Espace séquentiellement compact - Sequentially compact space
En mathématiques , un espace topologique X est séquentiellement compact si chaque séquence de points dans X a une sous - séquence convergente convergeant vers un point dans X .
Tout espace métrique est naturellement un espace topologique, et pour les espaces métriques, les notions de compacité et de compacité séquentielle sont équivalentes (si l'on suppose un choix dénombrable ). Cependant, il existe des espaces topologiques séquentiellement compacts qui ne sont pas compacts, et des espaces topologiques compacts qui ne sont pas séquentiellement compacts.
Exemples et propriétés
L'espace de tous les nombres réels avec la topologie standard n'est pas séquentiellement compact ; la suite ( s n ) donnée par s n = n pour tous les nombres naturels n est une suite qui n'a pas de sous-suite convergente.
Si un espace est un espace métrique , alors il est séquentiellement compact si et seulement s'il est compact . Le premier ordinal indénombrable avec la topologie d'ordre est un exemple d'un espace topologique séquentiellement compact qui n'est pas compact. Le produit de copies de l' intervalle unitaire fermé est un exemple d'espace compact qui n'est pas séquentiellement compact.
Notions associées
Un espace topologique X est dit compact au point limite si chaque sous-ensemble infini de X a un point limite dans X , et comptablement compact si chaque couvercle ouvert dénombrable a un sous- couvercle fini. Dans un espace métrique , les notions de compacité séquentielle, de compacité au point limite, de compacité dénombrable et de compacité sont toutes équivalentes (si l'on suppose l' axiome du choix ).
Dans un espace séquentiel (Hausdorff), la compacité séquentielle est équivalente à la compacité dénombrable.
Il existe également une notion de compactification séquentielle à un point - l'idée est que les séquences non convergentes devraient toutes converger vers le point supplémentaire.
Voir également
- Théorème de Bolzano-Weierstrass - Une séquence bornée dans l'espace euclidien de dimension finie a une sous-suite convergente
- Espace Fréchet–Urysohn
- Cartes couvrant la séquence
- Espace séquentiel - Un espace topologique qui peut être caractérisé en termes de séquences
Remarques
Les références
- Munkres, James (1999). Topologie (2e éd.). Salle des apprentis . ISBN 0-13-181629-2.
- Steen, Lynn A. et Seebach, J. Arthur Jr. ; Contre-exemples en topologie , Holt, Rinehart et Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
- Willard, Stephen (2004). Topologie générale . Publications de Douvres. ISBN 0-486-43479-6.
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