Processus ponctuel - Point process

En statistique et en théorie des probabilités , un processus ponctuel ou un champ de points est une collection de points mathématiques situés au hasard sur un espace mathématique tel que la ligne réelle ou l'espace euclidien. Les processus ponctuels peuvent être utilisés comme modèles mathématiques de phénomènes ou d'objets représentables sous forme de points dans un certain type d'espace.

Il existe différentes interprétations mathématiques d'un processus ponctuel, comme une mesure de comptage aléatoire ou un ensemble aléatoire. Certains auteurs considèrent un processus ponctuel et un processus stochastique comme deux objets différents de sorte qu'un processus ponctuel est un objet aléatoire qui découle ou est associé à un processus stochastique, bien qu'il ait été remarqué que la différence entre les processus ponctuels et les processus stochastiques n'est pas claire. . D'autres considèrent un processus ponctuel comme un processus stochastique, où le processus est indexé par des ensembles de l'espace sous-jacent sur lequel il est défini, comme la ligne réelle ou l' espace euclidien dimensionnel. D'autres processus stochastiques tels que les processus de renouvellement et de comptage sont étudiés dans la théorie des processus ponctuels. Parfois, le terme «processus ponctuel» n'est pas préféré, car historiquement le mot «processus» désignait une évolution d'un système dans le temps, de sorte que le processus ponctuel est également appelé champ ponctuel aléatoire. ${\ displaystyle n}$

Les processus ponctuels sont des objets bien étudiés en théorie des probabilités et font l'objet d'outils puissants en statistique pour la modélisation et l'analyse de données spatiales , ce qui est intéressant dans des disciplines aussi diverses que la foresterie, l'écologie végétale, l'épidémiologie, la géographie, la sismologie, la science des matériaux, l'astronomie, les télécommunications. , neurosciences computationnelles, économie et autres.

Les processus ponctuels sur la ligne réelle constituent un cas particulier important qui se prête particulièrement à l'étude, car les points sont ordonnés de manière naturelle, et l'ensemble du processus ponctuel peut être complètement décrit par les intervalles (aléatoires) entre les points. Ces processus ponctuels sont fréquemment utilisés comme modèles d'événements aléatoires dans le temps, comme l'arrivée de clients dans une file d'attente ( théorie de la file d' attente ), d'impulsions dans un neurone ( neurosciences computationnelles ), de particules dans un compteur Geiger , de localisation de stations radio dans un réseau de télécommunication ou de recherches sur le World Wide Web .

Théorie générale des processus ponctuels

En mathématiques, un processus ponctuel est un élément aléatoire dont les valeurs sont des « motifs de points » sur un ensemble S . Alors que dans la définition mathématique exacte, un motif de points est spécifié comme une mesure de comptage localement finie , il suffit à des fins plus appliquées de penser à un motif de points comme un sous- ensemble dénombrable de S qui n'a pas de points limites .

Définition

Pour définir les processus ponctuels généraux, nous commençons par un espace de probabilité , et un espace mesurable où se trouve un deuxième espace de Hausdorff dénombrable localement compact et sa σ-algèbre de Borel . Considérons maintenant un noyau localement fini à valeur entière de into , c'est-à-dire un mappage tel que: ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$ ${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ Omega \ times {\ mathcal {S}} \ mapsto \ mathbb {Z} _ {+}}$

Pour chaque , est une mesure localement finie sur . ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi (\ omega, \ cdot)}$ ${\ displaystyle S}$
Pour tout , est une variable aléatoire sur . ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ xi (\ cdot, B): \ Omega \ mapsto \ mathbb {Z} _ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+}}$

Ce noyau définit une mesure aléatoire de la manière suivante. Nous aimerions penser à définir une cartographie qui correspond à une mesure (à savoir, ), où se trouve l'ensemble de toutes les mesures localement finies sur . Maintenant, pour rendre ce mappage mesurable, nous devons définir un -field over . Ce champ est construit comme l'algèbre minimale de sorte que toutes les cartes d'évaluation de la forme , où est relativement compact , soient mesurables. Équipé de ce -field, alors est un élément aléatoire, où pour chaque , est une mesure localement finie sur . ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi _ {\ omega} \ in {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ Omega \ mapsto {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ pi _ {B}: \ mu \ mapsto \ mu (B)}$ ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle S}$

Maintenant, par un processus ponctuel sur nous entendons simplement une mesure aléatoire à valeurs entières (ou équivalent, noyau valeurs entières) construit comme ci - dessus. L'exemple le plus courant pour l'espace d'états S est l'espace euclidien R ⁿ ou un sous-ensemble de celui-ci, où un cas particulier particulièrement intéressant est donné par la demi-droite réelle [0, ∞). Cependant, les processus ponctuels ne sont pas limités à ces exemples et peuvent entre autres être également utilisés si les points sont eux-mêmes des sous-ensembles compacts de R ⁿ , auquel cas ξ est généralement appelé processus de particules . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ xi}$

Il a été noté que le terme processus ponctuel n'est pas très bon si S n'est pas un sous-ensemble de la droite réelle, car il pourrait suggérer que ξ est un processus stochastique . Cependant, le terme est bien établi et incontesté même dans le cas général.

Représentation

Chaque instance (ou événement) d'un processus ponctuel ξ peut être représenté comme

{\ displaystyle \ xi = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ delta _ {X_ {i}},}

où désigne la mesure de Dirac , n est une variable aléatoire à valeurs entières et sont des éléments aléatoires de S . Si les s sont presque sûrement distincts (ou de manière équivalente, presque sûrement pour tous ), alors le processus ponctuel est dit simple . ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ xi (x) \ leq 1}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

Une autre représentation différente mais utile d'un événement (un événement dans l'espace d'événements, c'est-à-dire une série de points) est la notation de comptage, où chaque instance est représentée comme une fonction, une fonction continue qui prend des valeurs entières :: ${\ displaystyle N (t)}$ ${\ displaystyle N: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {Z} ^ {+}}}$

{\ displaystyle N (t_ {1}, t_ {2}) = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ xi (t) dt}

qui est le nombre d'événements dans l'intervalle d'observation . Il est parfois désigné par et ou signifie . ${\ displaystyle (t_ {1}, t_ {2}]}$ ${\ displaystyle N_ {t_ {1}, t_ {2}}}$ ${\ displaystyle N_ {T}}$ ${\ displaystyle N (T)}$ ${\ displaystyle N_ {0, T}}$

Mesure des attentes

La mesure de l' attente Eξ (aussi connu comme mesure moyenne ) d'un processus ponctuel ξ est une mesure sur S qui associe à chaque sous - ensemble Borel B de S le nombre attendu de points de ξ dans B . C'est-à-dire,

{\ displaystyle E \ xi (B): = E {\ bigl (} \ xi (B) {\ bigr)} \ quad {\ text {pour chaque}} B \ dans {\ mathcal {B}}.}

Laplace fonctionnel

La fonctionnelle de Laplace d'un processus ponctuel N est une application de l'ensemble de toutes les fonctions à valeurs positives f sur l'espace d'états de N , définie comme suit: ${\ displaystyle \ Psi _ {N} (f)}$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$

{\ displaystyle \ Psi _ {N} (f) = E [\ exp (-N (f))]}

Ils jouent un rôle similaire aux fonctions caractéristiques de variable aléatoire . Un théorème important dit que: deux processus ponctuels ont la même loi si leurs fonctionnelles de Laplace sont égales.

Mesure du moment

La puissance d'un processus ponctuel est définie sur l'espace produit comme suit: ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ xi ^ {n},}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$

{\ displaystyle \ xi ^ {n} (A_ {1} \ times \ cdots \ times A_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ xi (A_ {i})}

Par le théorème de classe monotone , ce qui définit de manière unique la mesure du produit sur L'attente est appelé e mesure moment . La mesure du premier moment est la mesure moyenne. ${\ Displaystyle (S ^ {n}, B (S ^ {n})).}$ ${\ displaystyle E \ xi ^ {n} (\ cdot)}$ ${\ displaystyle n}$

Laissez . Les intensités conjointes d'un processus ponctuel par rapport à la mesure de Lebesgue sont des fonctions telles que pour tout sous-ensemble de Borel borné disjoint ${\ displaystyle S = \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {(k)}: (\ mathbb {R} ^ {d}) ^ {k} \ à [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {k}}$

{\ displaystyle E \ left (\ prod _ {i} \ xi (B_ {i}) \ right) = \ int _ {B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {k}} \ rho ^ {(k )} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) \, dx_ {1} \ cdots dx_ {k}.}

Les intensités conjointes n'existent pas toujours pour les processus ponctuels. Étant donné que les moments d'une variable aléatoire déterminent la variable aléatoire dans de nombreux cas, on peut s'attendre à un résultat similaire pour les intensités conjointes. En effet, cela a été démontré dans de nombreux cas.

Stationnarité

Un processus ponctuel est dit stationnaire s'il a la même distribution que pour tous. Pour un processus ponctuel stationnaire, la mesure moyenne pour une constante et où représente la mesure de Lebesgue. C'est ce qu'on appelle l' intensité du processus ponctuel. Un processus ponctuel stationnaire sur a presque sûrement 0 ou un nombre infini de points au total. Pour plus d'informations sur les processus ponctuels stationnaires et la mesure aléatoire, reportez-vous au chapitre 12 de Daley & Vere-Jones. La stationnarité a été définie et étudiée pour des processus ponctuels dans des espaces plus généraux que . ${\ displaystyle \ xi \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ xi + x: = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ delta _ {X_ {i} + x}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}.}$ ${\ displaystyle E \ xi (\ cdot) = \ lambda \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Exemples de processus ponctuels

Nous verrons quelques exemples de processus ponctuels dans ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}.}$

Processus de point de Poisson

L'exemple le plus simple et le plus omniprésent d'un processus ponctuel est le processus ponctuel de Poisson , qui est une généralisation spatiale du processus de Poisson . Un processus de Poisson (comptage) sur la ligne peut être caractérisé par deux propriétés: le nombre de points (ou d'événements) dans des intervalles disjoints sont indépendants et ont une distribution de Poisson . Un processus de point de Poisson peut également être défini à l'aide de ces deux propriétés. À savoir, nous disons qu'un processus ponctuel est un processus point de Poisson si les deux conditions suivantes sont vérifiées ${\ displaystyle \ xi}$

1) sont indépendants pour les sous-ensembles disjoints ${\ displaystyle \ xi (B_ {1}), \ ldots, \ xi (B_ {n})}$ ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}.}$

2) Pour tout sous - ensemble borné , a une distribution de Poisson avec un paramètre où désigne la mesure de Lebesgue . ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ xi (B)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |,}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

Les deux conditions peuvent être combinées et écrites comme suit: Pour tous les sous - ensembles bornés disjoints et les entiers non négatifs, nous avons que ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {n}}$

{\ displaystyle \ Pr [\ xi (B_ {i}) = k_ {i}, 1 \ leq i \ leq n] = \ prod _ {i} e ^ {- \ lambda \ | B_ {i} \ |} {\ frac {(\ lambda \ | B_ {i} \ |) ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}}.}

La constante est appelée l'intensité du processus de point de Poisson. Notez que le processus de point de Poisson est caractérisé par le paramètre unique. Il s'agit d'un processus de point simple et stationnaire. Pour être plus précis, on appelle le processus de point ci-dessus un processus de point de Poisson homogène. Un processus de Poisson non homogène est défini comme ci-dessus mais en remplaçant par où est une fonction non négative sur ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda.}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |}$ ${\ displaystyle {\ stackrel {} {}} \ int _ {B} \ lambda (x) \, dx}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}.}$

Processus de point de Cox

Un processus de Cox (nommé d'après Sir David Cox ) est une généralisation du processus de point de Poisson, en ce que nous utilisons des mesures aléatoires à la place de . Plus formellement, laissez être une mesure aléatoire . Un processus de point de Cox piloté par la mesure aléatoire est le processus de point avec les deux propriétés suivantes: ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ xi}$

Étant donné , Poisson est-il distribué avec le paramètre pour tout sous-ensemble borné ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ xi (B)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (B)}$ ${\ displaystyle B.}$
Pour toute collection finie de sous - ensembles disjoints et conditionnés, nous avons qui sont indépendants. ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\ displaystyle \ Lambda (B_ {1}), \ ldots, \ Lambda (B_ {n}),}$ ${\ displaystyle \ xi (B_ {1}), \ ldots, \ xi (B_ {n})}$

Il est facile de voir que le processus de point de Poisson (homogène et non homogène) suit comme des cas particuliers de processus de point de Cox. La mesure moyenne d'un processus ponctuel de Cox est et donc dans le cas particulier d'un processus ponctuel de Poisson, elle est ${\ displaystyle E \ xi (\ cdot) = E \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | \ cdot \ |.}$

Pour un processus de point de Cox, s'appelle la mesure d'intensité . De plus, si a une densité (aléatoire) ( dérivé de Radon – Nikodym ) c'est-à-dire, ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ cdot)}$

{\ displaystyle \ Lambda (B) {\ stackrel {\ text {as}} {=}} \ int _ {B} \ lambda (x) \, dx,}

alors s'appelle le champ d'intensité du processus de point de Cox. La stationnarité des mesures d'intensité ou des champs d'intensité implique la stationnarité des processus ponctuels de Cox correspondants. ${\ displaystyle \ lambda (\ cdot)}$

De nombreuses classes spécifiques de processus ponctuels de Cox ont été étudiées en détail, telles que:

Processus de points Log Gaussian Cox: pour un champ aléatoire gaussien ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ exp (X (y))}$ ${\ displaystyle X (.)}$
Processus de point de Cox de bruit de tir:, pour un processus et un noyau de point de Poisson ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ sum _ {X \ in \ Phi} h (X, y)}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ cdot)}$ ${\ Displaystyle h (\ cdot, \ cdot)}$
Processus ponctuels de Cox avec bruit de tir généralisé: pour un processus ponctuel et un noyau ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ sum _ {X \ in \ Phi} h (X, y)}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ cdot)}$ ${\ Displaystyle h (.,.)}$
Processus ponctuels de Cox basés sur Lévy: pour une base et un noyau de Lévy , et ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ int h (x, y) L (dx)}$ ${\ displaystyle L (\ cdot)}$ ${\ Displaystyle h (.,.)}$
Processus ponctuels Permanental Cox: pour k champs aléatoires gaussiennes indépendantes de s de ${\ displaystyle \ lambda (y) = X_ {1} ^ {2} (y) + \ cdots + X_ {k} ^ {2} (y)}$ ${\ displaystyle X_ {i} (\ cdot)}$
Processus de point de Cox gaussien sigmoïdal: pour un champ aléatoire gaussien et aléatoire ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ lambda ^ {\ star} / (1+ \ exp (-X (y)))}$ ${\ displaystyle X (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {\ star}> 0}$

Par l'inégalité de Jensen, on peut vérifier que les processus ponctuels de Cox satisfont l'inégalité suivante: pour tous les sous - ensembles Borel bornés , ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (\ xi (B)) \ geq \ operatorname {Var} (\ xi _ {\ alpha} (B)),}

où représente un processus de point de Poisson avec mesure d'intensité. Ainsi, les points sont distribués avec une plus grande variabilité dans un processus de point de Cox par rapport à un processus de point de Poisson. Ceci est parfois appelé regroupement ou propriété attractive du processus de point de Cox. ${\ displaystyle \ xi _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha (\ cdot): = E \ xi (\ cdot) = E \ Lambda (\ cdot).}$

Processus ponctuels déterminants

Une classe importante de processus ponctuels, avec des applications à la physique , à la théorie des matrices aléatoires et à la combinatoire , est celle des processus ponctuels déterminants .

Processus Hawkes (auto-excitants)

Un processus de Hawkes , également connu sous le nom de processus de comptage auto-excitant, est un processus ponctuel simple dont l'intensité conditionnelle peut être exprimée par ${\ displaystyle N_ {t}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ lambda (t) & = \ mu (t) + \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ nu (ts) dN_ {s} \\ & = \ mu (t) + \ sum _ {T_ {k} <t} \ nu (t-T_ {k}) \ end {tableau}}}$

où est une fonction de noyau qui exprime l'influence positive des événements passés sur la valeur actuelle du processus d'intensité , est une fonction éventuellement non stationnaire représentant la partie attendue, prévisible ou déterministe de l'intensité, et est le moment de l'occurrence du i-ème événement du processus. ${\ displaystyle \ nu: \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle T_ {i}}$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ ${\ displaystyle \ mu (t)}$ ${\ displaystyle \ {T_ {i}: T_ {i} <T_ {i + 1} \} \ in \ mathbb {R}}$

Processus géométriques

Étant donné une séquence de variables aléatoires non négatives:, si elles sont indépendantes et que le cdf de est donné par pour , où est une constante positive, alors est appelé un processus géométrique (GP). ${\ displaystyle \ {X_ {k}, k = 1,2, \ dots \}}$ ${\ displaystyle X_ {k}}$ ${\ displaystyle F (a ^ {k-1} x)}$ ${\ displaystyle k = 1,2, \ dots}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ {X_ {k}, k = 1,2, \ ldots \}}$

Le processus géométrique a plusieurs extensions, y compris le processus de la série α et le processus doublement géométrique .

Processus ponctuels sur la demi-ligne réelle

Historiquement, les premiers processus ponctuels étudiés avaient la demi-droite réelle R ₊ = [0, ∞) comme espace d'états, qui dans ce contexte est généralement interprété comme temps. Ces études étaient motivées par la volonté de modéliser des systèmes de télécommunication, dans lesquels les points représentaient des événements dans le temps, comme les appels à un central téléphonique.

Les processus ponctuels sur R ₊ sont typiquement décrits en donnant la séquence de leurs temps inter-événements (aléatoires) ( T ₁ , T ₂ , ...), à partir de laquelle la séquence réelle ( X ₁ , X ₂ , ...) de les horaires des événements peuvent être obtenus sous la forme

{\ displaystyle X_ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {k} T_ {j} \ quad {\ text {pour}} k \ geq 1.}

Si les temps inter-événements sont indépendants et répartis de manière identique, le processus ponctuel obtenu est appelé processus de renouvellement .

Intensité d'un processus ponctuel

L' intensité λ ( t | H _t ) d'un processus ponctuel sur la demi-droite réelle par rapport à une filtration H _t est définie comme

{\ displaystyle \ lambda (t \ mid H_ {t}) = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta t}} \ Pr ({\ text {Un événement se produit dans le intervalle de temps}} \, [t, t + \ Delta t] \ mid H_ {t}),}

H _t peut désigner l'historique des instants d'événement précédant l'instant t mais peut également correspondre à d'autres filtrations (par exemple dans le cas d'un procédé Cox).

Dans le -notation, cela peut être écrit sous une forme plus compacte: . ${\ displaystyle N (t)}$ ${\ displaystyle \ lambda (t \ mid H_ {t}) = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta t}} \ Pr (N (t + \ Delta t) -N (t) = 1 \ mid H_ {t})}$

Le compensateur d'un processus ponctuel, également connu sous le nom de projection double prévisible , est la fonction d'intensité conditionnelle intégrée définie par

${\ displaystyle \ Lambda ^ {} (s _ {}, u) = \ int _ {s} ^ {u} \ lambda ^ {} (t | H_ {t}) \ mathrm {d} t}$

Fonctions connexes

Fonction d'intensité Papangelou

La fonction d'intensité de Papangelou d'un processus ponctuel dans l' espace euclidien -dimensionnel est définie comme ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ lambda _ {p} (x) = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {1} {| B _ {\ delta} (x) |}} {P} \ {{\ text {Un événement se produit dans}} \, B _ {\ delta} (x) \ mid \ sigma [N (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus B _ {\ delta} (x))] \},}

où est la boule centrée à un rayon , et indique les informations du processus ponctuel à l' extérieur . ${\ displaystyle B _ {\ delta} (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ sigma [N (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus B _ {\ delta} (x))]}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle B _ {\ delta} (x)}$

Fonction de vraisemblance

La vraisemblance logarithmique d'un processus ponctuel simple paramétré conditionnel à certaines données observées s'écrit

${\ displaystyle \ ln {\ mathcal {L}} (N (t) _ {t \ in [0, T]}) = \ int _ {0} ^ {T} (1- \ lambda (s)) ds + \ int _ {0} ^ {T} \ ln \ lambda (s) dN_ {s}}$

Processus ponctuels dans les statistiques spatiales

L'analyse des données de motifs de points dans un sous-ensemble compact S de R ⁿ est un objet d'étude majeur dans les statistiques spatiales . Ces données apparaissent dans un large éventail de disciplines, parmi lesquelles

foresterie et écologie végétale (position des arbres ou des plantes en général)
épidémiologie (domicile des patients infectés)
zoologie (terriers ou nids d'animaux)
géographie (positions des établissements humains, des villes ou des villages)
sismologie (épicentres des tremblements de terre)
science des matériaux (positions des défauts dans les matériaux industriels)
astronomie (emplacements des étoiles ou des galaxies)
neurosciences computationnelles (pics de neurones).

La nécessité d'utiliser des processus ponctuels pour modéliser ces types de données réside dans leur structure spatiale inhérente. En conséquence, une première question intéressante est souvent de savoir si les données données présentent un aléa spatial complet (c'est-à-dire une réalisation d'un processus de Poisson spatial ) par opposition à présenter soit une agrégation spatiale, soit une inhibition spatiale.

En revanche, de nombreux ensembles de données considérés dans les statistiques multivariées classiques sont constitués de points de données générés indépendamment qui peuvent être régis par une ou plusieurs covariables (généralement non spatiales).

Outre les applications en statistiques spatiales, les processus ponctuels sont l'un des objets fondamentaux de la géométrie stochastique . La recherche s'est également largement concentrée sur divers modèles construits sur des processus ponctuels tels que les tessellations de Voronoi, les graphes géométriques aléatoires, le modèle booléen, etc.

Languages

In other projects