Rayon de convergence - Radius of convergence

En mathématiques , le rayon de convergence d'une série entière est le rayon du plus grand disque dans lequel la série converge . C'est soit un nombre réel non négatif, soit . Lorsqu'elle est positive, la série entière converge absolument et uniformément sur des ensembles compacts à l'intérieur du disque ouvert de rayon égal au rayon de convergence, et c'est la série de Taylor de la fonction analytique vers laquelle elle converge. ${\style d'affichage \infty }$

Définition

Pour une série entière f définie comme :

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n},}$

où

• a est une constante complexe , le centre du disque de convergence,
• c _n est le n- ième coefficient complexe, et
• z est une variable complexe.

Le rayon de convergence r est un nombre réel non négatif ou tel que la série converge si ${\style d'affichage \infty }$

${\displaystyle |za|<r}$

et diverge si

${\displaystyle |za|>r.}$

Certains peuvent préférer une définition alternative, car l'existence est évidente :

${\displaystyle r=\sup \left\{|za|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n}\ {\text{ converge } }\droit.\droit\}}$

Sur la frontière, c'est-à-dire où | z  −  a | = r , le comportement de la série entière peut être compliqué, et la série peut converger pour certaines valeurs de z et diverger pour d'autres. Le rayon de convergence est infini si la série converge pour tous les nombres complexes z .

Trouver le rayon de convergence

Deux cas se présentent. Le premier cas est théorique : quand on connaît tous les coefficients alors on prend certaines limites et on trouve le rayon de convergence précis. Le deuxième cas est pratique : lorsque vous construisez une solution en série entière d'un problème difficile, vous ne connaîtrez généralement qu'un nombre fini de termes dans une série entière, allant de quelques termes à une centaine de termes. Dans ce second cas, l'extrapolation d'un tracé permet d'estimer le rayon de convergence. ${\style d'affichage c_{n}}$

Rayon théorique

Le rayon de convergence peut être trouvé en appliquant le test de racine aux termes de la série. Le test racine utilise le nombre

${\displaystyle C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}(za)^{n}|}}=\limsup _{n\to \infty } \left({\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\right)|za|}$

"lim sup" désigne la limite supérieure . Le test de racine indique que la série converge si C  < 1 et diverge si  C  > 1. Il s'ensuit que la série entière converge si la distance de z au centre a est inférieure à

${\displaystyle r={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}}$

et diverge si la distance dépasse ce nombre ; cet énoncé est le théorème de Cauchy-Hadamard . Notez que r  = 1/0 est interprété comme un rayon infini, ce qui signifie que f est une fonction entière .

La limite impliquée dans le test de rapport est généralement plus facile à calculer, et lorsque cette limite existe, elle montre que le rayon de convergence est fini.

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

Ceci est montré comme suit. Le test du rapport dit que la série converge si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}(za)^{n+1}|}{|c_{n}(za)^{n}|} }<1.}$

Cela équivaut à

${\displaystyle |za|<{\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}|}{|c_{n}|}}}}=\ lim _{n\à \infty }\gauche|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\droit|.}$

Estimation pratique du rayon dans le cas de coefficients réels

Tracés de la fonction La ligne verte continue est l' asymptote en ligne droite dans le tracé de Domb-Sykes, tracé (b), qui intercepte l'axe vertical à −2 et a une pente +1. Il y a donc une singularité en et donc le rayon de convergence est${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon ^{3})}{\sqrt {1+2\varepsilon }}}.}$
${\displaystyle \varepsilon =-1/2}$${\style d'affichage r=1/2.}$

Habituellement, dans les applications scientifiques, seul un nombre fini de coefficients est connu. Typiquement, à mesure qu'ils augmentent, ces coefficients s'installent dans un comportement régulier déterminé par la singularité de limitation de rayon la plus proche. Dans ce cas, deux techniques principales ont été développées, basées sur le fait que les coefficients d'une série de Taylor sont grossièrement exponentiels de rapport où r est le rayon de convergence. ${\style d'affichage c_{n}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage 1/r}$

• Le cas de base est celui où les coefficients partagent finalement un signe commun ou un signe alternatif. Comme indiqué précédemment dans l'article, dans de nombreux cas, la limite existe, et dans ce cas . Négatif signifie que la singularité limitant la convergence est sur l'axe négatif. Estimez cette limite en traçant le versus et extrapolez graphiquement à (effectivement ) via un ajustement linéaire. L'interception avec estime l'inverse du rayon de convergence, . Ce tracé est appelé tracé de Domb-Sykes .${\textstyle \lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$${\textstyle 1/r=\lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$${\style d'affichage r}$${\style d'affichage c_{n}/c_{n-1}}$${\style d'affichage 1/n}$${\style d'affichage 1/n=0}$${\style d'affichage n=\infty }$${\style d'affichage 1/n=0}$${\style d'affichage 1/r}$
• Le cas le plus compliqué est lorsque les signes des coefficients ont un motif plus complexe. Mercer et Roberts ont proposé la procédure suivante. Définir la séquence associée
  $${\displaystyle b_{n}^{2}={\frac {c_{n+1}c_{n-1}-c_{n}^{2}}{c_{n}c_{n-2}- c_{n-1}^{2}}}\quad n=3,4,5,\ldots .}$$

  
  Tracez le nombre fini connu par rapport à , et extrapolez graphiquement à via un ajustement linéaire. L'interception avec estime l'inverse du rayon de convergence, .${\style d'affichage b_{n}}$${\style d'affichage 1/n}$${\style d'affichage 1/n=0}$${\style d'affichage 1/n=0}$${\style d'affichage 1/r}$
  Cette procédure estime également deux autres caractéristiques de la singularité limite de convergence. Supposons que la singularité la plus proche soit de degré et ait un angle avec l'axe réel. Alors la pente de l'ajustement linéaire donnée ci-dessus est . En outre, tracez en fonction de , puis un ajustement linéaire extrapolé à a une interception à .${\style d'affichage p}$${\displaystyle \pm \theta }$${\style d'affichage -(p+1)/r}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{n-1}b_{n}}{c_{n}}}+{\frac {c_{n+1}} {c_{n}b_{n}}}\right)}$${\textstyle 1/n^{2}}$${\styletexte 1/n^{2}=0}$${\displaystyle \cos \theta }$

Rayon de convergence en analyse complexe

Une série entière avec un rayon de convergence positif peut être transformée en une fonction holomorphe en prenant son argument pour une variable complexe. Le rayon de convergence peut être caractérisé par le théorème suivant :

Le rayon de convergence d'une série entière f centrée sur un point a est égal à la distance de a au point le plus proche où f ne peut pas être défini de manière à le rendre holomorphe.

L'ensemble de tous les points dont la distance à a est strictement inférieure au rayon de convergence est appelé le disque de convergence .

Un graphique des fonctions expliquées dans le texte : Approximations en bleu, cercle de convergence en blanc

Le point le plus proche signifie le point le plus proche dans le plan complexe , pas nécessairement sur la ligne réelle, même si le centre et tous les coefficients sont réels. Par exemple, la fonction

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

n'a pas de singularités sur la ligne réelle, puisqu'il n'a pas de racines réelles. Sa série de Taylor sur 0 est donnée par ${\style d'affichage 1+z^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}.}$

Le test de racine montre que son rayon de convergence est 1. Conformément à cela, la fonction f ( z ) a des singularités à ± i , qui sont à une distance 1 de 0.

Pour une preuve de ce théorème, voir l' analyticité des fonctions holomorphes .

Un exemple simple

La fonction arctangente de la trigonométrie peut être développée en une série entière :

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7} }{7}}+\cdots .}$

Il est facile d'appliquer le test de racine dans ce cas pour trouver que le rayon de convergence est 1.

Un exemple plus compliqué

Considérez cette série de puissances :

${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{ n}}$

où les nombres rationnels B _n sont les nombres de Bernoulli . Il peut être fastidieux d'essayer d'appliquer le test du rapport pour trouver le rayon de convergence de cette série. Mais le théorème de l'analyse complexe énoncé ci-dessus résout rapidement le problème. A z = 0, il n'y a en effet pas de singularité puisque la singularité est amovible . Les seules singularités inamovibles sont donc situées aux autres points où le dénominateur est nul. Nous résolvons

${\displaystyle e^{z}-1=0}$

en rappelant que si z = x + iy et e ^iy = cos( y ) + i sin( y ) alors

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),}$

puis prendre x et y pour être réels. Puisque y est réel, la valeur absolue de cos( y ) + i sin( y ) est nécessairement 1. Par conséquent, la valeur absolue de e ^z ne peut être 1 que si e ^x est 1 ; puisque x est réel, cela n'arrive que si x = 0. Donc z est purement imaginaire et cos( y ) + i sin( y ) = 1 . Etant donné que Y est vrai, cela se produit uniquement si cos ( y ) = 1 et sin ( y ) = 0, de sorte que y est un nombre entier multiple de 2 π . Par conséquent, les points singuliers de cette fonction se produisent à

z = un nombre entier non nul multiple de 2 π i .

Les singularités les plus proches de 0, qui est le centre du développement en série de puissance, sont à ± 2 π i . La distance entre le centre de l' un de ces points est de 2 π , de sorte que le rayon de convergence est égal à 2 π .

Convergence sur la frontière

Si la série entière est développée autour du point a et que le rayon de convergence est r , alors l'ensemble de tous les points z tel que | z − a | = r est un cercle appelé frontière du disque de convergence. Une série entière peut diverger en chaque point de la frontière, ou diverger sur certains points et converger en d'autres points, ou converger en tous les points de la frontière. De plus, même si la série converge partout sur le bord (même uniformément), elle ne converge pas nécessairement de manière absolue.

Exemple 1 : La série entière pour la fonction f ( z ) = 1/(1 − z ) , développée autour de z = 0 , qui est simplement

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}$

a un rayon de convergence 1 et diverge en tout point de la frontière.

Exemple 2 : La série entière pour g ( z ) = −ln(1 − z ) , développée autour de z = 0 , qui est

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}z^{n},}$

a un rayon de convergence 1, et diverge pour z = 1 mais converge pour tous les autres points sur la frontière. La fonction f ( z ) de l' exemple 1 est la dérivée de g ( z ) .

Exemple 3 : La série entière

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}$

a un rayon de convergence 1 et converge partout sur le bord absolument. Si h est la fonction représentée par cette série sur le disque unité, alors la dérivée de h ( z ) est égale à g ( z )/ z avec g de l'exemple 2. Il s'avère que h ( z ) est la fonction dilogarithme .

Exemple 4 : La série entière

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}z^{i}{\text{ where }}a_{i}={\frac {(-1)^{n-1 }}{2^{n}n}}{\text{ for }}n=\lfloor \log _{2}(i)\rfloor +1{\text{, l'entier unique avec }}2^{n -1}\leq i<2^{n},}$

a un rayon de convergence 1 et converge uniformément sur toute la frontière | z | = 1 , mais ne converge pas absolument sur la frontière.

Taux de convergence

Si on développe la fonction

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}= x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ pour tous }}x}$

autour du point x = 0, on découvre que le rayon de convergence de cette série signifie que cette série converge pour tous les nombres complexes. Or, dans les applications, on s'intéresse souvent à la précision d'une réponse numérique . Le nombre de termes et la valeur à laquelle la série doit être évaluée affectent l'exactitude de la réponse. Par exemple, si nous voulons calculer sin(0.1) avec précision jusqu'à cinq décimales, nous n'avons besoin que des deux premiers termes de la série. Cependant, si nous voulons la même précision pour x = 1, nous devons évaluer et additionner les cinq premiers termes de la série. Pour sin(10) , il faut les 18 premiers termes de la série, et pour sin(100) nous devons évaluer les 141 premiers termes. ${\style d'affichage \infty }$

Ainsi, pour ces valeurs particulières, la convergence la plus rapide d'un développement en séries entières est au centre, et à mesure que l'on s'éloigne du centre de convergence, le taux de convergence ralentit jusqu'à ce que vous atteigniez la limite (si elle existe) et traversiez, en auquel cas la série divergera.

Abscisse de convergence d'une série de Dirichlet

Un concept analogue est l' abscisse de convergence d'une série de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Une telle série converge si la partie réelle de s est supérieure à un nombre particulier dépendant des coefficients a _n : l' abscisse de convergence.

Remarques

Les références

• Brown, James ; Churchill, Ruel (1989), Variables complexes et applications , New York : McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-010905-6
• Stein, Elias ; Shakarchi, Rami (2003), Analyse complexe , Princeton, New Jersey : Princeton University Press , ISBN 0-691-11385-8

Voir également

• Tests de convergence
• Test de racine

Liens externes

• Qu'est-ce que le rayon de convergence ?