Fonction méromorphe - Meromorphic function

Dans le domaine mathématique d' analyse complexe , une fonction méromorphe sur une partie ouverte D du plan complexe est une fonction qui est holomorphe sur l' ensemble de D à l'exception d'un ensemble de points isolés , qui sont des pôles de la fonction. Le terme vient du grec ancien meros ( μέρος ), signifiant « partie ».

Toute fonction méromorphe sur D peut être exprimée comme le rapport entre deux fonctions holomorphes (avec le dénominateur non constant 0) définies sur D : tout pôle doit coïncider avec un zéro du dénominateur.

La fonction gamma est méromorphe dans tout le plan complexe.

Description heuristique

Intuitivement, une fonction méromorphe est un rapport de deux fonctions bien élevées (holomorphes). Une telle fonction se comportera toujours bien, sauf peut-être aux points où le dénominateur de la fraction est zéro. Si le dénominateur a un zéro en z et pas le numérateur, alors la valeur de la fonction approchera l'infini ; si les deux parties ont un zéro en z , alors il faut comparer la multiplicité de ces zéros.

D'un point de vue algébrique, si le domaine de la fonction est connexe , alors l'ensemble des fonctions méromorphes est le corps des fractions du domaine intégral de l'ensemble des fonctions holomorphes. Ceci est analogue à la relation entre les nombres rationnels et les nombres entiers .

Utilisation antérieure et alternative

Le domaine d'études dans lequel le terme est utilisé et le sens précis du terme ont changé au 20e siècle. Dans les années 1930, dans la théorie des groupes , une fonction méromorphe (ou méromorphe ) était une fonction d'un groupe G en lui-même qui préservait le produit sur le groupe. L'image de cette fonction a été appelée un automorphisme de G . De même, une fonction homomorphe (ou homomorphe ) était une fonction entre groupes qui préservait le produit, tandis qu'un homomorphisme était l'image d'un homomorphe. Cette forme du terme est maintenant obsolète, et le terme méromorphe n'est plus utilisé dans la théorie des groupes. Le terme endomorphisme est maintenant utilisé pour la fonction elle-même, sans nom spécial donné à l'image de la fonction.

Une fonction méromorphe n'est pas nécessairement un endomorphisme, puisque les points complexes à ses pôles ne sont pas dans son domaine, mais peuvent être dans son domaine.

Propriétés

Puisque les pôles d'une fonction méromorphe sont isolés, il y en a au plus un nombre dénombrable . L'ensemble des pôles peut être infini, comme l'illustre la fonction

${\displaystyle f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.}$

En utilisant la continuation analytique pour éliminer les singularités amovibles , les fonctions méromorphes peuvent être ajoutées, soustraites, multipliées et le quotient peut être formé sauf sur une composante connexe de D . Ainsi, si D est connexe, les fonctions méromorphes forment un champ , en fait une extension de champ des nombres complexes . ${\style d'affichage f/g}$${\style d'affichage g(z)=0}$

Dimensions supérieures

Dans plusieurs variables complexes , une fonction méromorphe est définie comme étant localement un quotient de deux fonctions holomorphes. Par exemple, est une fonction méromorphe sur l'espace affine complexe à deux dimensions. Ici, il n'est plus vrai que toute fonction méromorphe puisse être considérée comme une fonction holomorphe à valeurs dans la sphère de Riemann : Il existe un ensemble "d'indétermination" de codimension deux (dans l'exemple donné cet ensemble est constitué de l'origine ). ${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=z_{1}/z_{2}}$${\style d'affichage (0,0)}$

Contrairement à la dimension un, dans les dimensions supérieures, il existe des variétés complexes compactes sur lesquelles il n'y a pas de fonctions méromorphes non constantes, par exemple, les tores les plus complexes .

Exemples

• Toutes les fonctions rationnelles , par exemple
  $${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},}$$

  
  sont méromorphes sur tout le plan complexe.
• Les fonctions
  $${\displaystyle f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{( z-1)^{2}}}}$$

  
  ainsi que la fonction gamma et la fonction zêta de Riemann sont méromorphes sur l'ensemble du plan complexe.
• La fonction
  $${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$$

  
  est défini dans tout le plan complexe à l'exception de l'origine, 0. Cependant, 0 n'est pas un pôle de cette fonction, mais plutôt une singularité essentielle . Ainsi, cette fonction n'est pas méromorphe dans tout le plan complexe. Cependant, il est méromorphe (voire holomorphe) sur .${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$
• La fonction logarithme complexe
  $${\style d'affichage f(z)=\ln(z)}$$

  
  n'est pas méromorphe sur tout le plan complexe, car il ne peut pas être défini sur tout le plan complexe en excluant seulement un ensemble de points isolés.
• La fonction
  $${\displaystyle f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}}$$

  
  n'est pas méromorphe dans tout le plan, puisque le point est un point d'accumulation de pôles et n'est donc pas une singularité isolée.${\style d'affichage z=0}$
• La fonction
  $${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}}$$

  
  n'est pas méromorphe non plus, car il a une singularité essentielle en 0.

Sur les surfaces de Riemann

Sur une surface de Riemann , chaque point admet un voisinage ouvert qui est biholomorphe à un sous-ensemble ouvert du plan complexe. Ainsi, la notion de fonction méromorphe peut être définie pour chaque surface de Riemann.

Lorsque D est l'ensemble de la sphère de Riemann , le champ des fonctions méromorphes est simplement le champ des fonctions rationnelles dans une variable sur le champ complexe, puisqu'on peut prouver que toute fonction méromorphe sur la sphère est rationnelle. (Il s'agit d'un cas particulier du principe dit GAGA .)

Pour chaque surface de Riemann , une fonction méromorphe est la même qu'une fonction holomorphe qui correspond à la sphère de Riemann et qui n'est pas constante . Les pôles correspondent à ces nombres complexes qui sont mappés à .

Sur une surface de Riemann non compacte , chaque fonction méromorphe peut être réalisée comme un quotient de deux fonctions holomorphes (définies globalement). En revanche, sur une surface de Riemann compacte, toute fonction holomorphe est constante, alors qu'il existe toujours des fonctions méromorphes non constantes.

Notes de bas de page

Les références