Mesure extérieure - Outer measure

Dans le domaine mathématique de la théorie de la mesure , une mesure extérieure ou une mesure extérieure est une fonction définie sur tous les sous-ensembles d'un ensemble donné avec des valeurs dans les nombres réels étendus satisfaisant certaines conditions techniques supplémentaires. La théorie des mesures extérieures a été introduite pour la première fois par Constantin Carathéodory pour fournir une base abstraite à la théorie des ensembles mesurables et des mesures dénombrables additives . Les travaux de Carathéodory sur les mesures extérieures ont trouvé de nombreuses applications dans la théorie des ensembles de la théorie de la mesure (les mesures extérieures sont par exemple utilisées dans la preuve du théorème d'extension fondamental de Carathéodory ), et ont été utilisées de manière essentielle par Hausdorff pour définir une métrique de type dimension invariante maintenant appelée dimension de Hausdorff . Les mesures externes sont couramment utilisées dans le domaine de la théorie de la mesure géométrique .

Les mesures sont des généralisations de longueur, d'aire et de volume, mais sont utiles pour des ensembles beaucoup plus abstraits et irréguliers que les intervalles dans R ou les boules dans R ³ . On pourrait s'attendre à définir une fonction de mesure généralisée sur R qui remplit les exigences suivantes :

Tout intervalle de réels [ a , b ] a pour mesure b − a
La fonction de mesure est une fonction à valeur réelle étendue non négative définie pour tous les sous-ensembles de R .
Invariance de translation : Pour tout ensemble A et tout réel x , les ensembles A et A+x ont la même mesure (où ) $A+x=\{a+x:a\in A\}$
Additivité dénombrable : pour toute suite ( A _j ) de sous - ensembles deux à deux disjoints de R

\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}) .

Il s'avère que ces exigences sont des conditions incompatibles ; voir ensemble non mesurable . Le but de la construction d'une mesure externe sur tous les sous-ensembles de X est de choisir une classe de sous-ensembles (à appeler mesurables ) de manière à satisfaire la propriété d'additivité dénombrable.

Mesures extérieures

Étant donné un ensemble $X$ , soit $2 X$ la collection de tous les sous - ensembles de $X$ , y compris l' ensemble vide $\emptyset$ . Une mesure extérieure sur $X$ est une fonction

\mu :2^{X}\to [0,\infty ]

tel que

$μ (\emptyset) = 0$
pour des sous-ensembles arbitraires $A, B 1, B 2, ...$ de $X$ ,

{\text{if }}A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ then }}\mu (A)\leq \sum _{j= 1}^{\infty }\mu (B_{j}).

Notez qu'il n'y a aucune subtilité sur la sommation infinie dans cette définition. Puisque les sommes sont toutes supposées non négatives, la séquence des sommes partielles ne pourrait diverger qu'en augmentant sans borne. Ainsi, la somme infinie apparaissant dans la définition sera toujours un élément bien défini de $[0,\infty]$ . Si, au contraire, une mesure extérieure était autorisée à prendre des valeurs négatives, sa définition devrait être modifiée pour tenir compte de la possibilité de sommes infinies non convergentes.

Une définition alternative et équivalente. Certains manuels, comme Halmos (1950), définissent plutôt une mesure extérieure sur $X$ comme une fonction $μ : 2 X \to[0,\infty]$ telle que

$μ (\emptyset) = 0$
si $A$ et $B$ sont des sous-ensembles de $X$ avec $A \subset B$ , alors $μ (A) \leq μ (B)$
pour des sous-ensembles arbitraires $B 1, B 2, ...$ de $X$ , on a

\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\Big )}\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu ( B_{j}).

Preuve d'équivalence.

Supposons que

μ

est une mesure extérieure dans le sens initialement donné ci - dessus. Si

A

et

B

sont des sous-ensembles de

X

avec

A \subset B

, alors en faisant appel à la définition avec

B 1 = B

et

B j = \emptyset

pour tout

j 2

, on trouve que

μ (A) \leq μ (B)

. La troisième condition de la définition alternative est immédiate à partir de l'observation triviale que

\cup j B j \cup j B j

.

On suppose au contraire que $μ$ est une mesure externe dans la définition alternative. Soient $A, B 1, B 2, ...$ des sous - ensembles arbitraires de $X$ , et supposons que

A\sous-ensemble \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}.

On a alors

\mu (A)\leq \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\Big )}\leq \sum _{j=1}^ {\infty }\mu (B_{j}),

avec la première inégalité résultant de la deuxième condition dans la définition alternative, et la deuxième inégalité résultant de la troisième condition dans la définition alternative. Donc $μ$ est une mesure extérieure au sens de la définition originale.

Mesurabilité des ensembles par rapport à une mesure extérieure

Laissez - $X$ un ensemble avec une mesure extérieure $μ$ . On dit qu'un sous-ensemble $E$ de $X$ est $μ$ -mesurable (parfois " Carathéodory -mesurable relativement à $μ$ ") si et seulement si

\mu (A)=\mu {\big (}A\cap E{\big )}+\mu {\big (}A\smallsetminus E{\big )}

pour chaque sous-ensemble $A$ de $X$ .

De manière informelle, cela dit qu'un sous-ensemble $μ$ -mesurable est un sous-ensemble qui peut être utilisé comme bloc de construction, brisant tout autre sous-ensemble en morceaux (à savoir, la pièce qui est à l'intérieur de l'ensemble mesurable avec la pièce qui est à l'extérieur de l'ensemble mesurable ensemble). En termes de motivation pour la théorie de la mesure, on pourrait s'attendre à ce que la zone , par exemple, soit une mesure extérieure sur le plan. On pourrait alors s'attendre à ce que chaque sous-ensemble du plan soit considéré comme « mesurable », suivant le principe attendu selon lequel

\operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)

chaque fois que $A$ et $B$ sont des sous-ensembles disjoints du plan. Cependant, le développement logique formel de la théorie montre que la situation est plus compliquée. Une implication formelle de l' axiome du choix est que pour toute définition de l'aire en tant que mesure extérieure qui inclut comme cas particulier la formule standard pour l'aire d'un rectangle, il doit y avoir des sous-ensembles du plan qui ne sont pas mesurables. En particulier, le "principe attendu" ci-dessus est faux, à condition d'accepter l'axiome du choix.

L'espace de mesure associé à une mesure externe

Il est facile d'utiliser la définition ci - dessus $μ$ -measurability pour voir que

si $A \subset X$ est $μ$ -mesurable alors son complément $X - A \subset X$ est aussi $μ$ -mesurable.

La condition suivante est connue sous le nom « dénombrable additivité de $μ$ sur des sous - ensembles mesurables. »

si $A 1, A 2, ...$ sont des sous-ensembles $μ$ -mesurables de $X$ et $A i \cap A j$ est vide chaque fois que $i \neq j$ , alors on a

\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_ {j}).

Preuve d'additivité comptable.

On a automatiquement la conclusion sous la forme "

\leq

" de la définition de mesure extérieure. Il est donc nécessaire de prouver la «

\geq

» l' inégalité. On a

\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^ {N}A_{j}{\Grand )}

pour tout nombre positif $N$ , en raison de la deuxième condition de la "définition alternative" de la mesure extérieure donnée ci-dessus. Supposons (inductivement) que

\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{N-1}\mu (Un J})

En appliquant la définition ci-dessus de la $μ$ -mesurabilité avec $A = A 1 \cdot\cdot\cdot \cup A N$ et avec $E = A N$ , on a

{\begin{aligned}\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}&=\mu \left({\Big (}\ bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\cap A_{N}\right)+\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{ N}A_{j}{\Big )}\smallsetminus A_{N}\right)\\&=\mu (A_{N})+\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{ N-1}A_{j}{\Grand )}\end{aligné}}

qui clôt l'induction. En revenant à la première ligne de la preuve, on a alors

\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \sum _{j=1}^{N}\mu (A_ {j})

pour tout entier positif $N$ . On peut alors envoyer $N$ à l'infini pour obtenir l' inégalité " $\geq$ " recherchée.

Une preuve similaire montre que :

si $A 1, A 2, ...$ sont des sous-ensembles $μ$ -mesurables de $X$ , alors l'union $\cup j \in ℕ A j$ et l'intersection $\cap j \in ℕ A j$ sont aussi $μ$ -mesurables.

Les propriétés données ici peuvent être résumées par la terminologie suivante :

Étant donné toute mesure extérieure $μ$ sur un ensemble $X$ , la collection de tous les sous- ensembles $μ$ -mesurables de $X$ est une -algèbre . La restriction de $μ$ à cette σ-algèbre est une mesure.

On a donc une structure d'espace de mesure sur $X$ , résultant naturellement de la spécification d'une mesure extérieure sur $X$ . Cet espace de mesure a la propriété supplémentaire de complétude , qui est contenue dans l'énoncé suivant :

Chaque sous - ensemble $A \subset X$ tel que $μ (A) = 0$ est $μ$ - mesurable.

Ceci est facile à prouver en utilisant la deuxième propriété de la "définition alternative" de la mesure extérieure.

Restriction et poussée d'une mesure extérieure

Soit $μ$ une mesure extérieure sur l'ensemble $X$ .

Faire avancer

Étant donné un autre ensemble $Y$ et une application $f : X \to Y$ , définissons $f # μ : 2 Y \to[0,\infty]$ par

{\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}.

On peut vérifier directement à partir des définitions que $f # μ$ est une mesure extérieure sur $Y$ .

Restriction

Soit $B$ un sous-ensemble de $X$ . Définir $μ B : 2 X \to[0,\infty]$ par

\mu _{B}(A)=\mu (A\cap B).

On peut vérifier directement à partir des définitions que $μ B$ est une autre mesure extérieure sur $X$ .

Mesurabilité des ensembles par rapport à un pushforward ou une restriction

Si un sous - ensemble $A$ de $X$ est $μ$ -mesurable, il est également $μ B$ -mesurable pour toute partie $B$ de $X$ .

Étant donné une application $f : X \to Y$ et un sous-ensemble $A$ de $Y$ , si $f -1 (A)$ est $μ$ -mesurable alors $A$ est $f # μ$ -mesurable. Plus généralement, $f -1 (A)$ est $μ$ -mesurable si et seulement si $A$ est $f # (μ B)$ -mesurable pour tout sous-ensemble $B$ de $X$ .

Mesures extérieures régulières

Définition d'une mesure extérieure régulière

Étant donné un ensemble $X$ , une mesure extérieure $μ$ sur $X$ est dite régulière si un sous-ensemble peut être approximé « de l'extérieur » par des ensembles $μ$ -mesurables. Formellement, cela nécessite l'une ou l'autre des conditions équivalentes suivantes :

pour tout sous-ensemble $A$ de $X$ et tout nombre positif $ε$ , il existe un sous-ensemble $μ$ -mesurable $B$ de $X$ qui contient $A$ et avec $μ (B) < μ (A) + ε$ .
pour tout sous-ensemble $A$ de $X$ , il existe un sous-ensemble $μ$ -mesurable $B$ de $X$ qui contient $A$ et tel que $μ (B) = μ (A)$ .

Il est automatique que la seconde condition implique la première ; la première implique la seconde en considérant l'intersection d'une séquence minimisante de sous-ensembles.

La mesure extérieure régulière associée à une mesure extérieure

Étant donné une mesure extérieure $μ$ sur un ensemble $X$ , définir $ν : 2 X \to[0,\infty]$ par

\nu (A)=\inf {\Big \{}\mu (B):\mu {\text{-sous-ensembles mesurables }}B\sous-ensemble X{\text{ avec }}B\supset A{ \Gros \}}.

Alors $ν$ est une mesure externe régulière sur $X$ qui assigne la même mesure que $μ$ à tous les sous- ensembles $μ$ -mesurables de $X$ . Chaque $μ$ sous -mesurables est également $ν$ -mesurables, et chaque $ν$ sous - ensemble de -mesurables finie $ν$ -mesure est également $μ$ -mesurable.

Ainsi, l'espace de mesure associé à $ν$ peut avoir une σ-algèbre plus grande que l'espace de mesure associé à $μ$ . Les restrictions de $ν$ et $μ$ à la plus petite σ-algèbre sont identiques. Les éléments de la plus grande σ-algèbre qui ne sont pas contenus dans la plus petite σ-algèbre ont une $ν$ -mesure infinie et une $μ$ -mesure finie .

De ce point de vue, $ν$ peut être considéré comme une extension de $μ$ .

Mesure extérieure et topologie

Supposons que $(X, d)$ est un espace métrique et $& phiv$ une mesure externe sur $X$ . Si $φ$ a la propriété

\varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)

n'importe quand

d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,

alors $φ$ est appelé une mesure externe métrique .

Théorème . Si $φ$ est une mesure externe métrique sur $X$ , alors chaque sous-ensemble de Borel de $X$ est $φ$ -mesurable. (Les ensembles de Borel de $X$ sont les éléments de la plus petite $σ$ -algèbre générée par les ensembles ouverts.)

Construction de mesures extérieures

Il existe plusieurs procédures pour construire des mesures extérieures sur un ensemble. La référence Munroe classique ci-dessous décrit deux méthodes particulièrement utiles qui sont appelées Méthode I et Méthode II .

Méthode I

Soit $X$ un ensemble, $C$ une famille de sous-ensembles de $X$ qui contient l'ensemble vide et $p$ une fonction réelle étendue non négative sur $C$ qui s'annule sur l'ensemble vide.

Théorème . Supposons que la famille $C$ et la fonction $p$ soient comme ci-dessus et définissent

\varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \ bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.

C'est-à-dire que l' infimum s'étend sur toutes les séquences ${A i}$ d'éléments de $C$ qui couvrent $E$ , avec la convention que l'infimum est infini si une telle séquence n'existe pas. Alors $φ$ est une mesure extérieure sur $X$ .

Méthode II

La deuxième technique est plus appropriée pour construire des mesures externes sur des espaces métriques, car elle donne des mesures externes métriques. Supposons que $(X, d)$ est un espace métrique. Comme ci-dessus, $C$ est une famille de sous-ensembles de $X$ qui contient l'ensemble vide et $p$ une fonction à valeur réelle étendue non négative sur $C$ qui s'annule sur l'ensemble vide. Pour chaque $> 0$ , soit

C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}

et

\varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\ ,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}} .

De toute évidence, $φ δ \geq φ δ'$ lorsque $δ \leq δ'$ puisque l'infimum est pris sur une classe plus petite lorsque $δ$ diminue. Ainsi

\lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]

existe (peut-être infini).

Théorème . $φ 0$ est une mesure extérieure métrique sur $X$ .

C'est la construction utilisée dans la définition des mesures de Hausdorff pour un espace métrique.

Voir également

Mesure intérieure

Remarques

Les références

Aliprantis, CD ; Frontière, KC (2006). Analyse dimensionnelle infinie (3e éd.). Berlin, Heidelberg, New York : Springer Verlag . ISBN 3-540-29586-0.
Carathéodory, C. (1968) [1918]. Vorlesungen über reelle Funktionen (en allemand) (3e éd.). Éditions Chelsea . ISBN 978-0828400381.
Evans, Lawrence C.; Gariépy, Ronald F. (2015). Théorie de la mesure et propriétés fines des fonctions. Édition révisée . Manuels de mathématiques . CRC Press, Boca Raton, Floride. p. xiv+299. ISBN 978-1-4822-4238-6.
Federer, H. (1996) [1969]. Théorie de la mesure géométrique . Classics in Mathematics (1er éd réimpression éd.). Berlin, Heidelberg, New York : Springer Verlag . ISBN 978-3540606567.
Halmos, P. (1978) [1950]. Théorie de la mesure . Textes d'études supérieures en mathématiques (2e éd.). Berlin, Heidelberg, New York : Springer Verlag. ISBN 978-0387900889.
Munroe, ME (1953). Introduction à la mesure et à l'intégration (1ère éd.). Addison Wesley . ISBN 978-1124042978.
Kolmogorov, AN ; Fomin, SV (1970). Introduction à l'analyse réelle . Richard A. Silverman trad. New York : Publications de Douvres . ISBN 0-486-61226-0.

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