Fonction Thêta - Theta function

En mathématiques , les fonctions thêta sont des fonctions spéciales de plusieurs variables complexes . Ils sont importants dans de nombreux domaines, y compris les théories des variétés abéliennes et des espaces de modules , et des formes quadratiques . Ils ont également été appliqués à la théorie des solitons . Lorsqu'elles sont généralisées à une algèbre de Grassmann , elles apparaissent également dans la théorie quantique des champs .

La forme la plus courante de fonction thêta est celle qui apparaît dans la théorie des fonctions elliptiques . Par rapport à l'une des variables complexes (appelée classiquement z ), une fonction thêta a une propriété exprimant son comportement par rapport à l'addition d'une période des fonctions elliptiques associées, ce qui en fait une fonction quasi - périodique . Dans la théorie abstraite cette quasipériodicité vient de la classe de cohomologie d'un fibré linéaire sur un tore complexe , une condition de descente .

Fonction thêta de Jacobi

Il existe plusieurs fonctions étroitement liées appelées fonctions thêta de Jacobi, et de nombreux systèmes de notation différents et incompatibles pour elles. Une fonction Jacobi thêta ( du nom de Carl Gustav Jacob Jacobi ) est une fonction définie par deux variables complexes z et τ , où z est un nombre complexe et τ est le rapport entre la demi-période , limitée à la demi-plan supérieur , ce qui signifie il a une partie imaginaire positive. Il est donné par la formule

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2 \pi inz\right)\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}\ cos(2\pi nz)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}}$

où q = exp( πiτ ) est le nome et η = exp(2 πiz ) . C'est une forme Jacobi . Au fixe τ , ceci est une série de Fourier pour un 1-périodique fonction entière de z . En conséquence, la fonction thêta est 1-périodique en z :

${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}$

Il s'avère également être τ -quasipériodique en z , avec

${\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=\exp {\bigl (}-\pi i(\tau +2z){\bigr )}\vartheta (z;\tau ).}$

Ainsi, en général,

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\vartheta (z;\tau )}$

pour tout nombre entier a et b .

Fonctions auxiliaires

La fonction thêta de Jacobi définie ci-dessus est parfois considérée avec trois fonctions thêta auxiliaires, auquel cas elle est écrite avec un indice double 0 :

${\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )}$

Les fonctions auxiliaires (ou demi-période) sont définies par

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt] \vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\ pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}$

Cette notation suit Riemann et Mumford ; La formulation originale de Jacobi était en termes de nome q = e ^iπτ plutôt que τ . Dans la notation de Jacobi les thetav -functions sont écrits:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=\theta _{1}(\pi z,q)=-\vartheta _{11}(z;\tau )\ \\theta _{2}(z;q)&=\theta _{2}(\pi z,q)=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z ;q)&=\theta _{3}(\pi z,q)=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\theta _{ 4}(\pi z,q)=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}$

Les définitions ci-dessus des fonctions thêta de Jacobi ne sont en aucun cas uniques. Voir les fonctions thêta de Jacobi (variations de notation) pour une discussion plus approfondie.

Si l' on fait z = 0 dans ce qui précède thêta fonctions, on obtient quatre fonctions de τ seulement, définies sur le demi-plan supérieur. Alternativement, on obtient quatre fonctions de q uniquement, définies sur le disque unité . Elles sont parfois appelées constantes thêta : ${\style d'affichage |q|<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{11}(0;\tau )&=-\theta _{1}(q)=-\sum _{n=-\infty }^{\infty } (-1)^{n-1/2}q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}( q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\ theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\ theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}}$

avec q = e ^iπτ .

Ceux-ci peuvent être utilisés pour définir une variété de formes modulaires , et pour paramétrer certaines courbes ; en particulier, l' identité Jacobi est

${\displaystyle \vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^ {4}}$

qui est la courbe de Fermat de degré quatre.

Identités Jacobi

Les identités de Jacobi décrivent comment les fonctions thêta se transforment sous le groupe modulaire , qui est généré par τ ↦ τ + 1 et τ ↦ − 1/??. Les équations pour la première transformation sont faciles à trouver depuis l' ajout d' un à T pour l'exposant a le même effet que l' ajout1/2à z ( n ≡ n ² mod 2 ). Pour la seconde, laissez

${\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).}$

Puis

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\ alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\ tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau } };{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({ \frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{ aligné}}}$

Fonctions thêta en termes de nome

Au lieu d'exprimer les fonctions Theta en termes de z et τ , nous pouvons les exprimer en termes d'arguments w et le nome q , où w = e ^πiz et q = e ^πiτ . Sous cette forme, les fonctions deviennent

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{ n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n} \left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\ infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\ droite)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left( w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end {aligné}}}$

Nous voyons que les fonctions thêta peuvent également être définies en termes de w et q , sans référence directe à la fonction exponentielle. Ces formules peuvent donc être utilisées pour définir les fonctions Thêta sur d'autres champs où la fonction exponentielle peut ne pas être définie partout, comme les champs de nombres p- adiques .

Représentations de produits

Le triple produit de Jacobi (un cas particulier des identités de Macdonald ) nous dit que pour les nombres complexes w et q avec | q | < 1 et w 0 nous avons

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\ left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}} .}$

Elle peut être prouvée par des moyens élémentaires, comme par exemple dans An Introduction to the Theory of Numbers de Hardy et Wright .

Si nous exprimons la fonction thêta en termes de nome q = e ^iτ (notant que certains auteurs placent plutôt q = e ^{2 πiτ} ) et prenons w = e ^πiz alors

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)= \sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

On obtient donc une formule de produit pour la fonction thêta sous la forme

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (} (2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\grand )}{\Grand )}.}$

En termes de w et q :

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+ q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left( q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left( -{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right) _{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}}$

où ( ; ) _∞ est le symbole q -Pochhammer et θ ( ; ) est la fonction q -thêta . En élargissant les termes, le triple produit de Jacobi peut également être écrit

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2 }\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Grand )},}$

que l'on peut aussi écrire comme

${\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\droit).}$

Cette forme est valable en général mais présente clairement un intérêt particulier lorsque z est réel. Des formules de produits similaires pour les fonctions thêta auxiliaires sont

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\ gauche(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\droit),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)& =1q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1 +2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}$

Représentations intégrales

Les fonctions thêta de Jacobi ont les représentations intégrales suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^ {2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\ sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\ pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\ sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}$

Valeurs explicites

Voir Yi (2004).

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi x}\right)&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}\left(0;e^{- \pi x}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[8pt]\varphi \left(e^{- \pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[8pt] \varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}} \right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{6+4{\sqrt {2}}}}{2}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[ {4}]{27+18{\sqrt {3}}}}{3}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt [{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt[{4}]{8}}+2} {4}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({ \frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{225+100{\sqrt {5}}}}{5}}\\[8pt]\varphi \ gauche(e^{-6\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}} +2{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{ 243{\pi }^{2}}}}{ 6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}{\Gamma \left({\frac {3}{ 4}}\right)}}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4} ]{9}}}}{\sqrt[{8}]{1728}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[ {4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {{\frac {{\sqrt {13+{\sqrt {7} }}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}{14}}\cdot {\sqrt[{8}]{28}}}}={\frac {\sqrt[{ 4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{7+4{\sqrt {7} }+5{\sqrt[{4}]{28}}+{\sqrt[{4}]{1372}}}}{\sqrt {7}}}\\[8pt]\varphi \left(e^ {-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\ frac {{\sqrt[{8}]{128}}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{4}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-9 \pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\ gauche(1+\gauche(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}\right)}{3}}\\[ 8pt]\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi } }{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {20+{\sqrt {450}}+{\sqrt {500}}+10{\ sqrt[{4}]{20}}}}{10}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}] {\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[ {4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\ sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\[8pt]\varphi \left (e^{-16\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)} }{\frac {\left(4+{\sqrt[{4}]{128}}+{\sqrt[{4}]{1024{\sqrt[{4}]{8}}+1024{\sqrt [{4}]{2}}}}\right)}{16}}\end{aligned}}}$

Quelques identités de séries

Les identités des deux séries suivantes ont été prouvées par István Mező :

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _ {4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k \ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}$

Ces relations sont valables pour tout 0 < q < 1 . En spécialisant les valeurs de q , nous avons les sommes suivantes sans paramètre

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2 }\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{ 2}\right)}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{ \sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=\ somme _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k ^{2}}}}\end{aligned}}}$

Zéros des fonctions thêta de Jacobi

Tous les zéros des fonctions thêta de Jacobi sont des zéros simples et sont donnés par les éléments suivants :

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{ \frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z& =m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2 }}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\ fin{aligné}}}$

où m , n sont des nombres entiers arbitraires.

Relation avec la fonction zêta de Riemann

La relation

${\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=\left(-i\tau \right)^{\frac {1}{2}}\vartheta ( 0;\tau )}$

a été utilisé par Riemann pour prouver l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann , au moyen de la transformée de Mellin

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{ 2}}\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\vartheta (0;it)-1{\bigr )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\ mathrm {d} t}{t}}}$

qui peut être montré invariant par substitution de s par 1 − s . L'intégrale correspondante pour z 0 est donnée dans l'article sur la fonction zêta de Hurwitz .

Relation avec la fonction elliptique de Weierstrass

La fonction thêta a été utilisée par Jacobi pour construire (sous une forme adaptée à un calcul facile) ses fonctions elliptiques en tant que quotients des quatre fonctions thêta ci-dessus, et aurait pu être utilisée par lui pour construire également les fonctions elliptiques de Weierstrass , puisque

${\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c}$

où la dérivée seconde est par rapport à z et la constante c est définie de telle sorte que le développement de Laurent de ( z ) à z = 0 a un terme constant nul.

Relation avec la fonction q- gamma

La quatrième fonction thêta – et donc les autres aussi – est intimement liée à la fonction q- gamma de Jackson via la relation

${\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{ 2x(1-x)}}{\gauche(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\gauche(q^{2}-1\right) }}\theta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}$

Relations avec la fonction eta de Dedekind

Soit η ( τ ) est la fonction Dedekind êta , et l'argument de la fonction thêta comme le nome q = e ^πiτ . Puis,

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )} {\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}( \tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^ {2}\gauche({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}( q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta ( \tau )}},\end{aligned}}}$

et,

${\displaystyle \theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)=2\eta ^{3}(\tau ).}$

Voir aussi les fonctions modulaires Weber .

Module elliptique

Le module elliptique est

${\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}}$

et le module elliptique complémentaire est

${\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}} }$

Une solution à l'équation de la chaleur

La fonction thêta de Jacobi est la solution fondamentale de l' équation de la chaleur unidimensionnelle avec des conditions aux limites spatialement périodiques. Prendre z = x pour être réel et τ = il avec t réel et positif, nous pouvons écrire

${\displaystyle \vartheta (x;it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)}$

qui résout l'équation de la chaleur

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x;it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x;it).}$

Cette solution de fonction thêta est 1-périodique en x , et comme t → 0 elle se rapproche de la fonction delta périodique , ou peigne de Dirac , au sens des distributions

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\vartheta (x;it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (xn)}$.

Des solutions générales du problème de la valeur initiale spatialement périodique pour l'équation de la chaleur peuvent être obtenues en convoluant les données initiales à t = 0 avec la fonction thêta.

Relation avec le groupe Heisenberg

La fonction thêta de Jacobi est invariante sous l'action d'un sous-groupe discret du groupe de Heisenberg . Cette invariance est présentée dans l'article sur la représentation thêta du groupe de Heisenberg.

Généralisations

Si F est une forme quadratique à n variables, alors la fonction thêta associée à F est

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)}}$

avec la somme s'étendant sur le réseau des nombres entiers . Cette fonction thêta est une forme modulaire de poids${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$m/2(sur un sous-groupe convenablement défini) du groupe modulaire . Dans l'expansion de Fourier,

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},}$

les nombres R _F ( k ) sont appelés les nombres de représentation de la forme.

Série thêta d'un personnage de Dirichlet

Pour χ un caractère primitif de Dirichlet modulo q et ν =1 - χ (-1)/2 alors

${\displaystyle \theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu } e^{2i\pi n^{2}z}}$

est un poids 1/2+ ν forme modulaire de niveau 4 q ² et caractère

${\displaystyle \chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu },}$

ce qui signifie

${\displaystyle \theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}} \right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}( z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)}$

n'importe quand

${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.}$

Fonction thêta de Ramanujan

Fonction thêta de Riemann

Laisser

${\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}} \,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}}$

l'ensemble des matrices carrées symétriques dont la partie imaginaire est définie positive . est appelé le demi-espace supérieur de Siegel et est l'analogue multidimensionnel du demi-plan supérieur . L' analogue à n dimensions du groupe modulaire est le groupe symplectique Sp(2 n , ) ; pour n = 1 , Sp(2, ) = SL(2, ) . L' analogue à n dimensions des sous - groupes de congruence est joué par ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\ gros \}}.}$

Alors, étant donné τ ∈${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ , la fonction thêta de Riemann est définie comme

${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2} }m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).}$

Ici, z ∈${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ est un vecteur complexe à n dimensions, et l'exposant T dénote la transposition . La fonction thêta de Jacobi est alors un cas particulier, avec n = 1 et τ ∈${\displaystyle \mathbb {H} }$ où est le demi-plan supérieur . Une application importante de la fonction thêta de Riemann est qu'il permet une à envoyer des formules explicites pour les fonctions méromorphes sur compact surfaces de Riemann, ainsi que d' autres objets auxiliaires qui figurent en bonne place dans leur théorie des fonctions, en prenant τ pour être la matrice de période par rapport à une base canonique pour son premier groupe d'homologie . ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Le thêta de Riemann converge absolument et uniformément sur les sous-ensembles compacts de . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}}$

L'équation fonctionnelle est

${\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^ {\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )}$

ce qui vaut pour tous les vecteurs a , b ∈${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ , et pour tout z ∈${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ et τ ∈${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ .

Série Poincaré

La série de Poincaré généralise la série thêta aux formes automorphes par rapport aux groupes fuchsiens arbitraires .

Fonctions thêta généralisées

Il existe en général des fonctions thêta non quadratiques d'ordre supérieur. Ils ont la forme

${\displaystyle \theta _{\chi }^{\{\kappa \}}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)q^{n^{\kappa } },}$

où q = e ^{2 iz} . La variable z se situe dans le demi-plan supérieur, χ ( n ) est une fonction arithmétique quelconque et κ est un entier supérieur à 1.

La restriction κ = 2 et

${\displaystyle \chi (n)\rightarrow {\frac {1}{2}}\chi (n)n^{\nu },}$

avec χ un caractère de Dirichlet est liée à la série classique thêta d'un caractère de Dirichlet & thetav _χ ( z ) . Certaines propriétés sont

${\displaystyle \exp \left(\theta _{\chi }^{\{\kappa \}}(z)\right)=e^{q\chi (1)}\prod _{n=1}^ {\infty }\left(1-q^{n}\right)^{-\chi {\bigl (}n_{\kappa }(n){\bigr )}\epsilon {\bigl (}n_{\ kappa }^{*}(n){\bigr )}}.}$

Ici ε ( n ) =μ ( n )/mquand n 0 , et zéro sinon. La fonction arithmétique μ ( n ) est le Moebius de la fonction . Les fonctions arithmétiques n _κ ( n ) et n^*
_κ( N ) sont évalués à partir de la factorisation de n en le décomposant en une puissance de κ et de son κ partie exempt. C'est comme suit :

${\displaystyle {\begin{aligned}n&=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\ldots p_{t}^{a_{t}}\\[3pt ]&=\left(p_{k_{1}}^{b_{k_{1}}}p_{k_{2}}^{b_{k_{2}}}\ldots p_{k_{s}}^ {b_{k_{s}}}\right)^{\kappa }p_{j_{1}}^{c_{j_{1}}}p_{j_{2}}^{c_{j_{2}} }\ldots p_{j_{r}}^{c_{j_{r}}}.\end{aligned}}}$

Ici, b _{k 1} , b _{k 2} ,..., b _{k s} et c _{j 1} , c _{j 2} ,..., c _{j s} sont des entiers positifs avec tout c _j < κ . Cette décomposition est unique et par convection on pose

${\displaystyle n_{\kappa }(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}p_{k_{1}}^{b_{k_{1}}}p_{k_{2}} ^{b_{k_{2}}}\ldots p_{k_{s}}^{b_{k_{s}}}=1,\\[3pt]p_{k_{1}}^{b_{k_{ 1}}}p_{k_{2}}^{b_{k_{2}}}\ldots p_{k_{s}}^{b_{k_{s}}}&{\text{autrement}}.\ fin{cas}}}$

La fonction n^*
_κ( n ) peut également être évalué comme

${\displaystyle n_{\kappa }^{*}(n)={\frac {n}{{\bigl (}n_{\kappa }(n){\bigr )}^{\kappa }}}}$

lorsque n _κ ( n ) ≠ 0 . Réglage

${\displaystyle C_{\kappa }(\chi ;n):=\mu (n)+\chi {\bigl (}n_{\kappa }(n){\bigr )}\mu \left(n_{\ kappa }^{*}(n)\right),}$

alors C _κ ( χ ; n ) est multiplicatif chaque fois que χ ( n ) est multiplicatif.

Une autre propriété est

${\displaystyle \exp \left(2\pi i\int _{z}^{i\infty }\theta _{\chi }^{\{\kappa \}}(w)\,\mathrm {d} w\right)=e^{{\bigl (}1-\chi (1){\bigr )}q}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n} \right)^{\frac {C_{\kappa }(\chi ;n)}{n}}.}$

Coefficients de la fonction thêta

Si un et b sont des nombres entiers positifs, χ ( n ) une fonction de calcul et des | q | < 1 , alors

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)q^{an^{2}+bn}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n }\sum _{\stackrel {d|n}{ad^{2}+bd=n}}\chi (d).}$

Le cas général, où f ( n ) et χ ( n ) sont des fonctions arithmétiques, et f ( n ): →${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$ est strictement croissante avec f (0) = 0 , est

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)q^{f(n)}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sum _{d|n}\sum _{f(\delta )|d}\chi (\delta )\mu \left({\frac {d}{f(\delta )}}\right).}$

Remarques

Les références

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1964). Manuel des fonctions mathématiques . New York : Publications de Douvres. seconde. 16.27ff. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Éléments de la théorie des fonctions elliptiques . AMS Traductions de monographies mathématiques. 79 . Providence, RI : AMS. ISBN 978-0-8218-4532-5.
• Farkas, Hershel M. ; Kra, Irwin (1980). Surfaces Riemann . New York : Springer-Verlag. ch. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (pour le traitement du thêta de Riemann)
• Hardy, GH ; Wright, EM (1959). Une introduction à la théorie des nombres (4e éd.). Oxford : Clarendon Press.
• Mumford, David (1983). Conférences Tata sur Theta I . Boston : Birkhauser. ISBN 978-3-7643-3109-2.
• Pierpont, James (1959). Fonctions d'une variable complexe . New York : Publications de Douvres.
• Rauch, Harry E. ; Farkas, Hershel M. (1974). Fonctions thêta avec applications aux surfaces de Riemann . Baltimore : Williams et Wilkins. ISBN 978-0-683-07196-2.
• Reinhardt, William P. ; Walker, Peter L. (2010), "Theta Functions" , dans Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M. ; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un cours d'analyse moderne (4e éd.). Cambridge : Cambridge University Press. ch. 21. (histoire de Jacobi thetav fonctions)

Lectures complémentaires

• Farkas, Hershel M. (2008). « Fonctions thêta dans l'analyse complexe et la théorie des nombres ». Dans Alladi, Krishnaswami (éd.). Enquêtes en théorie des nombres . Développements en mathématiques. 17 . Springer-Verlag . p. 57-87. ISBN 978-0-387-78509-7. Zbl  1206.11055 .
• Schoeneberg, Bruno (1974). "IX. Série Thêta". Fonctions modulaires elliptiques . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 203 . Springer-Verlag . p. 203-226. ISBN 978-3-540-06382-7.
• Ackerman, M. Math. Anne. (1979) 244 : 75. "Sur les fonctions génératrices de certaines séries d'Eisenstein " Springer-Verlag

Harry Rauch avec Hershel M. Farkas : Fonctions Thêta avec des applications à Riemann Surfaces, Williams et Wilkins, Baltimore MD 1974, ISBN  0-683-07196-3 .

Liens externes

• Moiseev Igor. "Fonctions elliptiques pour Matlab et Octave" .

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