Hélicité magnétique - Magnetic helicity

L'hélicité magnétique est une grandeur trouvée dans le contexte de la magnétohydrodynamique . Il quantifie les aspects topologiques des lignes de champ magnétique : à quel point elles sont liées, tordues, tordues et nouées. Lorsque la résistivité électrique d'un système est nulle, son hélicité magnétique totale est conservée (c'est un invariant quadratique idéal ). Lorsqu'un champ magnétique contient de l'hélicité magnétique, il a tendance à former des structures à grande échelle à partir de structures à petite échelle. Ce processus peut être appelé transfert inverse dans l'espace de Fourier .

Cette seconde propriété rend l'hélicité magnétique particulière : les écoulements turbulents tridimensionnels ont tendance à "détruire" la structure, en ce sens que les tourbillons à grande échelle se brisent en de plus en plus petits (un processus appelé "cascade d'énergie directe" , décrit par Lewis Fry Richardson et Andrey Nikolaevitch Kolmogorov ). Aux plus petites échelles, les tourbillons sont dissipés en chaleur par effets visqueux . Par une sorte de "cascade inverse d'hélicité magnétique", c'est l'inverse qui se produit : de petites structures hélicoïdales (avec une hélicité magnétique non nulle) conduisent à la formation de champs magnétiques à grande échelle. Ceci est par exemple visible dans la nappe de courant héliosphérique - une grande structure magnétique de notre système solaire.

L'hélicité magnétique est d'une grande importance dans plusieurs systèmes astrophysiques, où la résistivité est généralement très faible, de sorte que l'hélicité magnétique est conservée à une très bonne approximation. Par exemple : la dynamique de l'hélicité magnétique est importante dans les éruptions solaires et les éjections de masse coronale . L'hélicité magnétique est présente dans le vent solaire . Sa conservation est très importante dans les processus dynamo . Il joue également un rôle dans la recherche sur la fusion , par exemple dans les expériences de pincement de champ inversé .

Définition mathématique

L'hélicité d'un champ vectoriel régulier défini sur un domaine dans l'espace 3D est la mesure standard de la mesure dans laquelle les lignes de champ s'enroulent et s'enroulent les unes autour des autres. Il est défini comme l' intégrale volumique du produit scalaire de et de sa boucle : ${\displaystyle H^{\mathbf {f} }}$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {f} }}$

${\displaystyle H^{\mathbf {f} }=\int {\mathbf {f} }\cdot {\nabla \times {\mathbf {f} }}\,d^{3}{\mathbf {r} }}$,

où est l'élément de volume différentiel pour l'intégrale de volume, l'intégration s'effectuant sur l'ensemble du domaine considéré. ${\displaystyle d^{3}{\mathbf {r} }}$

Quant à l' hélicité magnétique , c'est l' hélicité du potentiel vecteur magnétique , tel qu'est le champ magnétique : ${\displaystyle H^{\mathbf {M} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$${\displaystyle {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }}$

${\displaystyle H^{\mathbf {M} }=\int {\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\,d^{3}{\mathbf {r} }}$.

L'hélicité magnétique a des unités de Wb ² ( webers au carré) en unités SI et Mx ² ( maxwells au carré) en unités gaussiennes .

L'hélicité magnétique ne doit pas être confondue avec l'hélicité du champ magnétique , avec le courant. Cette quantité est appelée « hélicité actuelle ». Contrairement à l'hélicité magnétique, l'hélicité du courant n'est pas un invariant idéal (elle n'est pas conservée même lorsque la résistivité électrique est nulle). ${\displaystyle H^{\mathbf {J} }=\int {\mathbf {B} }\cdot {\mathbf {J} }\,d^{3}{\mathbf {r} }}$${\displaystyle {\mathbf {J} }=\nabla \times {\mathbf {B} }}$

Puisque le potentiel vecteur magnétique n'est pas invariant de jauge, l'hélicité magnétique n'est pas non plus invariante de jauge en général. En conséquence, on ne peut pas mesurer directement l'hélicité magnétique d'un système physique. Dans certaines conditions et sous certaines hypothèses, on peut cependant mesurer l'hélicité actuelle d'un système et à partir de celle-ci, lorsque d'autres conditions sont remplies et sous d'autres hypothèses, en déduire l'hélicité magnétique.

Interprétation topologique

Le nom "hélicité" repose sur le fait que la trajectoire d'une particule fluide dans un fluide avec vitesse et vorticité forme une hélice dans les régions où l' hélicité cinétique . Quand , l'hélice est à droite et quand elle est à gauche. Ce comportement est très similaire pour les lignes de champ magnétique. ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}=\int \mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$${\displaystyle \textstyle H^{K}>0}$${\displaystyle \textstyle H^{K}<0}$

Les régions où l'hélicité magnétique n'est pas nulle peuvent également contenir d'autres types de structures magnétiques comme des lignes de champ magnétique hélicoïdales. L'hélicité magnétique est en effet une généralisation du concept topologique consistant à lier le nombre aux quantités différentielles requises pour décrire le champ magnétique. Le nombre de liaison décrit combien de lignes de champ magnétique sont interconnectées (voir pour une preuve mathématique de celui-ci). Par une simple expérience avec du papier et des ciseaux, on peut montrer que des lignes de champ magnétique qui tournent l'une autour de l'autre peuvent être considérées comme interconnectées (figure 5 dans ). Ainsi, la présence d'hélicité magnétique peut être interprétée comme des lignes de champ magnétique hélicoïdales, des structures magnétiques interconnectées, mais aussi des lignes de champ magnétique tournant les unes autour des autres.

Exemple de structures hélicoïdales dans l'ADN . Cela ressemble à des lignes de champ magnétique hélicoïdales. Topologiquement parlant: unités de contorsion et des unités de torsion peuvent être interchangés.

Les lignes de champ magnétique tournant les unes autour des autres peuvent prendre plusieurs formes. Considérons par exemple un ensemble de lignes de champ magnétique tournant dans un voisinage proche, qui forme un soi-disant " tube de flux magnétique " (voir figure pour une illustration).

" Twist " signifie que le tube de flux tourne autour de son propre axe (chiffres avec Twist= ). Topologiquement parlant, les unités de torsion et de se tordre ( ce qui signifie que la rotation du tube de flux lui-même - axe chiffres avec Writhe = ) peut être transformé en l'autre. On peut également montrer que les nœuds sont également équivalents à des unités de torsion et/ou de torsion. ${\style d'affichage \pm 1}$${\style d'affichage \pm 1}$

Comme pour de nombreuses quantités en électromagnétisme, l'hélicité magnétique (qui décrit les lignes de champ magnétique) est étroitement liée à l'hélicité mécanique des fluides (qui décrit les lignes d'écoulement des fluides) et leurs dynamiques sont liées.

Invariance quadratique idéale

À la fin des années 1950, Lodewijk Woltjer et Walter M. Elsässer ont découvert indépendamment l' invariance idéale de l'hélicité magnétique, c'est-à-dire sa conservation en cas de résistivité nulle. La preuve de Woltjer, valable pour un système fermé, est répétée de la manière suivante :

Dans une MHD idéale , l'évolution temporelle du champ magnétique et du potentiel vecteur magnétique est régie par :

${\displaystyle \partial _{t}{\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }),}$ ${\displaystyle \partial _{t}{\mathbf {A} }={\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }+\nabla (\Phi ),}$

où la deuxième équation est obtenue en "déroulant" la première et est un potentiel scalaire donné par la condition de jauge (voir le paragraphe sur la prise en compte de la jauge ). En choisissant la jauge pour que le potentiel scalaire s'annule ( =0), l'évolution temporelle de l'hélicité magnétique est donnée par : ${\style d'affichage \nabla (\Phi )}$${\style d'affichage \nabla (\Phi )}$

${\displaystyle \partial _{t}H^{\mathbf {M} }=\int (\partial _{t}{\mathbf {A} })\cdot {\mathbf {B} }+{\mathbf { A} }\cdot \partial _{t}{\mathbf {B} }d^{3}{\mathbf {r} }=\int ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} } )\cdot {\mathbf {B} }d^{3}{\mathbf {r} }+\int {\mathbf {A} }\cdot (\nabla \times \partial _{t}{\mathbf {A } })d^{3}{\mathbf {r} }}$.

La première intégrale est nulle puisqu'elle est orthogonale au produit vectoriel . La deuxième intégrale peut être intégrée par parties, donnant : ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }}$

${\displaystyle \partial _{t}H^{\mathbf {M} }=\int _{V}\nabla \times {\mathbf {A} }\cdot (\partial _{t}{\mathbf {A } })d^{3}{\mathbf {r} }+\int _{S}{\mathbf {A} }\times (\partial _{t}{\mathbf {A} })d^{2 }{\mathbf {r} }=0.}$

La première intégrale se fait sur tout le volume et est nulle car comme écrit ci-dessus. La seconde intégrale correspond à l'intégrale de surface sur , les frontières du système fermé. Il est nul car les mouvements à l'intérieur du système fermé ne peuvent pas affecter le potentiel vectoriel à l'extérieur, de sorte qu'à la surface limite , puisque le potentiel vecteur magnétique est une fonction continue. ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }\perp \partial _{t}{\mathbf {A} }}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \partial _{t}A=0}$

Dans toutes les situations où l'hélicité magnétique est invariante de jauge (voir paragraphe ci-dessous), l'hélicité magnétique est donc idéalement conservée sans avoir besoin du choix de jauge spécifique . ${\displaystyle \nabla (\Phi )=0}$

L'hélicité magnétique reste conservée dans une bonne approximation même avec une résistivité faible mais finie, auquel cas la reconnexion magnétique dissipe de l' énergie .

Propriété de transfert inverse

Les structures hélicoïdales à petite échelle ont tendance à former des structures magnétiques de plus en plus grandes. Cela peut être appelé un transfert inverse dans l'espace de Fourier, par opposition à la cascade d'énergie (directe) dans les écoulements hydrodynamiques turbulents tridimensionnels. La possibilité d'un tel transfert inverse a d'abord été proposée par Uriel Frisch et ses collaborateurs et a été vérifiée par de nombreuses expériences numériques. En conséquence, la présence d'hélicité magnétique est une possibilité d'expliquer l'existence et le maintien de structures magnétiques à grande échelle dans l'Univers.

Un argument pour ce transfert inverse tiré de est répété ici, qui est basé sur la soi-disant "condition de réalisation" sur le spectre de Fourier d'hélicité magnétique (où est le coefficient de Fourier au vecteur d' onde du champ magnétique , et de même pour , l'étoile désignant le complexe conjugué ). La "condition de réalisation" correspond à une application de l' inégalité de Cauchy-Schwarz , qui donne : ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}={\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\ chapeau {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\mathbf {B} }}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}}$

${\displaystyle |{\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}|\leq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|{\mathbf {k } }|}}}$,

avec le spectre d'énergie magnétique. Pour obtenir cette inégalité, le fait que (avec la partie solénoïde du potentiel vecteur magnétique transformé de Fourier, orthogonal au vecteur d'onde dans l'espace de Fourier) a été utilisé, depuis . Le facteur 2 n'est pas présent dans l'article puisque l'hélicité magnétique y est définie alternativement comme . ${\displaystyle E_{\mathbf {k} }^{M}={\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }^{*}\ cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle |{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }|=|{\mathbf {k} }||{\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }|}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }=i{\mathbf {k} }\times {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k } }}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }d^{3}{\mathbf {r} }}$

On peut alors imaginer une situation initiale sans champ de vitesse et un champ magnétique présent uniquement à deux vecteurs d'onde et . Nous supposons un champ magnétique entièrement hélicoïdal, ce qui signifie qu'il sature la condition de réalisabilité : et . En supposant que tous les transferts d'énergie et d'hélicité magnétique se fassent vers un autre vecteur d'onde , la conservation de l'hélicité magnétique d'une part et de l'énergie totale (la somme des énergies (m)magnétique et (k)inétique) d'autre part donne : ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle |{\hat {H}}_{\mathbf {p} }^{M}|={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|{\mathbf {p} }|}}}$${\displaystyle |{\hat {H}}_{\mathbf {q} }^{M}|={\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|{\mathbf {q} }|}}}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle E^{T}=E^{M}+E^{K}}$

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M},}$

${\displaystyle E_{\mathbf {k} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{T}+E_{\mathbf {q} }^{T}=E_{\mathbf {p} } ^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}.}$

La seconde égalité pour l'énergie vient du fait que l'on considère un état initial sans énergie cinétique. Ensuite, nous avons nécessairement . En effet, si on avait , alors : ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$${\displaystyle |\mathbf {k} |>\max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M}={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{\ frac {2(E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M})}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|\mathbf {k} |}},}$

ce qui briserait la condition de réalisation. Cela signifie que . En particulier, pour , l'hélicité magnétique est transférée à un vecteur d'onde plus petit, c'est-à-dire à des échelles plus grandes. ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$${\displaystyle |{\mathbf {p} }|=|{\mathbf {q} }|}$

Considérations relatives à la jauge

L'hélicité magnétique est une quantité dépendante de la jauge, car elle peut être redéfinie en lui ajoutant un gradient ( choix de la jauge ). Cependant, pour des frontières parfaitement conductrices ou des systèmes périodiques sans flux magnétique net, l'hélicité magnétique contenue dans tout le domaine est invariante de jauge, c'est-à-dire indépendante du choix de jauge. Une hélicité relative invariante de jauge a été définie pour des volumes avec un flux magnétique non nul sur leurs surfaces limites. ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Voir également

• Le théorème de Woltjer

Les références

Liens externes

• La page Helicity d' AA Pevtsov
• Page des publications de Mitch Berger