Théorème de Marden - Marden's theorem

Un triangle et son inellipse de Steiner. Les zéros de p ( z ) sont les points noirs et les zéros de p ' ( z ) sont les points rouges). Le point central vert est le zéro de  p "( z ) . Le théorème de Marden déclare que les points rouges sont les foyers de l'ellipse.

En mathématiques , le théorème de Marden , nommé d'après Morris Marden mais prouvé environ 100 ans plus tôt par Jörg Siebeck, donne une relation géométrique entre les zéros d'un polynôme du troisième degré à coefficients complexes et les zéros de sa dérivée . Voir aussi les propriétés géométriques des racines polynomiales .

Déclaration

Un polynôme cubique a trois zéros dans le plan des nombres complexes, qui forment en général un triangle, et le théorème de Gauss-Lucas déclare que les racines de sa dérivée se trouvent dans ce triangle. Le théorème de Marden énonce plus précisément leur emplacement dans ce triangle:

Supposons que les zéros z 1 , z 2 et z 3 d'un polynôme du troisième degré p ( z ) ne soient pas colinéaires. Il y a une ellipse unique inscrite dans le triangle de sommets z 1 , z 2 , z 3 et tangente aux côtés en leur milieu : l' inellipse de Steiner . Les foyers de cette ellipse sont les zéros de la dérivée p ' ( z ) .

Relations supplémentaires entre les emplacements des racines et l'inellipse de Steiner

D'après le théorème de Gauss-Lucas , la racine de la double dérivée p "( z ) doit être la moyenne des deux foyers, qui est le centre de l'ellipse et le centre de gravité du triangle. Dans le cas particulier où le triangle est équilatérale (comme cela arrive, par exemple, pour le polynôme p ( z ) = z 3 - 1 ) l'ellipse inscrite dégénère en cercle et la dérivée de  p a une racine double au centre du cercle. Inversement, si la dérivée a une racine double, alors le triangle doit être équilatéral ( Kalman 2008a ).

Généralisations

Une version plus générale du théorème, due à Linfield (1920) , s'applique aux polynômes p ( z ) = ( z - a ) i ( z - b ) j ( z - c ) k dont le degré i + j + k peut être supérieur à trois, mais qui n'ont que trois racines a , b et c . Pour de tels polynômes, les racines de la dérivée peuvent être trouvées aux racines multiples du polynôme donné (les racines dont l'exposant est supérieur à un) et aux foyers d'une ellipse dont les points de tangence au triangle divisent ses côtés dans les rapports i  : j , j  : k et k  : i .

Une autre généralisation ( Parish (2006) ) est aux n -gons: certains n -gons ont une ellipse intérieure qui est tangente à chaque côté au milieu du côté. Le théorème de Marden s'applique toujours: les foyers de cette inellipse tangente médiane sont des zéros de la dérivée du polynôme dont les zéros sont les sommets du n -gon.

Histoire

Jörg Siebeck a découvert ce théorème 81 ans avant que Marden n'écrive à ce sujet. Cependant, Dan Kalman a intitulé son article American Mathematical Monthly "Théorème de Marden" parce que, comme il l'écrit, "j'appelle ce théorème de Marden parce que je l'ai lu pour la première fois dans le merveilleux livre de M. Marden".

Marden ( 1945 , 1966 ) attribue ce qu'on appelle maintenant le théorème de Marden à Siebeck (1864) et cite neuf articles qui comprenaient une version du théorème. Dan Kalman a remporté le prix Lester R. Ford 2009 de la Mathematical Association of America pour son article de 2008 dans l' American Mathematical Monthly décrivant le théorème.

Une preuve brève et élémentaire du théorème de Marden est expliquée dans la solution d'un exercice du livre de Fritz Carlson «Geometri» (en suédois, 1943).

Voir également

Les références