Valeurs particulières de la fonction gamma - Particular values of the gamma function

La fonction gamma est une fonction spéciale importante en mathématiques . Ses valeurs particulières peuvent être exprimées sous forme fermée pour les arguments entiers et demi-entiers , mais aucune expression simple n'est connue pour les valeurs aux points rationnels en général. D'autres arguments fractionnaires peuvent être approximés par des produits infinis efficaces, des séries infinies et des relations de récurrence.

Entiers et demi-entiers

Pour les arguments entiers positifs, la fonction gamma coïncide avec la factorielle . C'est-à-dire,

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1) !,}$

et donc

${\style d'affichage {\begin{aligné}\Gamma (1)&=1,\\\Gamma (2)&=1,\\\Gamma (3)&=2,\\\Gamma (4)&=6 ,\\\Gamma (5)&=24,\end{aligné}}}$

etc. Pour les entiers non positifs, la fonction gamma n'est pas définie.

Pour les demi-entiers positifs, les valeurs de la fonction sont données exactement par

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(n-2)!!}{2^{\frac {n -1}{2}}}}\,,}$

ou de manière équivalente, pour des valeurs entières non négatives de  n :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}} }\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac { 1}{2}}-n\right)&={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\end{aligned}}}$

où n !! désigne la factorielle double . En particulier,

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,}$	${\style d'affichage \environ 1,772\,453\,850\,905\,516\,0273\,,}$	OEIS :  A002161
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\style d'affichage \environ 0,886\,226\,925\,452\,758\,0137\,,}$	OEIS :  A019704
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\style d'affichage \environ 1.329\,340\,388\,179\,137\,0205\,,}$	OEIS :  A245884
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\style d'affichage \environ 3,323\,350\,970\,447\,842\,5512\,,}$	OEIS :  A245885

et au moyen de la formule de réflexion ,

${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,}$	${\style d'affichage \environ -3,544\,907\,701\,811\,032\,0546\,,}$	OEIS :  A019707
${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\style d'affichage \environ 2,363\,271\,801\,207\,354\,7031\,,}$	OEIS :  A245886
${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {5}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle =-{\tfrac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\style d'affichage \environ -0,945\,308\,720\,482\,941\,8812\,,}$	OEIS :  A245887

Argument rationnel général

Par analogie avec la formule du demi-entier,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\ frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{p}} \right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (}pn-(p-1){\big )}!^{(p) }}{p^{n}}}\end{aligned}}}$

où n ! ^{( p )} désigne le p ième multifactoriel de n . Numériquement,

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337}$ OEIS :  A073005

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119}$ OEIS :  A068466

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532}$ OEIS :  A175380

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043}$ OEIS :  A175379

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\approx 6,548\,062\,940\,247\,824\,4377}$ OEIS :  A220086

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047}$ OEIS :  A203142 .

Comme tend vers l'infini, ${\style d'affichage n}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{n}}\right)\sim n+\gamma -1}$

où est la constante d'Euler–Mascheroni et désigne l'équivalence asymptotique . ${\style d'affichage \gamma }$${\style d'affichage \sim }$

On ne sait pas si ces constantes sont transcendantales en général, mais Γ( 1/3) et (1/4) ont été montrés transcendantaux par GV Chudnovsky . (1/4) / ⁴ √ π est également connu depuis longtemps pour être transcendant, et Youri Nesterenko a prouvé en 1996 que Γ(1/4) , Π et e ^π sont algébriquement indépendants .

Le nombre (1/4) est liée à la constante de Gauss G par

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}$

et il a été conjecturé par Gramain que

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}}$

où δ est la constante de Masser–Gramain OEIS :  A086058 , bien que les travaux numériques de Melquiond et al. indique que cette conjecture est fausse.

Borwein et Zucker ont trouvé que Γ(m/24) peut être exprimé algébriquement en termes de π , K ( k (1)) , K ( k (2)) , K ( k (3)) et K ( k (6)) où K ( k ( N )) est une intégrale elliptique complète du premier type . Cela permet d'approcher efficacement la fonction gamma d'arguments rationnels avec une grande précision en utilisant des itérations moyennes arithmétiques-géométriques quadratiquement convergentes . Aucune relation similaire n'est connue pour Γ(1/5) ou d'autres dénominateurs.

En particulier, où AGM() est la moyenne arithmétique-géométrique , nous avons

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{ 3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {AGM} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\ fracturation {1}{3}}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\operatorname { AGA} \gauche({\sqrt {2}},1\droit)}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2}{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3 }}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGM} \left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\ fracturation {2}{3}}}}.}$

D'autres formules incluent les produits infinis

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}$

et

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi } }2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1 )^{k}}}$

où A est la constante de Glaisher-Kinkelin et G est la constante de Catalan .

Les deux représentations suivantes pour Γ(3/4) ont été donnés par I. Mező

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac { 3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\theta _{1}\ gauche({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\droite),}$

et

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}= \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2 }}}},}$

où θ ₁ et θ ₄ sont deux des fonctions thêta de Jacobi .

Des produits

Certaines identités de produits incluent :

${\displaystyle \prod _{r=1}^{2}\Gamma \left({\tfrac {r}{3}}\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}} \environ 3,627\,598\,728\,468\,435\,7012}$ OEIS :  A186706

${\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)={\sqrt {2\pi ^{3}}}\environ 7.874 \,804\,972\,861\,209\,8721}$ OEIS :  A220610

${\displaystyle \prod _{r=1}^{4}\Gamma \left({\tfrac {r}{5}}\right)={\frac {4\pi ^{2}}{\sqrt { 5}}}\environ 17,655\,285\,081\,493\,524\,2483}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{5}\Gamma \left({\tfrac {r}{6}}\right)=4{\sqrt {\frac {\pi ^{5}}{ 3}}}\environ 40,399\,319\,122\,003\,790\,0785}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{6}\Gamma \left({\tfrac {r}{7}}\right)={\frac {8\pi ^{3}}{\sqrt { 7}}}\environ 93,754\,168\,203\,582\,503\,7970}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{7}\Gamma \left({\tfrac {r}{8}}\right)=4{\sqrt {\pi ^{7}}}\approx 219.828 \,778\,016\,957\,263\,6207}$

En général:

${\displaystyle \prod _{r=1}^{n}\Gamma \left({\tfrac {r}{n+1}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{ n}}{n+1}}}}$

De ces produits peuvent être déduites d'autres valeurs, par exemple, des anciennes équations pour , et , peuvent être déduites : ${\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)}$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {2}{4}}\right)}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}} {\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}}$

D'autres relations rationnelles comprennent

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\Gamma \left({\tfrac {4}{15}}\right)}{\Gamma \left( {\tfrac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\tfrac {2}{15}}\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt [{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}} +{\sqrt {6-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {9}{20}}\right)}{\Gamma \left( {\tfrac {3}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {7}{20}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}} \left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\ Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10} }{\sqrt[{4}]{5}}}}}$

et bien d'autres relations pour Γ(m/ré) où le dénominateur d divise 24 ou 60.

Les quotients gamma avec des valeurs algébriques doivent être « équilibrés » dans le sens où la somme des arguments est la même (modulo 1) pour le dénominateur et le numérateur.

Un exemple plus sophistiqué :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {11}{42}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)}{\Gamma \left( {\frac {1}{21}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {8\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right){\sqrt {\sin \left({\frac {\pi }{21}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{21}}\right )\sin \left({\frac {5\pi }{21}}\right)}}}{2^{\frac {1}{42}}3^{\frac {9}{28}}7 ^{\frac {1}{3}}}}}$

Arguments imaginaires et complexes

La fonction gamma à l' unité imaginaire i = √ −1 donne OEIS :  A212877 , OEIS :  A212878 :

${\displaystyle \Gamma (i)=(-1+i)!\environ -0,1549-0,4980i.}$

Il peut également être donné en termes de Barnes G -fonction :

${\displaystyle \Gamma (i)={\frac {G(1+i)}{G(i)}}=e^{-\log G(i)+\log G(1+i)}.}$

Curieusement, apparaît dans l'évaluation intégrale ci-dessous : ${\style d'affichage \Gamma (i)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\{\cot(x)\}\,dx=1-{\frac {\pi }{2}}+{\frac {i}{ 2}}\log \left({\frac {\pi }{\sinh(\pi )\Gamma (i)^{2}}}\right).}$

Dénote ici la partie fractionnaire . ${\style d'affichage \{\cdot \}}$

En raison de la formule de réflexion d'Euler et du fait que , nous avons une expression pour le module au carré de la fonction Gamma évaluée sur l'axe imaginaire : ${\displaystyle \Gamma ({\bar {z}})={\bar {\Gamma }}(z)}$

${\displaystyle \left|\Gamma (i\kappa )\right|^{2}={\frac {\pi }{\kappa \sinh(\pi \kappa )}}}$

L'intégrale ci-dessus concerne donc la phase de . ${\style d'affichage \Gamma (i)}$

La fonction gamma avec d'autres arguments complexes renvoie

${\displaystyle \Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.498-0.155i}$

${\displaystyle \Gamma (1-i)=-i\Gamma (-i)\approx 0.498+0.155i}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995-0.763\,313\,8287\,i}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995+0.763\,313\,8287\,i}$

${\style d'affichage \Gamma (5+3i)\environ 0,016\,041\,8827-9,433\,293\,2898\,i}$

${\displaystyle \Gamma (5-3i)\approx 0.016\,041\,8827+9.433\,293\,2898\,i.}$

Autres constantes

La fonction gamma a un minimum local sur l'axe réel positif

${\displaystyle x_{\min }=1.461\,632\,144\,968\,362\,341\,262\ldots \,}$ OEIS :  A030169

avec la valeur

${\displaystyle \Gamma \left(x_{\min }\right)=0.885\,603\,194\,410\,888\ldots \,}$ OEIS :  A030171 .

L'intégration de la fonction gamma réciproque le long de l'axe réel positif donne également la constante de Fransén-Robinson .

Sur l'axe réel négatif, les premiers maxima et minima locaux (zéros de la fonction digamma ) sont :

Extréma local approximatif de ( x )

X	( x )	OEIS
−0,504 083 008 264 455 409 258 269 3045	−3,544 643 611 155 005 089 121 963 9933	OEIS :  A175472
−1,573 498 473 162 390 458 778 286 0437	−2.302 407 258 339 680 135 823 582 0396	OEIS :  A175473
−2.610 720 868 444 144 650 001 537 7157	−0,888 136 358 401 241 920 095 528 0294	OEIS :  A175474
−3,635 293 366 436 901 097 839 181 5669	−0,245 127 539 834 366 250 438 230 0889	OEIS :  A256681
−4,653 237 761 743 142 441 714 598 1511	−0,052 779 639 587 319 400 760 483 5708	OEIS :  A256682
−5,667 162 441 556 885 535 849 474 1745	−0,009 324 594 482 614 850 521 711 9238	OEIS :  A256683
−6,678 418 213 073 426 742 829 855 8886	−0,001 397 396 608 949 767 301 307 4887	OEIS :  A256684
−7,687 788 325 031 626 037 440 098 8918	−0,000 181 878 444 909 404 188 101 4174	OEIS :  A256685
−8.695 764 163 816 401 266 488 776 1608	−0,000 020 925 290 446 526 668 753 6973	OEIS :  A256686
−9.702 672 540 001 863 736 084 426 7649	−0,000 002 157 416 104 522 850 540 5031	OEIS :  A256687

Voir également

• Formule Chowla-Selberg

Les références

• Gramain, F. (1981). "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond" . Inventer. Mathématiques . 63 (3) : 495-506. Bibcode : 1981InMat..63..495G . doi : 10.1007/BF01389066 .
• Borwein, JM; Zucker, IJ (1992). "Évaluation rapide de la fonction gamma pour les petites fractions rationnelles utilisant des intégrales elliptiques complètes du premier type". Journal d'analyse numérique de l'IMA . 12 (4) : 519-526. doi : 10.1093/imanum/12.4.519 . MR  1186733 .
• X. Gourdon & P. ​​Sebah. Introduction à la fonction Gamma
• S. Finch. Constantes de la fonction gamma d'Euler
• Weisstein, Eric W. "Fonction Gamma" . MathWorld .
• Vidunas, Raimundas (2005). "Expressions pour les valeurs de la fonction gamma". Journal de mathématiques de Kyushu . 59 (2) : 267-283. arXiv : math.CA/0403510 . doi : 10.2206/kyushujm.59.267 .
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• Adamchik, VS (2005). "Fonction gamma multiple et son application au calcul de séries" (PDF) . Le Journal Ramanujan . 9 (3) : 271-288. arXiv : math/0308074 . doi : 10.1007/s11139-005-1868-3 . MR  2173489 .
• Duc, W.; Imamoglu, . (2006). "Valeurs spéciales de plusieurs fonctions gamma" (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux . 18 (1) : 113-123. doi : 10.5802/jtnb.536 . MR  2245878 .