Formule de sommation de Poisson - Poisson summation formula

En mathématiques , la formule de sommation de Poisson est une équation qui relie les coefficients de la série de Fourier de la sommation périodique d'une fonction aux valeurs de la transformée de Fourier continue de la fonction . Par conséquent, la sommation périodique d'une fonction est complètement définie par des échantillons discrets de la transformée de Fourier de la fonction d'origine. Et inversement, la sommation périodique de la transformée de Fourier d'une fonction est complètement définie par des échantillons discrets de la fonction d'origine. La formule de sommation de Poisson a été découverte par Siméon Denis Poisson et est parfois appelée sommation de Poisson .

Formes de l'équation

Considérons une fonction apériodique avec transformée de Fourier alternativement désignée par et ${\style d'affichage s(x)}$ $S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx,$ ${\hat {s}}(f)$ ${\mathcal {F}}\{s\}(f).$

La formule de sommation de Poisson de base est :

\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k).

( Éq.1 )

Considérons également les fonctions périodiques, où les paramètres et sont dans les mêmes unités que : ${\style d'affichage T>0}$ ${\style d'affichage P>0}$ ${\style d'affichage x}$

s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\quad {\text{and}}\quad S_{ 1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f\pm k/T).

Alors l' Eq.1 est un cas particulier (P=1, x=0) de cette généralisation :

s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\ frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},

.

( Éq.2 )

qui est un développement en série de Fourier avec des coefficients qui sont des échantillons de fonction De même : ${\style d'affichage S(f).}$

S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{ -i2\pi nTf},

( Éq.3 )

également connue sous le nom d'importante transformée de Fourier en temps discret .

Dérivations

Une preuve peut être trouvée dans Pinsky ou Zygmund. L'équation 2 , par exemple, est vraie dans le sens où si , alors le membre de droite est la série de Fourier (éventuellement divergente) du membre de gauche. Il découle du théorème de convergence dominé qui existe et est fini pour presque tout . De plus il s'ensuit que est intégrable sur tout intervalle de longueur Il suffit donc de montrer que les coefficients des séries de Fourier de sont En partant de la définition des coefficients de Fourier on a : $s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )$ ${\style d'affichage s_{_{P}}(x)}$ ${\style d'affichage x}$ ${\style d'affichage s_{_{P}}}$ ${\style d'affichage P.}$ ${\style d'affichage s_{_{P}}(x)}$ $\scriptstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).$

{\begin{aligned}S[k]\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left( \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\ \&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x\pm nP)\cdot e^ {-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}

où l'échange de sommation avec intégration est encore une fois justifié par la convergence dominée. Avec un changement de variables ( ) cela devient : ${\style d'affichage \tau =x+nP}$

{\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}

Formulation distributionnelle

Ces équations peuvent être interprétées dans le langage des distributions pour une fonction dont les dérivées sont toutes décroissantes rapidement (voir fonction de Schwartz ). La formule de sommation de Poisson apparaît comme un cas particulier du théorème de convolution sur les distributions tempérées , utilisant la distribution en peigne de Dirac et sa série de Fourier : ${\style d'affichage s}$

\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x\pm nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{ T}}\cdot e^{\pm i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1} {T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f\pm k/T).

Autrement dit, la périodisation d'un delta de Dirac aboutissant à un peigne de Dirac , correspond à la discrétisation de son spectre qui est constamment un. Par conséquent, il s'agit à nouveau d'un peigne de Dirac mais avec des incréments réciproques. $\delta ,$

Pour le cas Eq.1 suit facilement : ${\style d'affichage T=1,}$

{\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\underbrace { \left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (xn)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ \delta (xn) \ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n).\end{aligned}}

De même :

{\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{ \mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}\right\}\\&={\mathcal {F}} {\bigg \{}s(x)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}} _{ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\ infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s (nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT) \cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{aligned}}

Ou :

{\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(fk/T)&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\ infty }\delta (fk/T)\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x- nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT) \right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\ }\quad {\text{comme ci-dessus}}.\end{aligned}}

La formule de sommation de Poisson peut également être prouvée de manière assez conceptuelle en utilisant la compatibilité de la dualité de Pontryagin avec de courtes séquences exactes telles que

0\à \mathbb {Z} \à \mathbb {R} \à \mathbb {R} /\mathbb {Z} \à 0.

Applicabilité

L'équation 2 tient à condition qu'il yait une fonction intégrable continuequi satisfait ${\style d'affichage s(x)}$

|s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-1-\delta }

pour certains et pour tous Notez que tel est uniformément continu , ceci avec l'hypothèse de décroissance sur , montrent que la série définissant converge uniformément vers une fonction continue. L'équation 2 tient dans le sens fort que les deux côtés convergent uniformément et absolument vers la même limite. $C>0,\delta >0$ ${\style d'affichage x.}$ ${\style d'affichage s(x)}$ ${\style d'affichage s}$ ${\style d'affichage s_{_{P}}}$

L'équation 2 tient dans unsens ponctuel sous l'hypothèse strictement plus faible quia une variation bornée et ${\style d'affichage s}$

2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(x+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(x-\varepsilon ).

La série de Fourier du membre de droite de l' équation 2 est alors comprise comme une limite (conditionnellement convergente) de sommes partielles symétriques.

Comme indiqué ci-dessus, l' équation 2 est vérifiée sous l'hypothèse beaucoup moins restrictive qui est dans , mais il est alors nécessaire de l'interpréter dans le sens où le membre de droite est la série de Fourier (éventuellement divergente) de Dans ce cas, on peut étendre la région où l'égalité tient en considérant des méthodes de sommabilité telles que la sommabilité de Cesàro . En interprétant la convergence de cette manière Eq.2 , le cas est vérifié dans les conditions les moins restrictives qui sont intégrables et 0 est un point de continuité de . Cependant, l' équation 2 peut ne pas être vérifiée même lorsque les deux et sont intégrables et continus, et que les sommes convergent absolument. ${\style d'affichage s(x)}$ $L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\style d'affichage s_{_{P}}(x).}$ ${\style d'affichage x=0,}$ ${\style d'affichage s(x)}$ ${\style d'affichage s_{_{P}}(x)}$ ${\style d'affichage s}$ ${\style d'affichage S}$

Applications

Méthode d'images

Dans les équations aux dérivées partielles , la formule de sommation de Poisson fournit une justification rigoureuse de la solution fondamentale de l' équation de la chaleur à frontière rectangulaire absorbante par la méthode des images . Ici le noyau de chaleur sur est connu, et celui d'un rectangle est déterminé en prenant la périodisation. La formule de sommation de Poisson fournit de même une connexion entre l'analyse de Fourier sur les espaces euclidiens et sur les tores des dimensions correspondantes. Dans une dimension, la solution résultante est appelée fonction thêta . $\mathbb {R} ^{2}$

Échantillonnage

Dans l'étude statistique des séries chronologiques, si est une fonction du temps, alors ne regarder que ses valeurs à des points de temps également espacés est appelé « échantillonnage ». Dans les applications, la fonction est généralement à bande limitée , ce qui signifie qu'il existe une fréquence de coupure telle qu'elle est nulle pour les fréquences dépassant la coupure : pour les fonctions à bande limitée, le choix de la fréquence d'échantillonnage garantit qu'aucune information n'est perdue : car peut être reconstruit à partir de ces valeurs échantillonnées. Ensuite, par inversion de Fourier, cela peut conduire au théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon . ${\style d'affichage s}$ ${\style d'affichage s}$ $f_{o}$ ${\style d'affichage S(f)}$ ${\style d'affichage S(f)=0}$ $|f|>f_{o}.$ ${\tfrac {1}{T}}>2f_{o}$ ${\style d'affichage S}$ ${\style d'affichage s.}$

Sommation d'Ewald

Sur le plan informatique, la formule de sommation de Poisson est utile car une sommation à convergence lente dans l'espace réel est garantie d'être convertie en une sommation équivalente à convergence rapide dans l'espace de Fourier. (Une fonction large dans l'espace réel devient une fonction étroite dans l'espace de Fourier et vice versa.) C'est l'idée essentielle derrière la sommation d'Ewald .

Approximations d'intégrales

La formule de sommation de Poisson est également utile pour borner les erreurs obtenues lorsqu'une intégrale est approximée par une somme (de Riemann). Considérons une approximation de as , où est la taille du bac. Alors, selon l' Eq.2 cette approximation coïncide avec . L'erreur d'approximation peut alors être bornée par . Ceci est particulièrement utile lorsque la transformée de Fourier de décroît rapidement si . $S(0)=\int _{-\infty }^{\infty }dxs(x)$ $\delta \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n\delta )$ $\delta \ll 1$ $\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )$ $|\sum _{k\neq 0}S(k/\delta )|\leq \sum _{k\neq 0}|S(k/\delta )|$ ${\style d'affichage s(x)}$ ${\style d'affichage 1/\delta \gg 1}$

Points du réseau dans une sphère

La formule de sommation de Poisson peut être utilisée pour dériver la formule asymptotique de Landau pour le nombre de points du réseau dans une grande sphère euclidienne. Il peut également être utilisé pour montrer que si une fonction intégrable, et que les deux ont un support compact, alors ${\style d'affichage s}$ ${\style d'affichage S}$ ${\style d'affichage s=0.}$

La théorie du nombre

En théorie des nombres , la sommation de Poisson peut également être utilisée pour dériver une variété d'équations fonctionnelles, y compris l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann .

Une utilisation importante de la sommation de Poisson concerne les fonctions thêta : les sommations périodiques des gaussiennes. Mettez , pour un nombre complexe dans le demi-plan supérieur, et définissez la fonction thêta : $q=e^{i\pi \tau }$ ${\style d'affichage \tau }$

\theta (\tau )=\sum _{n}q^{n^{2}}.

La relation entre et s'avère importante pour la théorie des nombres, car ce type de relation est l'une des propriétés déterminantes d'une forme modulaire . En choisissant et en utilisant le fait que l' on peut conclure : $\theta (-1/\tau )$ $\theta (\tau )$ $s(x)=e^{-\pi x^{2}}$ $S(f)=e^{-\pi f^{2}},$

\theta \left({-1 \over \tau }\right)={\sqrt {\tau \over i}}\theta (\tau ),

en mettant

{1/\lambda }={\sqrt {\tau /i}}.

Il s'ensuit qu'il a une propriété de transformation simple sous et cela peut être utilisé pour prouver la formule de Jacobi pour le nombre de façons différentes d'exprimer un nombre entier comme la somme de huit carrés parfaits. $\theta ^{8}$ $\tau \mapsto {-1/\tau }$

Garnitures de sphère

Cohn & Elkies ont prouvé une limite supérieure sur la densité des empilements de sphères en utilisant la formule de sommation de Poisson, qui a par la suite conduit à une preuve d'emballages de sphères optimaux en dimension 8 et 24.

Autre

Laisser pour et pour obtenir $s(x)=e^{-ax}$ ${\style d'affichage 0\leq x}$ ${\style d'affichage s(x)=0}$ ${\style d'affichage x<0}$

\coth(x)=x\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}= {\frac {1}{x}}+2x\sum _{n\in \mathbb {Z_{+}} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{ 2}}}.

Il peut être utilisé pour prouver l'équation fonctionnelle de la fonction thêta.
La formule de sommation de Poisson apparaît dans les cahiers de Ramanujan et peut être utilisée pour prouver certaines de ses formules, en particulier elle peut être utilisée pour prouver l'une des formules de la première lettre de Ramanujan à Hardy.
Il peut être utilisé pour calculer la somme de Gauss quadratique.

Généralisations

La formule de sommation de Poisson est valable dans l' espace euclidien de dimension arbitraire. Soit être le treillis en se composant de points de coordonnées entières; est le groupe de caractères , ou Pontryagin dual , de . Pour une fonction dans , considérons la série donnée en additionnant les translations de par les éléments de : ${\style d'affichage \Lambda }$ $\mathbb {R} ^{d}$ ${\style d'affichage \Lambda }$ $\mathbb {R} ^{d}$ ${\style d'affichage s}$ $L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ ${\style d'affichage s}$ ${\style d'affichage \Lambda }$

\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu ).

Théorème Pour dans , la série ci-dessus converge presque partout, et définit ainsi une fonction périodique sur se trouve dans avec De plus, pour tout dans (transformée de Fourier sur ) est égal à (transformée de Fourier sur ). ${\style d'affichage s}$ $L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ $\mathbb {P} s$ ${\style d'affichage \Lambda .}$ $\mathbb {P} s$ ${\style d'affichage L^{1}}$ $\|\mathbb {P} s\|_{1}\leq \|s\|_{1}.$
${\style d'affichage \nu }$ ${\style d'affichage \Lambda ,}$ $\mathbb {P} S(\nu )$ ${\style d'affichage \Lambda }$ ${\style d'affichage S(\nu )}$ $\mathbb {R} ^{d}$

Quand est en plus continu, et que les deux et se désintègrent suffisamment rapidement à l'infini, alors on peut "inverser" le domaine et faire une déclaration plus forte. Plus précisément, si ${\style d'affichage s}$ ${\style d'affichage s}$ ${\style d'affichage S}$ $\mathbb {R} ^{d}$

|s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }

pour certains C , > 0, alors

\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }S(\nu )e^{i2\pi x\cdot \nu },

où les deux séries convergent absolument et uniformément sur . Lorsque d = 1 et x = 0, cela donne l' équation 1 ci-dessus.

Plus généralement, une version de l'instruction est vérifiée si Λ est remplacé par un treillis plus général dans . Le réseau dual Λ′ peut être défini comme un sous-ensemble de l'espace vectoriel dual ou alternativement par la dualité de Pontryagin . Ensuite, l'énoncé est que la somme des fonctions delta à chaque point de , et à chaque point de , sont à nouveau des transformées de Fourier sous forme de distributions, sujettes à une normalisation correcte. $\mathbb {R} ^{d}$

Ceci est appliqué dans la théorie des fonctions thêta , et est une méthode possible en géométrie des nombres . En fait, dans des travaux plus récents sur le comptage des points du réseau dans les régions, il est couramment utilisé - la somme de la fonction indicatrice d'une région D sur les points du réseau est exactement la question, de sorte que le LHS de la formule de sommation est ce qui est recherché et le RHS quelque chose qui peut être attaqué par l'analyse mathématique .

Formule trace de Selberg

Une généralisation supplémentaire aux groupes abéliens localement compacts est nécessaire en théorie des nombres . Dans l'analyse harmonique non commutative , l'idée est poussée encore plus loin dans la formule de trace de Selberg, mais prend un caractère beaucoup plus profond.

Une série de mathématiciens appliquant l'analyse harmonique à la théorie des nombres, notamment Martin Eichler, Atle Selberg , Robert Langlands et James Arthur, ont généralisé la formule de sommation de Poisson à la transformée de Fourier sur des groupes algébriques réductifs localement compacts non commutatifs avec un sous-groupe discret tel qui a un volume fini. Par exemple, peuvent être les points réels de et peuvent être les points entiers de . Dans ce cadre, joue le rôle de la droite numérique réelle dans la version classique de la sommation de Poisson, et joue le rôle des entiers qui apparaissent dans la somme. La version généralisée de la sommation de Poisson s'appelle la formule de trace de Selberg et a joué un rôle dans la preuve de nombreux cas de la conjecture d'Artin et dans la preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat. Le côté gauche de l' équation 1 devient une somme sur les représentations unitaires irréductibles de , et est appelé "le côté spectral", tandis que le côté droit devient une somme sur les classes de conjugaison de , et est appelé "le côté géométrique". ${\style d'affichage G}$ ${\style d'affichage \Gamma }$ $G/\Gamma$ ${\style d'affichage G}$ $SL_{n}$ ${\style d'affichage \Gamma }$ $SL_{n}$ ${\style d'affichage G}$ ${\style d'affichage \Gamma }$ ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage G}$ ${\style d'affichage \Gamma }$

La formule de sommation de Poisson est l'archétype des vastes développements de l'analyse harmonique et de la théorie des nombres.

Théorème de convolution

La formule de sommation de Poisson est un cas particulier du théorème de convolution sur les distributions tempérées . Si l'un des deux facteurs est le peigne de Dirac , on obtient une sommation périodique d'un côté et un échantillonnage de l'autre côté de l'équation. Appliquée à la fonction delta de Dirac et à sa transformée de Fourier , la fonction qui est constamment 1, cela donne l' identité du peigne de Dirac .

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

Benedetto, JJ; Zimmermann, G. (1997), "Les multiplicateurs d'échantillonnage et la formule de sommation de Poisson" , J. Fourier Ana. App. , 3 (5), archivé à partir de l'original le 2011-05-24 , récupéré le 2008-06-19
Gasquet, Claude ; Witomski, Patrick (1999), Fourier Analysis and Applications , Springer, pp. 344-352, ISBN 0-387-98485-2
Higgins, JR (1985), "Cinq histoires courtes sur la série cardinale" , Bull. Amer. Math. Soc. , 12 (1) : 45-89, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15293-0

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