Steiner inellipse - Steiner inellipse

L'ellipse Steiner. D'après le théorème de Marden , étant donné le triangle à sommets (1,7), (7,5) et (3,1), les foyers de l'ellipse sont (3,5) et (13/3,11/3), puisque D _x (1 + 7 i − x )(7 + 5 i − x )(3 + i − x ) = -3(13/3 + 11/3 i − x )(3 + 5 i − x ).

Dans la géométrie , la Ellipse de Steiner , inellipse point milieu , ou ellipse point milieu d'un triangle est l'unique , ellipse inscrit dans le triangle et tangente aux côtés au niveau de leurs points médians. C'est un exemple d' ellipse . Par comparaison, le cercle inscrit et l' ellipse de Mandart d'un triangle sont d'autres inconiques qui sont tangentes aux côtés, mais pas aux milieux à moins que le triangle ne soit équilatéral . L'ellipse de Steiner est attribuée par Dörrie à Jakob Steiner , et une preuve de son unicité est donnée par Dan Kalman.

L'ellipse de Steiner contraste avec la circonellipse de Steiner , aussi appelée simplement l'ellipse de Steiner, qui est l'unique ellipse qui passe par les sommets d'un triangle donné et dont le centre est le centre de gravité du triangle .

Définition et propriétés

Définition

Une ellipse tangente aux côtés d'un triangle en son milieu est appelée l' ellipse Steiner du triangle . ${\style d'affichage ABC}$${\style d'affichage M_{1},M_{2},M_{3}}$${\style d'affichage ABC}$

ellipse Steiner (bleu) et ellipse Steiner (rouge)

Inellipse de Steiner (bleu) et ellipse de Steiner (rouge) d'un triangle équilatéral

Propriétés :
Pour un triangle arbitraire avec les milieux de ses côtés, les affirmations suivantes sont vraies : a) Il existe exactement une inellipse de Steiner. b) Le centre de l'ellipse de Steiner est le centre de gravité du triangle . c1) Le triangle a le même centre de gravité et l'ellipse de Steiner du triangle est l'ellipse de Steiner du triangle . c2) Le inellipse Steiner d'un triangle est la mise à l' échelle Steiner Ellipse avec facteur d' échelle de 1/2 et le centre de gravité en tant que centre. Par conséquent, les deux ellipses ont la même excentricité , sont similaires . d) L' aire de l'ellipse de Steiner est - fois l'aire du triangle. e) L'ellipse de Steiner a la plus grande aire de toutes les ellipses du triangle. ${\style d'affichage ABC}$${\style d'affichage M_{1},M_{2},M_{3}}$

${\style d'affichage S}$${\style d'affichage ABC}$
${\style d'affichage M_{1}M_{2}M_{3}}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage ABC}$${\style d'affichage M_{1}M_{2}M_{3}}$

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

Preuve

Les preuves des propriétés a),b),c) sont basées sur les propriétés suivantes d'une application affine : 1) tout triangle peut être considéré comme une image affine d'un triangle équilatéral. 2) Les milieux des côtés sont mappés sur les milieux et les centroïdes sur les centroïdes. Le centre d'une ellipse est mappé sur le centre de son image.
Il suffit donc de prouver les propriétés a),b),c) pour un triangle équilatéral :
a) A tout triangle équilatéral existe un cercle inscrit . Il touche les côtés à ses points médians. Il n'y a pas d'autre conique (non dégénérée) avec les mêmes propriétés, car une conique est déterminée par 5 points/tangentes.
b) Par un simple calcul.
c) Le cercle circonscrit est mappé par une mise à l'échelle, avec un facteur 1/2 et le centroïde comme centre, sur le cercle inscrit. L'excentricité est un invariant.
d) Le rapport des aires est invariant aux transformations affines. Ainsi, le rapport peut être calculé pour le triangle équilatéral.
e) Voir Inellipse .

Représentation paramétrique et demi-axes

Représentation paramétrique :

• Parce qu'une ellipse Steiner d'un triangle est une ellipse Steiner à l'échelle (facteur 1/2, le centre est centroïde), on obtient une représentation paramétrique dérivée de la représentation trigonométrique de l' ellipse Steiner  :${\style d'affichage ABC}$

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\color {blue}{\frac {1}{2}} }{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{{\color {blue}2}{\sqrt {3}}}}{\overrightarrow {AB}}\ ;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \ .}$

• Les 4 sommets de l'ellipse de Steiner sont

${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\ vec {p}}(t_{0}+\pi ),}$

où est la solution de ${\style d'affichage t_{0}}$

${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2 }}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad }$ avec ${\displaystyle \quad {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={ \frac {1}{2{\sqrt {3}}}}{\vec {AB}}\ .}$

Demi-axes :

• Avec les abréviations

${\displaystyle M:={\color {blue}{\frac {1}{4}}}({\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec { AB}}^{2})}$

${\displaystyle N:={\frac {1}{{\color {blue}4}{\sqrt {3}}}}\left|\det({\vec {SC}},{\vec {AB} })\droit|}$

on obtient pour les demi-axes : ${\style d'affichage a,b,\;a>b}$

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})}$

${\displaystyle b={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\ .}$

• L' excentricité linéaire de l'ellipse de Steiner est${\style d'affichage c}$

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\dotsb ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .}$

Équation trilinéaire

L'équation de l'ellipse de Steiner en coordonnées trilinéaires pour un triangle de côtés a, b, c (avec ces paramètres ayant une signification différente que précédemment) est

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0}$

où x est une constante positive arbitraire fois la distance d'un point du côté de longueur a , et de même pour b et c avec la même constante multiplicative.

Autres propriétés

Les longueurs des demi-grands et demi-petits axes d'un triangle de côtés a, b, c sont

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

où

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c ^{2}un^{2}}}.}$

D'après le théorème de Marden , si les trois sommets du triangle sont les zéros complexes d'un polynôme cubique , alors les foyers de l'ellipse de Steiner sont les zéros de la dérivée du polynôme.

L'axe principal de l'ellipse de Steiner est la ligne de meilleur ajustement orthogonal pour les sommets.

Notons G , F ₊ et F ₋ respectivement le centre de gravité et les premier et deuxième points de Fermat d'un triangle. Le grand axe de l'ellipse de Steiner du triangle est la bissectrice intérieure de F ₊ GF ₋ . Les longueurs des axes sont | GF ₋ | ± | GF ₊ | : c'est-à-dire la somme et la différence des distances des points de Fermat au centre de gravité.

Les axes de l'ellipse de Steiner d'un triangle sont tangents à sa parabole de Kiepert, l'unique parabole qui est tangente aux côtés du triangle et a pour directrice la droite d'Euler .

Les foyers de l'ellipse de Steiner d'un triangle sont les intersections du grand axe de l'ellipse et du cercle de centre sur le petit axe et passant par les points de Fermat.

Comme pour toute ellipse inscrite dans un triangle ABC , en faisant les foyers P et Q on a

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\ overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\ overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

Généralisation

L'ellipse de Steiner d'un triangle peut être généralisée aux n -gons : certains n -gons ont une ellipse intérieure tangente à chaque côté au milieu du côté. Le théorème de Marden s'applique toujours : les foyers de l'ellipse de Steiner sont des zéros de la dérivée du polynôme dont les zéros sont les sommets du n -gon.

Les références