Fonction logarithmiquement concave - Logarithmically concave function

Dans l' analyse convexe , un non-négatif fonction f  : R ⁿ → R ₊ est logarithmiquement concave (ou log-concave pour faire court) si son domaine est un ensemble convexe , et si elle satisfait à l'inégalité

${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}$

pour tout x , y dom f et 0 <  θ  < 1 . Si f est strictement positif, cela revient à dire que le logarithme de la fonction, log ∘ f , est concave ; C'est,

${\displaystyle \log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)}$

pour tout x , y dom f et 0 <  θ  < 1 .

Des exemples de fonctions log-concaves sont les fonctions indicatrices 0-1 des ensembles convexes (qui nécessitent une définition plus flexible) et la fonction gaussienne .

De même, une fonction est log-convexe si elle satisfait l'inégalité inverse

${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}$

pour tout x , y dom f et 0 <  θ  < 1 .

Propriétés

• Une fonction log-concave est également quasi-concave . Cela découle du fait que le logarithme est monotone, ce qui implique que les ensembles de super - niveaux de cette fonction sont convexes.
• Toute fonction concave non négative sur son domaine est log-concave. Cependant, l'inverse ne se vérifie pas nécessairement. Un exemple est la fonction gaussienne f ( x )  =  exp(−x ² /2) qui est log-concave puisque log f ( x )  =  − x ² /2 est une fonction concave de x . Mais f n'est pas concave puisque la dérivée seconde est positive pour | x | > 1 :

${\displaystyle f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0}$

• Au-dessus de deux points, concavité log-concavité quasiconcavité .${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$
• Une fonction non négative deux fois dérivable avec un domaine convexe est log-concave si et seulement si pour tout x satisfaisant f ( x ) > 0 ,

${\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}$,

c'est à dire

${\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}$ est

semi-défini négatif . Pour les fonctions d'une variable, cette condition se simplifie en

${\displaystyle f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}}$

Opérations préservant la log-concavité

• Produits : Le produit des fonctions log-concave est également log-concave. En effet, si f et g sont des fonctions log-concaves, alors log  f et log  g sont concaves par définition. Par conséquent

${\displaystyle \log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))}$

est concave, et donc aussi f  g est log-concave.

• Marginaux : si f ( x , y )  :  R ^{n + m}  →  R est log-concave, alors

${\style d'affichage g(x)=\int f(x,y)dy}$

est log-concave (voir Inégalité de Prékopa-Leindler ).

• Cela implique que la convolution préserve la log-concavité, puisque h ( x , y )  =  f ( x - y )  g ( y ) est log-concave si f et g sont log-concaves, et donc

${\style d'affichage (f*g)(x)=\int f(xy)g(y)dy=\int h(x,y)dy}$

est log-concave.

Distributions log-concaves

Des distributions log-concaves sont nécessaires pour un certain nombre d'algorithmes, par exemple l' échantillonnage de rejet adaptatif . Chaque distribution avec une densité log-concave est une distribution de probabilité d'entropie maximale avec une moyenne spécifiée μ et une mesure de risque de déviation D . Il se trouve que de nombreuses distributions de probabilité courantes sont log-concaves. Quelques exemples:

• La distribution normale et les distributions normales multivariées .
• La distribution exponentielle .
• La distribution uniforme sur tout ensemble convexe .
• La distribution logistique .
• La distribution des valeurs extrêmes .
• La distribution de Laplace .
• La distribution du chi .
• La distribution sécante hyperbolique .
• La distribution de Wishart , où n >= p + 1.
• La distribution de Dirichlet , où tous les paramètres sont >= 1.
• La distribution gamma si le paramètre de forme est >= 1.
• La distribution du Khi deux si le nombre de degrés de liberté est >= 2.
• La distribution bêta si les deux paramètres de forme sont >= 1.
• La distribution de Weibull si le paramètre de forme est >= 1.

Notez que toutes les restrictions de paramètres ont la même source de base : L'exposant de la quantité non négative doit être non négatif pour que la fonction soit log-concave.

Les distributions suivantes sont non log-concaves pour tous les paramètres :

• La distribution t de Student .
• La distribution de Cauchy .
• La distribution de Pareto .
• La distribution log-normale .
• La distribution F .

Notez que la fonction de distribution cumulative (CDF) de toutes les distributions log-concave est également log-concave. Cependant, certaines distributions non log-concaves ont également des CDF log-concaves :

• La distribution log-normale .
• La distribution de Pareto .
• La distribution de Weibull lorsque le paramètre de forme < 1.
• La distribution gamma lorsque le paramètre de forme < 1.

Voici quelques-unes des propriétés des distributions log-concaves :

• Si une densité est log-concave, sa fonction de distribution cumulative (CDF) l'est aussi.
• Si une densité multivariée est log-concave, la densité marginale sur tout sous-ensemble de variables l'est aussi.
• La somme de deux variables aléatoires log-concaves indépendantes est log-concave. Ceci résulte du fait que la convolution de deux fonctions log-concaves est log-concave.
• Le produit de deux fonctions log-concave est log-concave. Cela signifie que les densités jointes formées en multipliant deux densités de probabilité (par exemple la distribution gamma normale , qui a toujours un paramètre de forme >= 1) seront log-concaves. Cette propriété est fortement utilisé en usage général d' échantillonnage de Gibbs programmes tels que BUGS et JAGS , qui sont ainsi en mesure d'utiliser un échantillonnage de rejet adaptatif sur une grande variété de distributions conditionnelles dérivées du produit d'autres distributions.
• Si une densité est log-concave, sa fonction de survie l'est aussi .
• Si une densité est log-concave, elle a un taux de risque monotone (MHR), et est une distribution régulière puisque la dérivée du logarithme de la fonction de survie est le taux de risque négatif, et par concavité est monotone c'est-à-dire

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}}$ qui est décroissante car c'est la dérivée d'une fonction concave.

Voir également

• suite logarithmiquement concave
• mesure logarithmiquement concave
• fonction logarithmiquement convexe
• fonction convexe

Remarques

Les références

• Barndorff-Nielsen, Ole (1978). Information et familles exponentielles en théorie statistique . Série Wiley en probabilités et statistiques mathématiques. Chichester : John Wiley \& Sons, Ltd. p. ix+238 p. ISBN 0-471-99545-2. MR  0489333 .
• Dharmadhikari, Sudhakar ; Joag Dev, Kumar (1988). Unimodalité, convexité et applications . Probabilités et statistiques mathématiques. Boston, MA : Academic Press, Inc. p. xiv+278. ISBN 0-12-214690-5. MR  0954608 .

• Pfanzagl, Johann ; avec l'aide de R. Hamböker (1994). Théorie statistique paramétrique . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013863-8. MR  1291393 .

• Pečarić, Josip E.; Proschan, Franck ; Tong, YL (1992). Fonctions convexes, ordres partiels et applications statistiques . Mathématiques en sciences et en génie. 187 . Boston, MA : Academic Press, Inc. p. xiv+467 p. ISBN 0-12-549250-2. MR  1162312 .