Mesure invariante - Invariant measure
En mathématiques , une mesure invariante est une mesure qui est préservée par une fonction . La théorie ergodique est l'étude des mesures invariantes dans les systèmes dynamiques . Le théorème de Krylov-Bogolyubov prouve l'existence de mesures invariantes sous certaines conditions sur la fonction et l'espace considérés.
Définition
Soit ( X , Σ) un espace mesurable et soit f une fonction mesurable de X à lui-même. Une mesure μ sur ( X , Σ) est dite invariante sous f si, pour tout ensemble mesurable A dans Σ,
En ce qui concerne la poussée vers l' avant , ce document fait état que f * ( μ ) = μ .
La collection de mesures (généralement des mesures de probabilité ) sur X qui sont invariantes sous f est parfois notée M f ( X ). L'ensemble des mesures ergodiques , E f ( X ), est un sous-ensemble de M f ( X ). De plus, toute combinaison convexe de deux mesures invariantes est également invariante, donc M f ( X ) est un ensemble convexe ; E f ( X ) est précisément constitué des points extrêmes de M f ( X ).
Dans le cas d'un système dynamique ( X , T , φ ), où ( X , Σ) est un espace mesurable comme précédemment, T est un monoïde et φ : T × X → X est la carte de flux, une mesure μ sur ( X , Σ) est dit une mesure invariante si c'est une mesure invariante pour chaque application φ t : X → X . Explicitement, μ est invariante si et seulement si
En d'autres termes, μ est une mesure invariante pour une séquence de variables aléatoires ( Z t ) t ≥0 (peut-être une chaîne de Markov ou la solution d'une équation différentielle stochastique ) si, chaque fois que la condition initiale Z 0 est distribuée selon μ , il en va de même pour Z t pour tout instant ultérieur t .
Lorsque le système dynamique peut être décrit par un opérateur de transfert , alors la mesure invariante est un vecteur propre de l'opérateur, correspondant à une valeur propre de 1, ceci étant la plus grande valeur propre donnée par le théorème de Frobenius-Perron .
Exemples
La cartographie de compression laisse l'angle hyperbolique invariant lorsqu'elle déplace un secteur hyperbolique (violet) vers l'un de la même zone. Les rectangles bleus et verts gardent également la même surface
- Considérons la droite réelle R avec sa -algèbre de Borel habituelle ; fixons a ∈ R et considérons l'application de translation T a : R → R donnée par :
- Puis unidimensionnelle mesure de Lebesgue λ est une mesure invariante pour T a .
- Plus généralement, sur l' espace euclidien de dimension n R n avec sa -algèbre de Borel usuelle, la mesure de Lebesgue de dimension n λ n est une mesure invariante pour toute isométrie de l'espace euclidien, c'est-à-dire une application T : R n → R n qui peut être écrit comme
- pour une n × n orthogonal matrice A ∈ O ( n ) et un vecteur b ∈ R n .
- La mesure invariante dans le premier exemple est unique à renormalisation triviale près avec un facteur constant. Cela ne doit pas nécessairement être le cas : Considérons un ensemble composé de seulement deux points et de la carte d'identité qui laisse chaque point fixe. Alors toute mesure de probabilité est invariante. Notez que S a trivialement une décomposition en composants T -invariants {A} et {B} .
- La mesure d' aire dans le plan euclidien est invariante sous le groupe linéaire spécial SL(2, R ) des matrices réelles 2×2 du déterminant 1.
- Chaque groupe localement compact a une mesure de Haar qui est invariante sous l'action de groupe.
- Un angle est une mesure invariante sous un mouvement euclidien ou affine. Le mouvement euclidien est la rotation et la mesure est l' angle circulaire . Le mouvement affine peut être soit une cartographie de cisaillement, soit une cartographie de compression . L'invariant de mesure sous cisaillement est une différence de pentes , tandis que l'invariant de mesure sous compression est l' angle hyperbolique .
Voir également
Les références
- John von Neumann (1999) Mesures invariantes , American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-0912-9