point limite. Il existe un sous-ensemble discret fermé dénombrable infini de . Par le théorème d'extension de Tietze, la fonction continue sur définie par peut être étendue à une fonction continue à valeur réelle (non bornée) sur l'ensemble de . N'est donc pas pseudo-compact.${\style d'affichage X}$${\displaystyle A=\{x_{n}:n=1,2,\ldots \}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage f(x_{n})=n}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$
• Les espaces compacts de point limite ont une étendue dénombrable .
• Si ( X , T ) et ( X , T* ) sont des espaces topologiques avec T* plus fin que T et ( X , T* ) est compact au point limite, alors ( X , T ).

Voir également

• Espace compact
• Espace séquentiellement compact
• Espace incroyablement compact

Remarques

Les références

• James Munkres (1999). Topologie (2e éd.). Salle des apprentis . ISBN 0-13-181629-2.
• Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Contre - exemples en topologie . Springer-Verlag, New York, 1978. Réimprimé par Dover Publications, New York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (édition Dover).
• Cet article incorpore du matériel de Weakly countably compact sur PlanetMath , qui est sous licence Creative Commons Attribution/Share-Alike License .